Metoda reducerii la unitate

Exemple - cazul 2 (o mărime crește, iar cealaltă scade)

1) Pentru umplerea unui bazin, sunt disponibile 8 robinete. Dacă sunt deschise doar 4 robinete, atunci bazinul se umple în 12 ore. În câte ore vor umple bazinul 3 robinete deschise? Robinetele au același debit, adică într-o unitate de timp (un minut sau o oră, de exemplu) curge aceeași cantitate de lichid prin fiecare robinet.

Rezolvare

Înainte să începem să rezolvăm, trebuie să ne gândim: dacă închidem unul sau mai multe robinete, bazinul se va umple în mai mult timp sau în mai puțin timp? Ce se întâmplă cu timpul de umplere a bazinului? Crește sau scade?

Dacă mai deschidem un robinet, bazinul se va umple mai repede sau mai încet?

Dacă închidem unul sau mai multe robinete, atunci va fi nevoie de mai mult timp pentru a se umple bazinul.

Dacă mai deschidem unul sau mai multe robinete, atunci bazinul se va umple mai repede.

Înseamnă că dacă numărul robinetelor deschise crește, atunci scade numărul orelor necesare umplerii bazinului. Invers, dacă numărul robinetelor deschise scade, atunci va crește numărul orelor necesare pentru a se umple bazinul.

Sunt deschise 4 robinete care umplu bazinul în 12 ore. Dacă închidem un robinet, mai rămân 3 robinete deschise care trebuie să umplă bazinul. Ele trebuie să umplă și partea de bazin pe care ar fi umplut-o robinetul al patrulea, cel pe care l-am închis. Înseamnă că vor avea nevoie de mai mult timp pentru a umple bazinul. Scade numărul robinetelor deschise, deci crește timpul în care se umple bazinul.

Primul pas este să aflăm în cât timp umple bazinul un singur robinet. Numărul robinetelor scade de 4 ori, de la 4 la 1 (4 împărțit la 4 este 1). Robinetul rămas deschis trebuie să umple și părțile din bazin care ar fi fost umplute de cele trei robinete pe care le-am închis. Va trebui să curgă mai mult timp pentru a umple bazinul. Deci timpul va crește, vor fi mai mult de 12 ore. Mai exact, timpul va crește de 4 ori, pentru că: mai întâi, robinetul va curge pentru a umple partea de bazin pe care oricum ar fi umplut-o. Apoi va curge pentru a umple partea de bazin pe care ar fi umplut-o primul robinet pe care l-am închis. Apoi va curge pentru a umple partea de bazin pe care ar fi umplut-o al doilea robinet pe care l-am închis. Apoi va curge pentru a umple partea de bazin pe care ar fi umplut-o al treilea robinet pe care l-am închis. Deci robinetul singur va curge de 4 ori mai mult timp decât ar fi curs dacă erau deschise patru robinete.

Metoda reducerii la unitate - Dacă sunt deschise doar 4 robinete, atunci bazinul se umple în 12 ore. În câte ore vor umple bazinul 3 robinete deschise?

Am descoperit că numărul robinetelor scade de 4 ori, iar timpul (numărul orelor) va crește de 4 ori. Cuvintele „scade de ... ori” ne indică operația de împărțire (vezi excepția), iar cuvintele „crește de ... ori” ne indică operația de înmulțire (vezi excepția).

Metoda reducerii la unitate - Dacă sunt deschise doar 4 robinete, atunci bazinul se umple în 12 ore. În câte ore vor umple bazinul 3 robinete deschise?

După ce înțelegem care este relația între numărul robinetelor deschise și numărul orelor necesare umplerii bazinului, scriem datele problemei într-un mod mai simplu, apoi:

aflăm în cât timp umple bazinul un singur robinet deschis;

aflăm în cât timp umplu bazinul trei robinete deschise.

Metoda reducerii la unitate - Dacă sunt deschise doar 4 robinete, atunci bazinul se umple în 12 ore. În câte ore vor umple bazinul 3 robinete deschise?

Întrebări suplimentare:

a) Fără a folosi metoda reducerii la unitate, aflați în câte ore vor umple bazinul 2 robinete.

a) Fără a folosi metoda reducerii la unitate, aflați în câte ore vor umple bazinul 8 robinete.

Răspuns

2) 5 muncitori construiesc o casă în 30 de zile. În câte zile vor construi o casă identică 2 muncitori? Vor avea nevoie de mai multe zile sau de mai puține zile?

Rezolvare

Observăm că dacă numărul muncitorilor scade, atunci va fi nevoie de mai mult timp pentru a construi casa. Invers, dacă numărul muncitorilor ar crește, atunci ei ar construi casa într-un timp mai scurt.

Aflăm în cât timp ar construi casa un singur muncitor. El ar avea nevoie de mult mai mult timp; va face și munca lui, dar și pe cea a celorlalți 4 muncitori care pleacă din echipă. Înseamnă că el va munci de 5 ori mai mult decât dacă ar fi fost în echipa de 5 muncitori. Înseamnă că și timpul necesar construirii casei va crește de 5 ori, deci va avea nevoie de 150 de zile pentru a construi singur casa (5 înmulțit cu 30 de zile).

Doi muncitori vor lucra de două ori mai repede decât un singur muncitor, deci vor construi casa într-un timp de două ori mai scurt (mic) decât 1 muncitor. Cuvintele „de două ori mai mic” ne indică operația de împărțire (vezi excepția), deci împărțind pe 150 la 2 vom afla că 2 muncitori vor construi casa în 75 de zile.

Scriem într-o formă mai scurtă și mai simplă datele problemei.

Metoda reducerii la unitate - aflăm în cât timp construiește 1 muncitor casa

Întrebare suplimentară:

În câte zile construiesc casa 6 muncitori?

Răspuns

Încearcă și tu!

Lucas poate să sape grădina din fața casei în 30 de minute. Dacă ar săpa împreună cu Andrei și Ștefan, în cât timp ar termina de săpat? Copiii sapă cu aceeași viteză.

Răspuns

Fișe de lucru - PDF

Varianta 1

Puteți citi și ...

Legătura dintre împărțire și înmulțire

Împărțirea exactă (cu rest zero) a numerelor naturale

Împărțirea exactă - calcul în scris

Împărțirea exactă - cum calculăm în scris. Exemple

Împărțirea cu rest a numerelor naturale

Împărțirea cu rest - calcul în scris