dacă \({a|b}\), atunci \({b}\) se împarte exact la \({a}\), deci avem \({b=a \cdot x}\), unde \({x}\) este un număr natural (câtul împărțirii lui \({b}\) la \({a}\))
dacă \({b|a}\), atunci \({a}\) se împarte exact la \({b}\), deci avem \({a=b \cdot y}\), unde \({y}\) este un număr natural (câtul împărțirii lui \({a}\) la \({b}\))
avem \({b=a \cdot x = \underbrace{b \cdot y}_{a} \cdot x}\)
exemplu: dacă \({a|24}\) și \({24|a}\), atunci \({a=24}\).
3) tranzitivitatea: dacă \({a|b}\) și \({b|c}\), atunci \({a|c}\), unde \({a}\), \({b}\) și \({c}\) sunt numere naturale
altfel spus: dacă \({a}\) este divizor al lui \({b}\) și \({b}\) este divizor al lui \({c}\), atunci \({a}\) este divizor al lui \({c}\);
altfel spus: dacă un număr natural \({c}\) este divizibil cu \({b}\), atunci \({c}\) este divizibil cu orice divizor al lui \({b}\);
dacă \({a|b}\), atunci \({b}\) se împarte exact la \({a}\), deci avem \({b=a \cdot x}\), unde \({x}\) este un număr natural (câtul împărțirii lui \({b}\) la \({a}\))
dacă \({b|c}\), atunci \({c}\) se împarte exact la \({b}\), deci avem \({c=b \cdot y}\), unde \({y}\) este un număr natural (câtul împărțirii lui \({c}\) la \({b}\))
avem \({c=b \cdot y = \underbrace{a \cdot x}_{b} \cdot y}\)
am obținut că \({c}\) poate fi scris ca un produs în care \({a}\) este unul dintre factori; înseamnă că \({a}\) este divizor al lui \({c}\), adică \({a|c}\)
exemplu: deoarece \({12|24}\) și \({24|48}\), atunci \({12|48}\) - adevărat.
4) dacă \({a|b}\), atunci \({a\le b}\), unde \({a}\) și \({b}\) sunt numere naturale
altfel spus: divizorul nu poate fi mai mare decât multiplul;
de ce? dacă \({b}\) este mai mic decât \({a}\), atunci împărțirea lui \({b}\) la \({a}\) nu poate fi făcută în mulțimea numerelor naturale; multiplul se împarte exact la divizor (restul împărțirii este 0).
Exercițiul 1
Fie \({a}\) un număr natural astfel încât \({a|256}\) și \({256|a}\). Calculați:
Fie \({a}\) și \({b}\) două numere naturale astfel încât \({6|a}\) și \({a|b}\). Completează casetele cu A pentru afirmațiile adevărate și cu F pentru afirmațiile false:
Deoarece \({6|a}\) și \({a|b}\), înseamnă că \({6|b}\) (tranzitivitatea relației de divizibilitate), adică 6 este multiplu al lui \({b}\).
a) 26 nu este multiplu al lui 6, deci \({b}\) nu este egal cu 26.
b) 60 este multiplu al lui 6, deci \({b}\) poate fi egal cu 60.
c) 12 este multiplu al lui 6, deci \({b}\) poate fi egal cu 12.
d) 78 este multiplu al lui 6, deci \({b}\) poate fi egal cu 78.
5) \({1|a}\), oricare ar fi \({a}\) număr natural
altfel spus: orice număr natural este divizibil cu 1, adică se împarte exact la 1;
de exemplu:\({1|366}\).
6) \({a|0}\), oricare ar fi \({a}\) număr natural
altfel spus: 0 este divizibil cu orice număr natural, adică 0 se împarte exact la orice număr natural (câtul este 0).
7) dacă \({a = b \cdot c}\), atunci \({b|a}\) și \({c|a}\), unde \({a}\), \({b}\) și \({c}\) sunt numere naturale (\({b}\) divide pe \({a}\) și \({c}\) divide pe \({a}\))
altfel spus: factorii unui produs sunt divizori ai produsului;
de ce? pentru că rezultatul unei înmulțiri se împarte exact la oricare dintre numerele care se înmulțesc;
de exemplu: deoarece \({24 = 3 \cdot 8}\), înseamnă că \({3|24}\) și \({8|24}\).
8) dacă \({a|(b \cdot c)}\) și \({(a, b) = 1}\), atunci \({a|c}\), unde \({a}\), \({b}\) și \({c}\) sunt numere naturale
altfel spus: dacă numărul natural \({a}\) divide produsul \({b \cdot c}\) și \({a}\) și \({b}\) sunt numere prime între ele, atunci \({a|c}\);
de ce? deoarece \({a}\) și \({b}\) sunt prime între ele, înseamnă că \({b}\) nu se împarte exact la \({a}\); rezultă că \({c}\) se împarte exact la \({a}\);
de exemplu: dacă \({3|(11 \cdot x)}\), înseamnă că \({3|x}\) pentru că 3 și 11 sunt prime între ele.
9) dacă \({a|b}\), atunci \({a|(b \cdot c)}\), unde \({a}\), \({b}\) și \({c}\) sunt numere naturale
altfel spus: dacă \({a|b}\), înseamnă că \({a}\) divide orice multiplu al lui \({b}\);
deoarece \({a|b}\), înseamnă că \({b}\) se împarte exact la \({a}\), deci \({b=a \cdot x}\), unde \({x}\) este un număr natural (câtul împărțirii lui \({b}\) la \({a}\));
în produsul \({b \cdot c}\) înlocuim pe \({b}\) cu \({a \cdot x}\) și obținem \({a \cdot x \cdot c}\);
produsul \({a \cdot x \cdot c}\) se împarte exact la \({a}\), deci \({a|(a \cdot x \cdot c)}\), adică \({a|(b \cdot c)}\).
de exemplu: deoarece \({3|21}\), înseamnă că \({3|42}\), deoarece 42 este un multiplu al lui 21.
10) dacă \({(b \cdot c)|a}\), atunci \({b|a}\) și \({c|a}\), unde \({a}\), \({b}\) și \({c}\) sunt numere naturale
altfel spus: dacă un număr este divizibil cu un produs, atunci el este divizibil și cu factorii produsului;
de ce? dacă \({(b \cdot c)|a}\), atunci \({a}\) se împarte exact la \({b \cdot c}\), deci \({a=b \cdot c \cdot x}\), unde \({x}\) este câtul împărțirii lui \({a}\) la \({b \cdot c}\); înseamnă că \({a}\) se împarte exact la \({b}\), \({c}\) și \({x}\), adică \({b|a}\) și \({c|a}\);
de exemplu: deoarece \({(5 \cdot 2)|70}\), înseamnă că \({5|70}\) și \({2|70}\) - adevărat.
11) dacă \({b|a}\), \({c|a}\) și \({(b,c)=1}\), atunci \({(b \cdot c)|a}\), unde \({a}\), \({b}\) și \({c}\) sunt numere naturale
altfel spus: dacă doi divizori ai unui număr sunt primi între ei, atunci produsul lor este un alt divizor al numărului dat;
deoarece \({b|a}\), înseamnă că \({a}\) se împarte exact la \({b}\), deci \({a=b \cdot x}\), unde \({x}\) este un număr natural (câtul împărțirii lui \({a}\) la \({b}\));
deoarece \({c|a}\), înseamnă că \({a}\) se împarte exact la \({c}\), deci \({a=b \cdot y}\), unde \({y}\) este un număr natural (câtul împărțirii lui \({a}\) la \({c}\));
înseamnă că \({\textcolor{BurntOrange}{a}=bx\textcolor{BurntOrange}{=cy}}\);
deoarece \({b|a}\), înseamnă că \({b|cy}\);
cum \({b}\) și \({c}\) sunt prime între ele, rezultă că \({b|y}\), adică \({y=b \cdot z}\), unde \({z}\) este un număr natural (câtul împărțirii lui \({y}\) la \({b}\));
avem \({a=cy=c \cdot \underbrace{b \cdot z}_{y}}\), deci \({(b \cdot c)|a}\).
de exemplu: deoarece \({2|20}\) și \({5|20}\) și \({(2,5)=1}\), înseamnă că \({(2 \cdot 5)|20}\), adică \({10|20}\) - adevărat;
atenție: dacă cei doi divizori ai unui număr nu sunt primi între ei, atunci produsul lor poate sau nu să fie divizor al numărului dat:
2 și 4 sunt divizori ai lui 20 și nu sunt primi între ei, dar produsul lor nu este divizor al lui 20;
3 și 15 sunt divizori ai lui 90 și nu sunt primi între ei, iar produsul lor este divizor al lui 90.
12) dacă \({a|b}\), atunci \({(n \cdot a)|(n \cdot b)}\), unde , unde \({a}\), \({b}\) și \({n}\) sunt numere naturale
altfel spus: dacă înmulțim și divizorul, și multiplul cu același număr, relația de divizibilitate se păstrează;
Numărul \({a}\) nu se împarte exact la 32: se obține un cât pe care îl notăm cu \({x}\) pentru că nu-l știm și restul 8. Scriem:
\({a=32 \cdot x + 8 }\)(*)
Observăm că 32 și 8 sunt multipli de 4. Dăm factor comun pe 4 și obținem:
\({a=4(8 \cdot x + 2) }\)
L-am scris pe \({a}\) ca produs în care unul dintre factori este 4. Rezultă că \({a}\) este divizibil cu 4.
(*) Alt mod de a gândi: numărul \({a}\) este suma a două numere divizibile cu 4, deci este divizibil cu 4 (\({32 \cdot x }\) este divizibil cu 4 și 8 este divizibil cu 4).
14) dacă \({a|b}\) și \({a|c}\), atunci \({a|(b + c)}\) și \({a|(b - c)}\), unde \({b > c}\), iar \({a}\), \({b}\) și \({c}\) sunt numere naturale
altfel spus: dacă un număr natural \({a}\) divide două numere naturale \({b}\) și \({c}\), atunci \({a}\) divide suma și diferența acestor două numere;
deoarece \({a|b}\), atunci \({b= a \cdot x}\), unde \({x}\) este un număr natural (câtul împărțirii lui \({b}\) la \({a}\))
deoarece \({a|c}\), atunci \({c= a \cdot y}\), unde \({y}\) este un număr natural (câtul împărțirii lui \({c}\) la \({a}\))
înseamnă că:
\({b+ c = ax+ay}\);
\({b- c = ax-ay}\);
dăm factor comun pe \({a}\) și obținem:
\({b+ c = a(x+y)}\)
\({b- c = a(x-y)}\)
rezultă că \({a|(b + c)}\) și \({a|(b - c)}\).
de exemplu: deoarece \({3|6}\) și \({3|27}\), înseamnă că \({3|33}\) și \({3|21}\) - adevărat (6 plus 27 este egal cu 33, 27 minus 6 este egal cu 21).
15) dacă \({a|(b+c)}\) și \({a|b}\), atunci \({a|c}\), unde \({a}\), \({b}\) și \({c}\) sunt numere naturale
altfel spus: dacă numărul natural \({a}\) divide suma a două numere naturale și, în același timp, îl divide și pe unul dintre cele două numere, atunci \({a}\) îl divide și pe celălalt număr;
deoarece \({a|(b+c)}\), atunci \({b+c= a \cdot x=ax}\), unde \({x}\) este un număr natural (câtul împărțirii lui \({b+c}\) la \({a}\))
deoarece \({a|c}\), atunci \({c= a \cdot y = ay}\), unde \({y}\) este un număr natural (câtul împărțirii lui \({c}\) la \({a}\))
rezultă că \({b+c=\textcolor{BurntOrange}{ay+c=ax}}\)
aplicăm: deoarece \({T_1+T_2 = S }\), rezultă că \({S-T_1 =T_2}\) (sau trecem un termen dintr-o parte a egalității în alta, cu semn schimbat);
deoarece \({\underbrace{ay}_{T_1}+\underbrace{c}_{T_2}=\underbrace{ax}_{S}}\) , rezultă că \({\underbrace{ax}_{S}-\underbrace{ay}_{T_1}=\underbrace{c}_{T_2}}\)
dăm factor comun pe \({a }\) și obținem că \({a(x-y)=c}\);
înseamnă că \({a|c }\).
de exemplu: deoarece \({3|(6+9)}\) și \({3|6}\), înseamnă că \({3|9}\) - adevărat (6 plus 9 este egal cu 15, multiplu de 3).
16) dacă toți termenii sumei sunt divizibili cu un număr, atunci suma este divizibilă cu acel număr.
nu avem un divizor comun al termenilor sumei pe care să-l dăm factor comun.
18) dacă \({a|(b-c)}\) și \({a|b}\), atunci \({a|c}\), unde \({a}\), \({b}\) și \({c}\) sunt numere naturale
altfel spus: dacă numărul natural \({a}\) divide diferența \({b-c}\) și un termen al acestei diferențe (descăzutul \({b}\)), atunci \({a}\) divide și celălalt termen al diferenței (scăzătorul \({c}\));
deoarece \({a|(b-c)}\), atunci \({b-c= a \cdot x=ax}\), unde \({x}\) este un număr natural (câtul împărțirii lui \({b-c}\) la \({a}\))
deoarece \({a|b}\), atunci \({b= a \cdot y = ay}\), unde \({y}\) este un număr natural (câtul împărțirii lui \({b}\) la \({a}\))
rezultă că \({b-c=\textcolor{BurntOrange}{ay-c=ax}}\)
aplicăm: deoarece \({\textcolor{BurntOrange}{descăzut-scăzător=diferență} }\), rezultă că \({\textcolor{BurntOrange}{descăzut-diferență=scăzător} }\) (sau trecem un termen dintr-o parte a egalității în alta, cu semn schimbat);
deoarece \({ay-c=ax}\) , rezultă că \({ay-ax=c}\)
dăm factor comun pe \({a }\) și obținem că \({a(y-x)=c}\);
înseamnă că \({a|c }\).
de exemplu: deoarece \({3|(15-6)}\) și \({3|15}\), înseamnă că \({3|6}\) - adevărat (15 minus 6 este egal cu 9, multiplu de 3).
19) dacă \({a|(b-c)}\) și \({a|c}\), atunci \({a|b}\), unde \({a}\), \({b}\) și \({c}\) sunt numere naturale
altfel spus: dacă numărul natural \({a}\) divide diferența \({b-c}\) și un termen al acestei diferențe (descăzutul \({b}\)), atunci \({a}\) divide și celălalt termen al diferenței (scăzătorul \({c}\));
deoarece \({a|(b-c)}\), atunci \({b-c= a \cdot x=ax}\), unde \({x}\) este un număr natural (câtul împărțirii lui \({b-c}\) la \({a}\))
deoarece \({a|c}\), atunci \({c= a \cdot y = ay}\), unde \({y}\) este un număr natural (câtul împărțirii lui \({c}\) la \({a}\))
rezultă că \({b-c=\textcolor{BurntOrange}{b-ay=ax}}\)
aplicăm: deoarece \({\textcolor{BurntOrange}{descăzut-scăzător=diferență} }\), rezultă că \({\textcolor{BurntOrange}{diferență+scăzător=descăzut} }\) (sau trecem un termen dintr-o parte a egalității în alta, cu semn schimbat);
deoarece \({b-ay=ax}\) , rezultă că \({ax+ay=b}\)
dăm factor comun pe \({a }\) și obținem că \({a(x+y)=b}\);
înseamnă că \({a|b }\).
de exemplu: deoarece \({3|(15-6)}\) și \({3|6}\), înseamnă că \({3|15}\) - adevărat (15 minus 6 este egal cu 9, multiplu de 3).
Exercițiul 6
Fie \({\overline{ab}}\) un număr natural divizibil cu 11. Numărul \({5a +6b}\) este divizibil cu 11?
Descompunem numărul \({\overline{ab}}\) în sumă de produse. Scriem:
\({\overline{ab} = 10a+b}\)
Deoarece \({\overline{ab}}\) este divizibil cu 11, înseamnă că suma \({10a+b}\) este divizibilă cu 11.
Vrem să arătăm că numărul \({5a +6b}\) este divizibil cu 11. Pentru asta, încercăm să găsim sau să facem noi o legătură între \({5a +6b}\) și \({10a+b}\).
Observăm că există o legătură între coeficienții lui \({a}\): 5 este divizor al lui 10, 5 înmulțit cu 2 ne dă 10.
Să vedem ce obținem dacă înmulțim cu 2 numărul \({5a+6b}\):
a) Presupunem că numărul găinilor este par, deci este de forma \({2k}\), unde \({k}\) este un număr natural. Avem \({2k}\) găini.
O găină are două picioare, deci numărul picioarelor găinilor este egal cu numărul găinilor înmulțit cu 2, adică \({2 \cdot 2k=4k}\).
Observăm că numărul picioarelor găinilor este multiplu de 4.
Să analizăm acum numărul picioarelor pisicilor: o pisică are 4 picioare, deci numărul picioarelor pisicilor este egal cu numărul pisicilor înmulțit cu 4. Înseamnă că numărul picioarelor pisicilor este multiplu de 4.
Deoarece numărul picioarelor găinilor și pisicilor sunt multipli de 4, rezultă că și suma lor trebuie să fie multiplu de 4. Suma lor este 90 - nu este multiplu de 4. Rezultă că presupunerea de la care am pornit este falsă, deci numărul găinilor nu poate fi par.
Am obținut că numărul găinilor este impar.
b) În total sunt 38 de capete, adică 38 de animale în total. 38 este număr par. Numărul găinilor este impar. Înseamnă că numărul pisicilor este impar (suma a două numere impare este număr par).
Dacă vreți să susțineți funcționarea și dezvoltarea mathema.ro, puteți contribui prin donație. Aceasta nu elimină reclamele existente, dar îmi permite să accelerez dezvoltarea website-ului și să acopăr costurile de funcționare.
Nume titular: GEORGIU LIVIA-NICOLETA
IBAN: RO20BTRLRONCRT0287588001
SWIFT: BTRLRO22
Mulțumesc! ❤️
Vrei să te verifici? Ai aici exerciții și probleme: