Proprietățile divizibilității numerelor naturale

Exersează ❙ 1 2 3 4 5


Rezolvă ❙ 1 2


* * *

1) reflexivitatea: orice număr natural se divide cu el însuși (\({a|a}\), unde \({a}\) este număr natural)

  • altfel spus: orice număr natural este divizibil cu el însuși; scriem \({a \; \vdots \; a}\);
  • de ce? pentru că orice număr natural se împarte exact la el însuși;
  • exemplu: 89 îl divide pe 89.

2) antisimetria: dacă \({a|b}\) și \({b|a}\), atunci \({a=b}\), unde \({a}\) și \({b}\) sunt numere naturale

  • altfel spus: dacă \({a }\) este divizor al lui \({b }\) și \({b }\) este divizor al lui \({a }\), atunci \({a = b }\);
  • de ce? Arată răspunsul

  • exemplu: dacă \({a|24}\) și \({24|a}\), atunci \({a=24}\).

3) tranzitivitatea: dacă \({a|b}\) și \({b|c}\), atunci \({a|c}\), unde \({a}\), \({b}\) și \({c}\) sunt numere naturale

  • altfel spus: dacă \({a}\) este divizor al lui \({b}\) și \({b}\) este divizor al lui \({c}\), atunci \({a}\) este divizor al lui \({c}\);
  • altfel spus: dacă un număr natural \({c}\) este divizibil cu \({b}\), atunci \({c}\) este divizibil cu orice divizor al lui \({b}\);
  • de ce? Arată răspunsul

  • exemplu: deoarece \({12|24}\) și \({24|48}\), atunci \({12|48}\) - adevărat.

4) dacă \({a|b}\), atunci \({a\le b}\), unde \({a}\) și \({b}\) sunt numere naturale

  • altfel spus: divizorul nu poate fi mai mare decât multiplul;
  • de ce? dacă \({b}\) este mai mic decât \({a}\), atunci împărțirea lui \({b}\) la \({a}\) nu poate fi făcută în mulțimea numerelor naturale; multiplul se împarte exact la divizor (restul împărțirii este 0).




Exercițiul 1

Fie \({a}\) un număr natural astfel încât \({a|256}\) și \({256|a}\). Calculați:

a) \({a -256}\)

b) \({12(a -16^2) + 25}\)

c) \({3a + 7}\)


Arată rezolvarea


Exercițiul 2

Fie \({a}\) și \({b}\) două numere naturale astfel încât \({6|a}\) și \({a|b}\). Completează casetele cu A pentru afirmațiile adevărate și cu F pentru afirmațiile false:

a) \({b=26 }\)

b) \({b=60}\)

c) \({b=12}\)

d) \({b=78}\)




Arată rezolvarea





5) \({1|a}\), oricare ar fi \({a}\) număr natural

  • altfel spus: orice număr natural este divizibil cu 1, adică se împarte exact la 1;
  • de exemplu: \({1|366}\).

6) \({a|0}\), oricare ar fi \({a}\) număr natural

  • altfel spus: 0 este divizibil cu orice număr natural, adică 0 se împarte exact la orice număr natural (câtul este 0).

7) dacă \({a = b \cdot c}\), atunci \({b|a}\) și \({c|a}\), unde \({a}\), \({b}\) și \({c}\) sunt numere naturale (\({b}\) divide pe \({a}\) și \({c}\) divide pe \({a}\))

  • altfel spus: factorii unui produs sunt divizori ai produsului;
  • de ce? pentru că rezultatul unei înmulțiri se împarte exact la oricare dintre numerele care se înmulțesc;
  • de exemplu: deoarece \({24 = 3 \cdot 8}\), înseamnă că \({3|24}\) și \({8|24}\).

8) dacă \({a|(b \cdot c)}\) și \({(a, b) = 1}\), atunci \({a|c}\), unde \({a}\), \({b}\) și \({c}\) sunt numere naturale

  • altfel spus: dacă numărul natural \({a}\) divide produsul \({b \cdot c}\) și \({a}\) și \({b}\) sunt numere prime între ele, atunci \({a|c}\);
  • de ce? deoarece \({a}\) și \({b}\) sunt prime între ele, înseamnă că \({b}\) nu se împarte exact la \({a}\); rezultă că \({c}\) se împarte exact la \({a}\);
  • de exemplu: dacă \({3|(11 \cdot x)}\), înseamnă că \({3|x}\) pentru că 3 și 11 sunt prime între ele.




9) dacă \({a|b}\), atunci \({a|(b \cdot c)}\), unde \({a}\), \({b}\) și \({c}\) sunt numere naturale

  • altfel spus: dacă \({a|b}\), înseamnă că \({a}\) divide orice multiplu al lui \({b}\);
  • de ce? Arată răspunsul

  • de exemplu: deoarece \({3|21}\), înseamnă că \({3|42}\), deoarece 42 este un multiplu al lui 21.

10) dacă \({(b \cdot c)|a}\), atunci \({b|a}\) și \({c|a}\), unde \({a}\), \({b}\) și \({c}\) sunt numere naturale

  • altfel spus: dacă un număr este divizibil cu un produs, atunci el este divizibil și cu factorii produsului;
  • de ce? dacă \({(b \cdot c)|a}\), atunci \({a}\) se împarte exact la \({b \cdot c}\), deci \({a=b \cdot c \cdot x}\), unde \({x}\) este câtul împărțirii lui \({a}\) la \({b \cdot c}\); înseamnă că \({a}\) se împarte exact la \({b}\), \({c}\) și \({x}\), adică \({b|a}\) și \({c|a}\);
  • de exemplu: deoarece \({(5 \cdot 2)|70}\), înseamnă că \({5|70}\) și \({2|70}\) - adevărat.

11) dacă \({b|a}\), \({c|a}\) și \({(b,c)=1}\), atunci \({(b \cdot c)|a}\), unde \({a}\), \({b}\) și \({c}\) sunt numere naturale

  • altfel spus: dacă doi divizori ai unui număr sunt primi între ei, atunci produsul lor este un alt divizor al numărului dat;
  • de ce? Arată răspunsul

  • de exemplu: deoarece \({2|20}\) și \({5|20}\) și \({(2,5)=1}\), înseamnă că \({(2 \cdot 5)|20}\), adică \({10|20}\) - adevărat;
  • atenție: dacă cei doi divizori ai unui număr nu sunt primi între ei, atunci produsul lor poate sau nu să fie divizor al numărului dat:
    • 2 și 4 sunt divizori ai lui 20 și nu sunt primi între ei, dar produsul lor nu este divizor al lui 20;
    • 3 și 15 sunt divizori ai lui 90 și nu sunt primi între ei, iar produsul lor este divizor al lui 90.

12) dacă \({a|b}\), atunci \({(n \cdot a)|(n \cdot b)}\), unde , unde \({a}\), \({b}\) și \({n}\) sunt numere naturale

  • altfel spus: dacă înmulțim și divizorul, și multiplul cu același număr, relația de divizibilitate se păstrează;
  • de ce?
  • de ce? Arată răspunsul

  • de exemplu: deoarece \({3|6}\), înseamnă că \({(3 \cdot 2 )|(6 \cdot 2 )}\), adică \({6|12}\) - adevărat.

13) dacă \({na|nb}\), atunci \({a|b}\), unde \({a}\), \({b}\) și \({n}\) sunt numere naturale

  • altfel spus: dacă împărțim și divizorul, și multiplul cu același număr, relația de divizibilitate se păstrează;
  • de ce? Arată răspunsul

  • de exemplu: deoarece \({6|12}\), înseamnă că \({2|4}\) (împărțim divizorul și multiplul cu 3) - adevărat.




Exercițiul 3

Fie \({a}\) un număr natural multiplu de 5 și divizor al lui 105. Aflați numărul \({a}\).


Arată rezolvarea

Exercițiul 4

Fie \({a}\) un număr natural divizibil cu 32. Care este restul împărțirii lui \({a}\) la 8? Dar restul împărțirii lui \({a}\) la 16?


Arată rezolvarea

Exercițiul 5

Fie \({a}\) un număr natural. Restul împărțirii lui \({a}\) la 32 este 8. Numărul \({a}\) este divizibil cu 4?


Arată rezolvarea





14) dacă \({a|b}\) și \({a|c}\), atunci \({a|(b + c)}\) și \({a|(b - c)}\), unde \({b > c}\), iar \({a}\), \({b}\) și \({c}\) sunt numere naturale

  • altfel spus: dacă un număr natural \({a}\) divide două numere naturale \({b}\) și \({c}\), atunci \({a}\) divide suma și diferența acestor două numere;
  • de ce? Arată răspunsul

  • de exemplu: deoarece \({3|6}\) și \({3|27}\), înseamnă că \({3|33}\) și \({3|21}\) - adevărat (6 plus 27 este egal cu 33, 27 minus 6 este egal cu 21).

15) dacă \({a|(b+c)}\) și \({a|b}\), atunci \({a|c}\), unde \({a}\), \({b}\) și \({c}\) sunt numere naturale

  • altfel spus: dacă numărul natural \({a}\) divide suma a două numere naturale și, în același timp, îl divide și pe unul dintre cele două numere, atunci \({a}\) îl divide și pe celălalt număr;
  • de ce? Arată răspunsul

  • de exemplu: deoarece \({3|(6+9)}\) și \({3|6}\), înseamnă că \({3|9}\) - adevărat (6 plus 9 este egal cu 15, multiplu de 3).

16) dacă toți termenii sumei sunt divizibili cu un număr, atunci suma este divizibilă cu acel număr.

  • de ce? Arată răspunsul

17) dacă un termen al sumei nu este divizibil cu \({a}\) și ceilalți termeni sunt divizibili cu \({a}\), atunci suma nu este divizibilă cu \({a}\).

  • de ce? Arată răspunsul

18) dacă \({a|(b-c)}\) și \({a|b}\), atunci \({a|c}\), unde \({a}\), \({b}\) și \({c}\) sunt numere naturale

  • altfel spus: dacă numărul natural \({a}\) divide diferența \({b-c}\) și un termen al acestei diferențe (descăzutul \({b}\)), atunci \({a}\) divide și celălalt termen al diferenței (scăzătorul \({c}\));
  • de ce? Arată răspunsul

  • de exemplu: deoarece \({3|(15-6)}\) și \({3|15}\), înseamnă că \({3|6}\) - adevărat (15 minus 6 este egal cu 9, multiplu de 3).

19) dacă \({a|(b-c)}\) și \({a|c}\), atunci \({a|b}\), unde \({a}\), \({b}\) și \({c}\) sunt numere naturale

  • altfel spus: dacă numărul natural \({a}\) divide diferența \({b-c}\) și un termen al acestei diferențe (descăzutul \({b}\)), atunci \({a}\) divide și celălalt termen al diferenței (scăzătorul \({c}\));
  • de ce? Arată răspunsul

  • de exemplu: deoarece \({3|(15-6)}\) și \({3|6}\), înseamnă că \({3|15}\) - adevărat (15 minus 6 este egal cu 9, multiplu de 3).




Exercițiul 6

Fie \({\overline{ab}}\) un număr natural divizibil cu 11. Numărul \({5a +6b}\) este divizibil cu 11?


Arată rezolvarea


Exercițiul 7

În curtea bunicilor sunt găini și pisici, în total 38 de capete și 90 de picioare.

a) Numărul găinilor este par sau impar?

b) Numărul pisicilor este par sau impar?


Arată rezolvarea


Vrei să te verifici? Ai aici exerciții și probleme:

Exersează ❙ 1 2 3 4 5


Rezolvă ❙ 1 2






Puteți citi și ...

Scăderea numerelor naturale

Scăderea numerelor naturale fără trecere peste ordin

Scăderea numerelor naturale cu trecere peste ordin