Divizibilitate. Divizor. Multiplu



În acest articol

Introducere

„A divide” înseamnă „a împărți”, „divizibil” înseamnă „care se poate împărți”, „divizibilitate” înseamnă însușirea de a se împărți exact. În continuare vom vorbi despre numere care se împart exact, adică cu restul 0.

Spunem că un număr \({a}\) este divizibil cu \({b}\) dacă \({a}\) se împarte exact la \({b}\), deci dacă restul împărțirii lui \({a}\) la \({b}\) este 0.

Putem spune \({a}\) este divizibil cu \({b}\) sau \({a}\) se divide cu \({b}\) sau \({a}\) este multiplu al lui \({b}\) .

Invers, dacă ne referim la \({b}\), putem spune \({b}\) divide pe \({a}\) sau \({b}\) este divizor al lui \({a}\) .

Dacă restul este 0, „divizorul” corespunde împărțitorului din operația de împărțire (la operația de împărțire avem deîmpărțit, împărțitor, cât și rest). „Multiplul” corespunde deîmpărțitului - atenție! este valabil când restul împărțirii este 0, deci când avem împărțire exactă.

Definiția matematică este puțin mai riguroasă: un număr natural \({a}\) este divizibil cu un număr natural \({b}\) dacă există numărul natural \({c}\) astfel încât \({a}\) = \({b \cdot c}\). Numărul \({c}\) este de fapt câtul împărțirii cu restul 0.

Din \({a}\) = \({b \cdot c}\) observăm că \({b}\) și \({c}\) sunt divizori ai lui \({a}\), adică \({a}\) este divizibil cu \({b}\) și \({a}\) este divizibil cu \({c}\) (\({a}\) se împarte exact atât la \({b}\) cât și la \({c}\)).

Divizor. Multiplu

Exemplu

12 este divizibil cu 3 pentru că 12 se împarte exact la 3 există numărul natural 4 astfel încât 12 = 3 4.

12 este divizibil cu 4 pentru că 12 se împarte exact la 4 există numărul natural 3 astfel încât 12 = 4 3.

12 este multiplu al lui 3 și 12 este multiplu al lui 4 3 și 4 sunt divizori ai lui 12.

Cum scriem în limbaj matematic?

Divizor. Multiplu

Negația (nu este divizibil)

15 este divizibil cu 2? Să vedem: 15 împărțit la 2 ne dă 7 rest 1; cum restul e diferit de 0, înseamnă că 15 nu e divizibil cu 2. Puteam spune direct, uitându-ne la ultima cifră a lui 15 (numerele care au cifra unităților pară se împart exact la 2 sau putem spune că sunt divizibile cu 2).

Cum scriem?

Divizor. Multiplu

Exemple

1) 35 este divizibil cu 7 pentru că 35 se împarte exact la 7; putem spune că 7 divide pe 35; cum 35 împărțit la 7 ne dă 5, ptem spune că 5 divide pe 35 și că 35 este divizibil cu 5;

2) 9 divide pe 54; 54 este divizibil cu 9; cum 54 se împarte exact la 9 și ne dă 6, putem spune că 54 este divizibil cu 6 și 6 divide pe 54;

3) 6 nu divide pe 25, pentru că 25 împărțit la 6 ne dă restul 1; putem să mai spunem că 25 nu este divizibil cu 6;

4) 35 nu este divizibil cu 8 pentru că 35 împărțit la 8 ne dă restul 3; putem spune că 8 nu divide pe 35;

Încearcă și tu!

5) 10 este divizibil cu

6) 5

7) 25

8) 36

9) 9

Divizor. Multiplu

Orice număr natural se împarte exact la 1. Spunem că orice număr este divizibil cu 1; scriem \({a}\) 1 sau 1 \({a}\) , unde \({a}\) este un număr natural.

Orice număr natural se împarte exact la el însuși. Spunem că orice număr este divizibil cu el însuși; scriem \({a}\) \({a}\) sau \({a}\) \({a}\).

Numerele \({1}\) și \({a}\) se numesc divizori improprii ai lui \({a}\). Toți ceilalți divizori ai lui \({a}\) se numesc divizori proprii (dacă există).

Divizor. Multiplu

Mulțimea divizorilor unui număr natural \({a}\) o notăm cu \({D}\)\({a}\). Avem \({D}\)\({a}\) = {toți divizorii numărului \({a}\)}.

De exemplu, \({D}\)\({21}\) = {1, 3, 7, 21}. 1 și 21 sunt divizori improprii ai lui 21, iar 3 și 7 sunt divizori proprii ai lui 21.

Puteți citi și ...

Metoda reducerii la unitate

Legătura dintre împărțire și înmulțire

Împărțirea exactă (cu rest zero) a numerelor naturale

Împărțirea exactă - calcul în scris

Împărțirea exactă - cum calculăm în scris. Exemple

Împărțirea cu rest a numerelor naturale

Împărțirea cu rest - calcul în scris