Adunarea numerelor naturale. Exerciții și probleme - varianta 3

1. Calculați suma a cinci numere consecutive, știind că unul dintre ele este 105.

Explicație |

Răspuns

2. Care este suma numerelor naturale mai mici decât 1000, care conțin cifra 1 de două ori?

Explicație |

Răspuns

3. Suma a trei numere naturale consecutive este 255. Aflați numerele.

Explicație |

Răspuns

4. Suma a cinci numere naturale consecutive impare este 145. Aflați numerele.

Explicație |

Răspuns

5. Avem un șir de 35 de numere naturale consecutive; știm că termenul din mijloc este 173.

a) Aflați primul și ultimul termen al șirului.

b) Calculați suma celor 35 de numere.

Explicație |

Răspuns

1. Calculați suma a cinci numere consecutive, știind că unul dintre ele este 105.

Explicație

Numerele consecutive sunt numerele care urmează unul după altul, neîntrerupt (începând cu cel de-al doilea, fiecare este cu o unitate mai mare decât cel din fața lui). Noi avem cinci numere consecutive, iar unul dintre ele este 105. Asta înseamnă că 105 poate fi primul sau al doilea sau al treilea sau al patrulea sau al cincilea.

105 poate fi primul sau al doilea sau al treilea sau al patrulea sau al cincilea.

Atunci când rezolvăm o problemă sau un exercițiu, putem să mai observăm și altceva în afară de ceea ce ni se cere. Este bine să ne obișnuim să analizăm tot ceea ce poate fi observat, să ne punem întrebări, chiar dacă depășim cerințele din enunț. Așa exersăm, ne obișnuim să gândim și putem să avem satisfacții mari atunci când descoperim noi legături pe care le putem folosi la rezolvarea altor probleme și exerciții. Aceasta e „gimnastica minții”; așa cum corpul nostru are nevoie de mișcare pentru a fi „în formă”, și mintea noastră are nevoie s-o folosim cât mai mult, pentru a rămâne tânără și „ascuțită”.

Cazul I - 105 este primul dintre cele cinci numere consecutive

Dacă 105 este primul dintre cele cinci numere consecutive, înseamnă că următoarele sunt 106, 107, 108 și 109.

105 este primul dintre cele cinci numere consecutive.

Suma lor este 535:

Dacă 105 este primul dintre cele cinci numere consecutive, atunci suma lor este 535.

Cum putem calcula (în minte):

Dacă 105 este primul dintre cele cinci numere consecutive, atunci suma lor este 535.

Cazul II - 105 este al doilea dintre cele cinci numere consecutive

În acest caz, numerele sunt:

105 este primul dintre cele cinci numere consecutive.

Să analizăm puțin

1) Cum e suma numerelor în cazul II față de cazul I? Altfel spus, care e mai mare: suma numerelor 105, 106, 107, 108 și 109 sau suma numerelor 104, 105, 106, 107 și 108? Să răspundem fără să calculăm!

Să comparăm cele două sume!

Răspuns

2) Să verificăm prin calcul!

Răspuns

Suma numerelor 104, 105, 106, 017 și 108 este 530:

Suma numerelor 104, 105, 106, 107 și 108 este 530.

Cazul III - 105 este al treilea dintre cele cinci numere consecutive

Dacă 105 este al treilea dintre cele cinci numere consecutive, înseamnă că este precedat de 103 și 104, iar numerele care-i urmează sunt 106 și 107:

105 este al treilea dintre cele cinci numere consecutive

Suma lor este 525:

Suma numerelor 103, 104, 105, 106 și 107 este 525.

Cazul IV - 105 este al patrulea dintre cele cinci numere consecutive

În acest caz, numerele sunt 102, 103, 104, 105 și 106, iar suma lor este 520:

Suma numerelor 102, 103, 104, 105 și 106 este 520.

Cazul V - 105 este al cincilea dintre cele cinci numere consecutive

Cele cinci numere consecutive sunt 101, 102, 103, 104 și 105. Suma lor este 515:

Suma numerelor 101, 102, 103, 104 și 105 este 520.

2. Care este suma numerelor naturale mai mici decât 1000, care conțin cifra 1 de două ori?

Explicație

În primul rând trebuie să stabilim care sunt numerele naturale mai mici decât 1000, care conțin cifra 1 de două ori. După ce știm care sunt aceste numere, calculăm suma lor.

1) Care sunt numerele naturale mai mici decât 1000, care conțin cifra 1 de două ori?

Numărul 1000 este cel mai mic număr natural de patru cifre. Numerele naturale mai mici decât el sunt numerele formate dintr-o cifră, apoi urmează cele formate din două cifre și apoi cele formate din trei cifre. Dintre toate acestea, pe noi ne interesează cele care conțin cifra 1 de două ori.

Numerele formate dintr-o singură cifră (de la 0 la 9) nu ne interesează, pentru că cele care conțin cifra 1 de două ori au cel puțin două cifre.

Numerele formate din două cifre sunt de la 10 la 99. Singurul dintre acestea care are cifra 1 de două ori este 11.

Numerele formate din trei cifre sunt cele de la 100 la 999. Ele au cifra unităților, cifra zecilor și cifra sutelor. Pe noi ne interesează cele care conțin cifra 1 de două ori.

Numerele formate din trei cifre au cifra sutelor, cifra zecilor și cifra unităților.

Avem trei cazuri:

cifra sutelor este 1, cifra zecilor este 1. Rezultă numerele 110, 111, 112, 113, 114, 115, 116, 117, 118 și 119.

Cifra sutelor este 1, cifra zecilor este 1.

cifra sutelor este 1, cifra unităților este 1. Rezultă numerele 101, 111, 121, 131, 141, 151, 161, 171, 181 și 191.

Cifra sutelor este 1, cifra unităților este 1.

cifra zecilor este 1, cifra unităților este 1. Rezultă numerele 111, 211, 311, 411, 511, 611, 711, 811, 911 (prima cifră de la stânga nu poate fi zero, deci cifra sutelor în acest caz nu poate fi zero).

Cifra zecilor este 1, cifra unităților este 1.

Aceste trei cazuri au în comun numărul 111; atunci când vom calcula suma numerelor, îl vom lua o singură dată.

Numerele naturale mai mici decât 1000, care conțin cifra 1 de două ori, sunt: 11, 101, 110, 111, 112, 113, 114, 115, 116, 117, 118, 119, 121, 131, 141, 151, 161, 171, 181, 191, 211, 311, 411, 511, 611, 711, 811, 911.

2) Să calculăm suma numerelor naturale mai mici decât 1000, care conțin cifra 1 de două ori

Trebuie să calculăm suma numerelor 11, 101, 110, 111, 112, 113, 114, 115, 116, 117, 118, 119, 121, 131, 141, 151, 161, 171, 181, 191, 211, 311, 411, 511, 611, 711, 811, 911. Calculăm suma „pe bucăți”, să ne fie mai ușor. Observăm că avem trei șiruri de numere a căror sumă se poate calcula ușor:

numerele 110, 111, 112, 113, 114, 115, 116, 117, 118 și 119. Sunt numere consecutive, suma lor este 1145.

Suma numerelor 110, 111, 112, 113, 114, 115, 116, 117, 118 și 119 este 1145; le grupăm câte două.

numerele 121, 131, 141, 151, 161, 171, 181 și 191. Primul termen este 121, ultimul este 191. Începând cu al doilea termen, fiecare este egal cu cel dinaintea lui plus 10; suma lor este 1248.

Suma numerelor 121, 131, 141, 151, 161, 171, 181 și 191 este 1248; le grupăm câte două.

numerele 211, 311, 411, 511, 611, 711, 811 și 911. Primul termen este 211, ultimul este 911. Începând cu al doilea termen, fiecare este egal cu cel dinaintea lui plus 100; suma lor este 4488.

Suma numerelor 211, 311, 411, 511, 611, 711, 811 și 911; le grupăm câte două.

Suma numerelor naturale mai mici decât 1000, care conțin cifra 1 de două ori, este egală cu 11 plus 101 plus cele trei sume parțiale pe care le-am calculat mai înainte; obținem 6993:

Suma numerelor naturale mai mici decât 1000, care conțin cifra 1 de două ori, este egală cu 6993.

3. Suma a trei numere naturale consecutive este 255. Aflați numerele.

Explicație

Numerele consecutive sunt cele care urmează unul după altul, neîntrerupt. Știm că suma a trei numere naturale consecutive este 255. Înseamnă că al doilea număr este cu 1 mai mare decât primul, iar al treilea număr este cu 1 mai mare decât al doilea.

Pentru a afla numerele, folosim metoda grafică. Primul număr îl desenăm ca un segment. Cel de-al doilea număr este cu 1 mai mare decât primul număr; în locul lui vom desena un segment egal cu cel pentru primul număr, la care mai adăugăm un segment mai mic, care înseamnă 1 unitate (vrem să arătăm că este mai mare cu 1 decât primul număr).

Suma a trei numere naturale consecutive este 255.

Pentru a desena și al treilea număr, procedăm astfel: îl mai desenăm o dată pe al doilea și mai adăugăm segmentul pentru o unitate, pentru că al treilea număr este cu 1 mai mare decât al doilea număr.

Observăm că avem trei segmente egale (cele roz) și încă 3 unități. Toate adunate ne dau 255. Noi trebuie să aflăm cât înseamnă un segment roz (dacă aflăm cât înseamnă un segment roz, înseamnă că am aflat care este primul număr și putem afla apoi celelalte două numere).

Cele 3 unități ne încurcă; să încercăm să „scăpăm” de ele: pentru asta, le scădem din 255. Avem 255 minus 3 egal cu 252. Deci cele trei segmente roz egale, împreună, înseamnă 252.

Suma a trei numere naturale consecutive este 255.

Acum avem 3 segmente roz, egale; ele reprezintă numere egale, a căror sumă este 252. Putem afla numerele, împărțind pe 252 la 3. Obținem că un segment roz reprezintă numărul 84. Acesta este primul dintre cele trei numere naturale consecutive pe care vrem să le aflăm.

Suma a trei numere naturale consecutive este 255; primul număr este 84

Primul dintre cele trei numere consecutive l-am desenat ca un segment roz; pentru al doilea, am mai adăugat 1 unitate, iar pentru al treilea număr am adăugat 2 unități. Cum segmentul roz reprezintă numărul 84, înseamnă că primul număr (cel mai mic dintre cele trei consecutive) este 84. Al doilea număr este 85, iar al treilea este 86.

Cele trei numere naturale consecutive a căror sumă este 255 sunt 84, 85 și 86.

Suma a trei numere naturale consecutive este 255;numerele sunt 84, 85 și 86. Am folosit metoda grafică

4. Suma a cinci numere naturale consecutive impare este 145. Aflați numerele.

Explicație

Citim enunțul „pe bucăți” și îl explicăm. Este important să înțelegem fiecare cuvânt din enunț, să ne amintim tot ce știm despre fiecare noțiune.

Avem nevoie să știm ce înseamnă numere naturale, numere consecutive, numere impare și suma unor numere.

Numerele naturale sunt 0, 1, 2, 3, 4, ... . Sunt primele numere pe care le-am învățat, când am învățat să numărăm. Ele formează șirul numerelor naturale și nu se termină niciodată, adică întotdeauna vom găsi un număr mai mare cu o unitate decât cel pe care-l credem ultimul. Numerele consecutive sunt numerele care urmează unul după altul, fără întrerupere. Numerele impare sunt numerele care nu se împart exact la 2. Suma unor numere este rezultatul pe care-l obținem dacă adunăm aceste numere.

Trebuie să aflăm cinci numere consecutive impare - adică cinci numere impare care urmează unul după altul, neîntrerupt. Număr impar este numărul care nu se împarte exact la 2 (dă restul 1); numerele impare au ultima cifră 1, 3, 5, 7 sau 9 (cifra unităților). Diferența dintre două numere impare consecutive este de două unități; înseamnă că fiecare număr dintre cele cinci consecutive impare din enunț, începând cu al doilea, este mai mare cu 2 decât cel dinaintea lui.

Diferența dintre două numere imapre consecutive este 2.

Suma acestor numere este 145. Asta înseamnă că adunând aceste numere obținem 145.

Vom rezolva această problemă prin metoda grafică; în locul fiecăruia dintre cele cinci numere consecutive impare vom desena câte un segment (o linie); nu oricum, ci respectând condiția ca numerele să fie consecutive și impare.

Primul număr este impar, deci nu se împarte exact la 2; atât știm despre el. Îl reprezentăm cu ajutorul unui segment (desenăm un segment - o linie în locul acestui număr).

Primul număr este impar

Numerele sunt consecutive și impare, adică urmează unul după celălalt și în același timp sunt impare. Al doilea număr este și el impar; se obține adunând 2 la numărul impar din fața lui (dacă adunăm 1, atunci obținem un număr par; însă numerele pe care le căutăm sunt impare). Desenăm încă o dată primul număr și mai adăugăm un segment mic, pentru 2 unități.

Al doilea număr este impar; numerele sunt consecutive

Al treilea număr este impar; pentru că numerele sunt consecutive, înseamnă că vom adăuga 2 la al doilea număr. Pentru al patrulea număr, mai adăugăm încă 2, la fel și pentru numărul al cincilea.

Cinci numere consecutive impare

Suma acestor numere este 145. Trebuie să aflăm numerele. Observăm că dacă aflăm cât înseamnă segmentul verde, atunci putem afla ușor numerele (segmentul verde reprezintă primul număr, apoi, pentru a-l afla pe al doilea, adunăm 2, pentru a-l afla pe al treilea adunăm 2 la numărul al doilea sau 4 la primul număr etc.).

Pentru a afla ce număr înseamnă segmentul verde, avem nevoie să „scăpăm” de segmentele portocalii, care înseamnă fiecare 2 unități. Avem 10 segmente portocalii, fiecare din ele înseamnă 2, deci în total 20 de unități pe care le scădem din 145 și rămânem doar cu segmentele verzi.

Cinci numere consecutive impare

Acum știm că cele cinci segmente verzi, împreună, înseamnă 125. Putem afla cât înseamnă un segment verde (împărțim suma 125 la 5 și obținem 25, pentru că segmentele verzi sunt egale între ele).

Primul număr este 25

Un segment verde reprezintă primul număr dintre cele cinci numere consecutive impare pe care vrem să le aflăm. Asta înseamnă că primul număr este 25. Cel de-al doilea este 27 (cu 2 mai mare decât primul număr, pentru că avem condiția „numere consecutive impare”), urmează 29, 31 și 33 (am „scăzut” segmentele portocalii atunci când ne-au „încurcat”; acum le „punem la loc”, pentru că am aflat cât înseamnă un segment verde și avem nevoie să aflăm cele cinci numere).

Numerele consecutive impare sunt 25, 27, 29, 31 și 33; suma lor este 145.

5. Avem un șir de 35 de numere naturale consecutive; știm că termenul din mijloc este 173.

a) Aflați primul și ultimul termen al șirului.

b) Calculați suma celor 35 de numere.

Explicație

a) Șirul are 35 de termeni, iar 173 este termenul din mijloc. Asta înseamnă că numărul termenilor aflați înaintea lui 173 este egal cu numărul termenul aflați după el.

Șirul are 35 de termeni, iar 173 este termenul din mijloc. Asta înseamnă că numărul termenilor aflați înaintea lui 173 este egal cu numărul termenul aflați după el.

În afară de 173, șirul mai are 34 de termeni. Deci înaintea lui sunt 17 termeni, iar după el sunt tot 17 termeni (34 împărțit la 2).

Șirul are 35 de termeni, iar 173 este termenul din mijloc. Înaintea lui 173 sunt 17 termeni, după 173 sunt tot 17 termeni

Termenii șirului sunt numere consecutive, adică fiecare termen al șirului, începând cu al doilea, este mai mare cu 1 decât cel dinaintea lui. Deci primul termen al șirului se poate afla scăzând 17 din 173 (obținem 156); ultimul termen al șirului se află adunând 17 la 173 (obținem 190).

156 este primul termen al șirului, iar 190 este ultimul termen.

Am obținut că primul termen al șirului este 156, iar ultimul termen este 190.

b) Să calculăm suma celor 35 de termeni ai șirului. Asta înseamnă să calculăm suma numerelor de la 156 la 190. Scriem câțiva termeni ai șirului, pentru a fi mai ușor să gândim:

Suma numerelor de la 156 la 190

În general, când avem de calculat „suma numerelor de la ... la ...”, ne gândim să grupăm convenabil termenii: primul cu ultimul, al doilea cu penultimul etc. Așa vom proceda acum: grupăm 156 cu 190; suma lor este 346. Grupăm 157 cu 189; suma lor este tot 346. Grupăm 158 cu 188, suma este 346 etc. Obținem 17 grupuri de câte două numere, a căror sumă este 346. Termenul din mijloc (numărul 173) rămâne singur, pentru că avem 35 de termeni, iar 35 este număr impar, care nu se împarte exact la 2.

Suma numerelor de la 156 la 190 este 6055

Am aflat că suma numerelor de la 156 la 190 este .

Alte exerciții și probleme găsești aici...

Exerciții și probleme - varianta 1

Exerciții și probleme - varianta 2

Puteți citi și ...

Scăderea numerelor naturale

Scăderea numerelor naturale fără trecere peste ordin

Scăderea numerelor naturale cu trecere peste ordin

Data: 23 octombrie 2017