Înmulțirea numerelor naturale

În drumul său spre școală, Radu trece pe lângă o mică livadă cu meri. El a numărat 3 rânduri de meri și pe fiecare rând câte 4 meri. Câți meri sunt în livadă?

În drumul său spre școală, Radu trece pe lângă o mică livadă cu meri. Radu a numărat 3 rânduri de meri și pe fiecare rând câte 4 meri. Câți meri sunt în livadă?

Adunăm numărul merilor de pe fiecare rând:

În drumul său spre școală, Radu trece pe lângă o mică livadă cu meri. Radu a numărat 3 rânduri de meri și pe fiecare rând câte 4 meri. Câți meri sunt în livadă?

Avem o adunare cu trei termeni, fiecare termen fiind egal cu 4. Pentru operația de adunare în care toți termenii sunt egali (se adună același număr cu el însuși de mai multe ori) se folosește o notație prescurtată, astfel:

Înmulțirea este o adunare repetată a aceluiași număr.

Semnul Înmulțirea este o adunare repetată a aceluiași număr. se folosește de obicei în clasele primare; începând din clasa a V-a, se folosește semnul Înmulțirea este o adunare repetată a aceluiași număr., pentru a se evita confuzia cu necunoscuta x a ecuațiilor. În programare și atunci când folosim calculatorul electronic pentru calcule utilizăm semnul *. Semnul pentru înmulțire poate să lipsească atunci când nu există riscul de confuzie:

Nu putem omite semnul de înmulțire atunci cînd înmulțim două numere

Adunarea repetată a aceluiași număr conduce la operația de înmulțire. Numerele care se înmulțesc se numesc factori, iar rezultatul înmulțirii se numește produs.Unul dintre factori este numărul care se adună cu el însuși, iar celălalt ne arată de câte ori se adună numărul respectiv cu el însuși.

Înmulțirea este o adunare repetată a aceluiași număr.Unul dintre factori este numărul care se adună cu el însuși, iar celălalt ne arată de câte ori se adună numărul respectiv cu el însuși.

Încearcă și tu!

Roxana a cumpărat 3 seturi de globuri pentru bradul de Crăciun, fiecare set având câte 6 globuri. Un set costă 7 lei. Cât au costat cele 3 seturi de globuri? Câte globuri sunt în cele 3 seturi?

Răspuns

„de ... mai mare (mult) decât ...”

Cuvintele „de ... mai mare (mult) decât...”, „mai mare (mult) de ... decât ...” ne indică operația de înmulțire.

1) Care este numărul de patru ori mai mare decât 8?

Numărul de patru ori mai mare decât 8 este 32. Facem operația de înmulțire.

Facem operația de înmulțire și obținem că numărul de patru ori mai mare decât 8 este 32.

2) În grădina din fața casei, Nina a plantat 6 bulbi de lalele, iar mama sa a plantat de 3 ori mai mulți bulbi. Câți bulbi au plantat împreună Nina și mama sa?

În grădina din fața casei, Nina a plantat 6 bulbi de lalele, iar mama sa a plantat de 3 ori mai mulți bulbi. Câți bulbi au plantat împreună Nina și mama sa?

Să nu confundăm!

Cuvintele „cu ... mai mare (mult)” ne indică operația de adunare, iar cuvintele „de ... ori mai mare (mult)” ne indică operația de înmulțire.

Atenție!

Sunt situații în care enunțul problemei conține cuvintele „de ... mai mare (mult) decât...”, dar totuși operația de efectuat nu este înmulțirea, ci împărțirea. De exemplu, numărul de 3 ori mai mare decât este 21. Care este numărul ?

În acest caz, facem operația de împărțire (operația inversă înmulțirii), pentru că numărul pe care trebuie să-l aflăm este de trei ori mai mic decât 21 (21 este trei ori mai mare decât ; înseamnă că este de 3 ori mai mic decât 21). Deci 21 împărțit la 3 este egal cu 7; este egal cu 7.

Pentru a nu cădea în astfel de „capcane”, este foarte important să analizăm bine enunțul problemei și să găsim relația corectă între necunoscuta care se cere și datele care ni se dau.

Încearcă și tu!

Să completăm cu numărul corect!

a) Dublul numărului 45 este ... .

b) Triplul numărului 20 este ... .

Răspuns

Proprietățile înmulțirii

1) Înmulțirea este comutativă

Produsul a două numere rămâne același, indiferent de ordinea numerelor. Spunem că înmulțirea este comutativă:

Produsul a două numere rămâne același, indiferent de ordinea numerelor. Spunem că înmulțirea este comutativă

De exemplu, să vedem dacă 4 înmulțit cu 5 este egal cu 5 înmulțit cu 4. Înmulțirea este o adunare repetată, deci vom avea:

Produsul a două numere rămâne același, indiferent de ordinea numerelor. Spunem că înmulțirea este comutativă; exemplu

2) Înmulțirea este asociativă

Dacă avem o înmulțire cu trei sau mai mulți factori, atunci putem să-i asociem (grupăm) cum vrem noi, iar rezultatul nu se modifică (uneori e nevoie să-i grupăm astfel încât să calculăm mai ușor). Spunem că înmulțirea este asociativă:

Înmulțirea este asociativă

De exemplu, avem de înmulțit numerele 14, 5 și 2, scrise în această ordine. Putem să înmulțim 14 cu 5 și obținem 70, apoi înmulțim cu 2 și obținem 140. Sau putem înmulți mai întâi numerele 2 și 5 și obținem 10, apoi înmulțim cu 14 și obținem 140. A doua variantă este mai ușoară, pentru că ajungem la înmulțirea cu 10, care este ușoară (se scrie numărul care se înmulțește cu 10 și i se adaugă un 0 la sfârșit).

Înmulțirea este asociativă

Putem înmulți mai întâi 14 cu 2, iar rezultatul îl înmulțim cu 5. Obținem tot 140; deci oricum am grupa (asocia) numerele care se înmulțesc, rezultatul rămâne același.

Încearcă și tu!

Să calculăm, folosind proprietățile înmulțirii:

Să calculăm, folosind proprietățile înmulțirii:

Răspuns

3) Orice număr înmulțit cu 1 rămâne neschimbat

Orice număr înmulțit cu 1 rămâne neschimbat

De exemplu, să vedem de ce 3 înmulțit cu 1 ne dă rezultatul 3.

Orice număr înmulțit cu 1 rămâne neschimbat

Se mai spune că 1 este element neutru pentru înmulțire.

4) Dacă unul dintre factorii înmulțirii este 0, atunci produsul este 0

Sau putem spune că orice număr înmulțit cu 0 dă rezultatul 0.

Orice număr înmulțit cu 0 dă rezultatul 0

Încearcă și tu!

Care este rezultatul?

Să calculăm, folosind proprietățile înmulțirii

Răspuns

5) Înmulțirea este distributivă față de adunare și față de scădere

Elena și Ovidiu vor să planteze trandafiri în grădină; Elena a cumpărat 3 trandafiri, iar Ovidiu 5 trandafiri. Fiecare trandafir a costat 8 lei. Copiii vor să afle cât au costat toți trandafirii. Să vedem cum au calculat:

Elena a aflat mai întâi câți trandafiri sunt în total, apoi a calculat cât au costat aceștia;

Ovidiu a aflat mai întâi cât au costat trandafirii cumpărați de Elena, apoi cât au costat cei cumpărați de el; la final a aflat cât au costat în total toți trandafirii;

cei doi copii au scris rezolvarea într-o singură expresie.

Elena și Ovidiu vor să planteze trandafiri în grădină; Elena a cumpărat 3 trandafiri, iar Ovidiu 5 trandafiri. Fiecare trandafir a costat 8 lei. Copiii vor să afle cât au costat toți trandafirii.

Elena și Ovidiu au calculat în două moduri și au obținut același rezultat: asta pentru că atunci când avem de înmulțit un număr cu o sumă, înmulțim acel număr cu fiecare termen al sumei. Acestă proprietate se numește distributivitatea înmulțirii față de adunare :

Distributivitatea înmulțirii față de adunare

***

Înmulțirea este distributivă și față de scădere. Să vedem un exemplu.

Andrei are câțiva stupi. Anul acesta a vândut 90 kg de miere de salcâm, cu prețul de 20 de lei pentru 1 kg. Deja a primit banii pentru 50 kg; ce sumă de bani mai are de primit?

metoda 1: aflăm pentru ce cantitate de miere urmează să primească bani, apoi înmulțim această cantitate cu prețul mierii pe kilogram;

metoda 2: aflăm mai întâi ce sumă de bani trebuie să primească pe toată cantitatea de miere pe care o vinde, apoi aflăm ce sumă de bani a primit deja; prin scădere, aflăm ce sumă de bani urmează să primească;

scriem rezolvarea într-o singură expresie, pentru a observa mai ușor proprietatea de distributivitate a înmulțirii față de scădere.

Distributivitatea înmulțirii față de scădere

Am obținut același rezultat, indiferent de metoda aleasă. Privim rezolvarea scrisă într-o singură expresie și observăm că atunci când avem de înmulțit un număr cu o diferență, înmulțim numărul respectiv mai întâi cu descăzutul, apoi cu scăzătorul. Este important să păstrăm ordinea descăzut - scăzător, pentru că scăderea numerelor naturale nu este comutativă.

Distributivitatea înmulțirii față de scadere

Încearcă și tu!

Calculați rapid, folosind proprietățile înmulțirii:

Calcul rapid, folosind distributivitatea înmulțirii față de adunare și scădere

Răspuns

Puteți citi și ...

Factor comun

Data: 11 decembrie 2017