Adunarea numerelor naturale. Exerciții și probleme - varianta 2

1. Calculați:

Calculați suma numerelor naturale de la 1 la 100

Explicație |

Răspuns

2. Calculați:

Calculați suma numerelor naturale de la 1 la 151

Explicație |

Răspuns

3. Calculați:

Calculați suma numerelor naturale de la 28 la 56

Explicație |

Răspuns

4. Se consideră șirul de numere naturale 32, 37, 42, 47, 52, ... .

a) Care este termenul de pe locul 30?

b) Aflați suma primilor 23 de termeni.

Explicație |

Răspuns

Un minut de istorie - Suma lui Gauss

Calculați suma numerelor naturale de la 1 la 100, Carl Friedrich GaussCarl Friedrich Gauss a fost un geniu al matematicii, de multe ori fiind numit „prințul matematicii”. S-a născut în anul 1777, în Brunswick. A fost un copil precoce care și-a uimit profesorii și apropiații. Multe povestioare despre copilăria lui au rămas de-a lungul timpului, de exemplu chiar el povestea că a învățat să numere înainte să învețe să vorbească. Una dintre aceste povestioare se referă la adunarea numerelor naturale, sume asemănătoare cu cele calculate de noi în acest articol. Învățătorul său, J. G. Büttner, cunoscut pentru severitatea sa, a cerut elevilor să calculeze suma numerelor naturale de la 1 la 100. Micul Carl a observat că poate forma perechi astfel: 1+100=101, 2+99=101 etc.; avem 50 de perechi, deci suma este egală cu 101x50=5050. Învățătorul și-a dat seama de geniul copilului și l-a ajutat, cumpărându-i chiar o carte mai bună de matematică (aritmetică). Destul de repede însă a recunoscut că nu mai are ce să-l învețe. Carl Friedrich Gauss a fost preocupat de matematică, fizică, astronomie, ajungând cunoscut în toată lumea.

Portretul de mai sus a fost realizat de pictorul danez Christian-Albrecht Jensen, în anul 1840.

1. Calculați:

Calculați suma numerelor naturale de la 1 la 100

Explicație

Suma are un număr par de termeni

Calculați suma numerelor naturale de la 1 la 100

Metoda I - grupăm termenii (formăm perechi)

Ne amintim că adunarea nu înseamnă doar calculul în sine, în scris sau în minte. Am mai învățat că adunarea este comutativă (adică rezultatul rămâne același chiar dacă schimbăm ordinea termenilor) și asociativă (adică putem grupa termenii câte doi, pentru a calcula mai ușor).

Privim cu atenție numerele pe care trebuie să le adunăm: 1, 2, 3, 4, 5, ..., 100. Sunt numere consecutive de la 1 la 100. Cele trei puncte înlocuiesc o parte din aceste numere, pentru că ar fi fost prea multe de scris. Primii cinci termeni ai sumei sunt scriși; să-i scriem și pe ultimii cinci, să observăm mai ușor cum folosim proprietățile adunării.

Calculați suma numerelor naturale de la 1 la 100

Am mai rezolvat exerciții în care am grupat convenabil termenii; în acele exerciții am urmărit să formăm sute și zeci „rotunde”, adică să „scăpăm” de unități, pentru a calcula mai ușor. În acest caz, putem grupa termenii astfel încât să obținem sute sau zeci întregi, fără unități? Observăm că 1 plus 99 egal 100; 2 plus 98 egal 100; 3 plus 97 egal 100 etc. Ultimul termen - 100 - rămâne necuprins în aceste asocieri. Partea bună este că grupând astfel termenii, obținem același rezultat (100); partea mai puțin bună, care complică un pic lucrurile, este că grupăm câte doi în acest fel primii 99 de termeni, adică un număr impar (nu se împarte exact la 2); inevitabil, rămâne încă un termen necuprins în calcule. Am putea afla acest termen, dar pe noi ne intereseză să găsim o metodă cât mai ușoară de a calcula această sumă. Lăsăm deoparte acest mod de a grupa termenii (1 cu 99, 2 cu 98 etc.) și să încercăm altă idee.

Să încercăm un alt mod de a grupa termenii. Suma are 100 de termeni; dacă-i grupăm câte doi obținem 50 de astfel de perechi. Ne interesează ca adunându-i câte doi, să obținem acealași rezultat. Am văzut deja că se poate. Observăm că 1 plus 100 egal cu 101, 2 plus 99 egal tot cu 101, 3 plus 98 egal cu 101, 4 plus 97 egal cu 101 etc. Obținem 50 de astfel de perechi de numere care adunate ne dau 101. Rezultă că suma numerelor naturale de la 1 la 100 este egală cu 101 înmulțit cu 50 sau 101 adunat cu el însuși de 50 de ori. Obținem că suma numerelor naturale de la 1 la 100 este egală cu .

Calculăm suma numerelor naturale de la 1 la 100; formăm perechi

Dacă numărul termenilor sumei este impar, atunci avem nevoie să aflăm care este termenul din mijloc (grupând termenii câte doi, unul va rămâne singur; pe acesta va trebui să-l aflăm - el este termenul din mijloc).

Metoda II - dublăm suma

Adunarea este comutativă, deci rezultatul nu se schimbă dacă schimbăm ordinea termenilor. Suma pe care trebuie s-o calculăm are termenii scriși în ordine crescătoare, de la 1 la 100. Prima metodă pe care am explicat-o puțin mai sus constă în formarea de perechi, astfel încât adunate, cele două numere să dea aceeași sumă. O altă variantă a acestei metode este să scriem încă o dată suma de calculat, dar cu termenii în ordine descrescătoare, de la 100 la 1. Putem face asta pentru că adunarea e comutativă.

Calculăm suma numerelor naturale de la 1 la 100; dublăm suma

Avantajul acestei variante este că se poate aplica și atunci când numărul termenilor este impar, fără să fie nevoie să aflăm care este termenul din mijloc.

2. Calculați:

Calculați suma numerelor naturale de la 1 la 151

Explicație

Suma are un număr impar de termeni

Calculați suma numerelor naturale de la 1 la 151

Metoda I - grupăm termenii (formăm perechi)

Suma are 151 de termeni (număr impar) pentru că se adună numerele de la 1 la 151. Dacă grupăm termenii câte doi, unul va rămâne singur, pentru că 151 nu se împarte exact la 2 (obținem restul 1). Trebuie să aflăm acest termen. Avem scriși primii cinci termeni, să-i scriem și pe ultimii cinci, astfel încât să observăm mai ușor cum se grupează.

Calculăm suma numerelor naturale de la 1 la 151; formam perechi și trebuie să aflăm termenul din mijloc

Grupăm termenii câte doi astfel: 1 cu 151, 2 cu 150, 3 cu 149 etc. (termenii egal depărtați). Fiind număr impar de termeni, unul va rămâne fără pereche: este vorba de termenul din mijloc; numărul termenilor aflați în fața lui este egal cu numărul termenilor de după el. Știm câți termeni sunt în total (151). Fără cel din mijloc, rămân 150 de termeni care pot fi grupați câte doi. Deci se formează 75 de perechi (150 împărțit la 2). Înseamnă că înaintea termenului din mijloc sunt 75 de termeni, la fel și după el. Suma are termenii consecutivi, deci termenul din mijloc, care rămâne fără pereche, este 76.

Calculăm suma numerelor naturale de la 1 la 151; formam perechi și trebuie să aflăm termenul din mijloc

Putem forma 75 de perechi de numere cu suma 152; numărul 76 rămâne singur. Deci suma numerelor de la 1 la 151 este egală cu 152 adunat cu el însuși de 75 de ori (152 înmulțit cu 75), la care adăugăm numărul 76. Obținem .

Calculăm suma numerelor naturale de la 1 la 151; formam perechi

Metoda II - dublăm suma

Suma are un număr impar de termeni. Atunci când i-am grupat câte doi, am văzut că un termen rămâne fără pereche - termenul din mijloc, pe care a trebuit să-l aflăm. Pentru a evita aceasta, putem să dublăm suma în loc să grupăm termenii (adică o mai scriem o dată, dar cu termenii în ordine descrescătoare, apoi adunăm termen cu termen).

Calculăm suma numerelor naturale de la 1 la 151; dublăm suma

Variante - suma numerelor naturale de la 1 la 151

La matematică, multe exerciții și probleme pot fi rezolvate prin mai multe moduri. Dacă avem o sumă cu un număr imapr de termeni și vrem să formăm perechi, dar fără a afla numărul din mijloc, putem să facem câteva „artificii” de calcul pentru a ajunge la o sumă cu un număr par de termeni.

a) Orice număr adunat cu 0 (zero) rămâne neschimbat. Suma numerelor naturale de la 1 la 151 poate fi scrisă adăugând încă un termen, numărul 0, care nu modifică rezultatul:

Calculăm suma numerelor naturale de la 1 la 151

Avem acum un număr par de termeni și putem să formăm perechi.

b) Putem calcula suma numerelor naturale de la 1 la 150 (150 de termeni, număr par), apoi adăugăm numărul 151:

Calculăm suma numerelor naturale de la 1 la 151

c) Putem calcula suma numerelor naturale de la 1 la 152 (152 de termeni, număr par), apoi scădem numărul 152:

Calculăm suma numerelor naturale de la 1 la 152

3. Calculați:

Calculați suma numerelor naturale de la 28 la 56

Explicație

Suma are un număr impar de termeni; suma numerelor naturale consecutive de la 28 la 56

Calculați suma numerelor naturale de la 28 la 56

Indiferent dacă vom grupa termenii câte doi sau vom dubla suma, avem nevoie să aflăm câți termeni are suma. De la 1 la 56 sunt 56 de termeni; suma începe cu numărul 28, iar înaintea lui sunt 27 de numere (numerele de la 1 la 27 nu sunt cuprinse în sumă). Facem diferența între 56 și 27 și obținem că suma are 29 de termeni.

Câți termeni are suma numerelor naturale de la 28 la 56?

Grupăm termenii sumei câte doi: 28 și 56 (28 plus 56 egal cu 84), 29 cu 55 (29 plus 55 egal cu 84) etc. Fiind un număr impar de termeni, unul va rămâne singur. Fără el, sunt 28 de termeni și deci 14 perechi (28 împărțit la 2). Asta înseamnă că termenul rămas singur este al 15-lea termen al sumei, deci este 42 (28 este primul termen al sumei, 28 plus 1 este cel de-al doilea, ..., 28 plus 14 este cel de-al 15-lea termen al sumei).

Termenul din mijloc este 42

Calculăm suma numerelor naturale de la 28 la 56 și obținem că este egală cu 1 218 (avem grijă să adunăm și numărul 42 rămas singur, care nu are pereche).

Suma numerelor naturale de la 28 la 56 este 1218

4. Se consideră șirul de numere naturale 32, 37, 42, 47, 52, ... .

a) Care este termenul de pe locul 30?

b) Aflați suma primilor 23 de termeni.

Explicație

a) Care este termenul de pe locul 30 al șirului de numere 32, 37, 42, 47, ...?

Avem un șir de numere naturale. Nu este un șir oarecare, există o legătură între termenii lui. Observăm că fiecare termen, începând cu al doilea, e mai mare decât cel din fața lui cu 5.

 Care este termenul de pe locul 30?

Adunarea repetată a aceluiași număr ne amintește de înmulțire: 5 plus 5 este egal cu 5 înmulțit cu 2, 5 adunat cu el însuși de 3 ori este egal cu 5 înmulțit cu 3 etc. Ne mai amintim că orice număr înmulțit cu 1 rămâne neschimbat, deci 5 poate fi scris ca 5 înmulțit cu 1.

 Care este termenul de pe locul 30?

Observăm că pentru al doilea termen, 5 este înmulțit cu 1; pentru al treilea termen, 5 este înmulțit cu 2; pentru al patrulea termen, 5 este înmulțit cu 3; înseamnă că pentru al 30-lea termen, 5 este înmulțit cu 29, deci obținem că termenul de pe locul 30 este 177.

b) Aflați suma primilor 23 de termeni.

Pentru a afla suma primilor 23 de termeni ai șirului, trebuie mai întâi să aflăm care este al 23-lea termen. Acesta este 142.

Al 23-lea termen al șirului este 142.

Înseamnă că trebuie să calculăm suma:

Calculați suma 32+37+42+47+...+142

Suma are un număr impar de termeni (23); grupăm termenii câte doi, deci rezultă 11 perechi, iar termenul din mijloc, care rămâne singur, este cel de-al 12-lea termen al șirului. Îl putem calcula; este 87.

Termenul din mijloc este 87

Calculăm suma și obținem că este egală cu 2 001:

Suma este 2001

Alte exerciții și probleme găsești aici...

Exerciții și probleme - varianta 1

Exerciții și probleme - varianta 3

Puteți citi și ...

Scăderea numerelor naturale

Scăderea numerelor naturale fără trecere peste ordin

Scăderea numerelor naturale cu trecere peste ordin

Data: 01 octombrie 2017