Exemple - cum arătăm că un patrulater este paralelogram
Exemplu 1 Exemplu 2 Exemplu 3 Exemplu 4
Exemplu 1
Fie ABCD paralelogram și punctele M, respectiv N mijloacele laturilor BC, respectiv AD. Ce fel de patrulater este AMCN?
Ipoteză
ABCD paralelogram
M - mijlocul lui BC
N - mijlocul lui AD
Concluzie
AMCN - ?
Rezolvare
1) Desenăm paralelogramul ABCD, punctele M și N și patrulaterul AMCN.
2) Analizăm patrulaterul AMCN.
ABCD este paralelogram, deci laturile AD și BC sunt paralele și congruente (egale). La fel și laturile AB și CD - paralele și egale. De aici observăm că AN și MC sunt paralele, deci patrulaterul AMCN are două laturi opuse paralele.
M și N sunt mijloacele laturilor BC și AD, deci AN, ND, BM și MC sunt egale. De aici observăm că AN și MC sunt laturi opuse și egale ale patrulaterului AMCN - deci acesta are două laturi opuse egale și paralele (aceeași pereche de laturi).
Înseamnă că AMCN este paralelogram, pentru că AN și MC sunt paralele și egale.
Scriem în limbaj matematic.
ABCD paralelogram ⇒ AD ≡ BC și AD ‖ BC ⇒ AN ‖ MC 1
M mijlocul lui BC, N mijlocul lui AD ⇒ AN ≡ MC 2
Din 1 , 2 ⇒ AMCN este paralelogram
Provocare! Să mai „cotrobăim” puțin prin problema asta, să vedem ce mai descoperim. De exemplu, să cercetăm dacă mai putem forma un paralelogram, dacă avem triunghiuri particulare (isoscele, dreptunghice, echilaterale) sau dacă avem triunghiuri congruente, dacă avem unghiuri congruente, sau suplementare sau complementare etc. Ne putem „juca” așa la finalul oricărei probleme pe care o rezolvăm.
Exemplu 2
În triunghiul ABC avem AD mediană, D∈BC, iar punctul E este simetricul lui A față de punctul D. Arătați că ABEC este paralelogram.
Ipoteză
△ABC oarecare
AD mediană, D∈BC
E este simetricul lui A față de punctul D
Concluzie
ABEC paralelogram
Rezolvare
1) „Spargem” enunțul în mai multe bucăți, în funcție de noțiunile matematice (cuvinte-cheie) întâlnite. Începem să citim enunțul și când întâlnim un cuvânt-cheie (noțiune matematică) ne oprim și îl explicăm, apoi continuăm să citim până la următorul cuvânt-cheie.
Începem: „în triunghiul ABC avem AD mediană, D∈BC 🛑 ...” - ne oprim, ne amintim ce înseamnă mediana în triunghi. Mediana unește un vârf al triugnhiului cu mijlocul laturii opuse. Înseamnă că D este mijlocul lui BC (BC este latura opusă vârfului A).
Continuăm: „... punctul E este simetricul lui A față de D🛑 ...” - ne oprim; înseamnă că prelungim segmentul AD cu un segment egal, astfel încât D să fie mijlocul lui AE.
Continuăm: „arătați că ABEC este paralelogram” - e important să știm modurile în care putem arăta că un patrulater convex e paralelogram:
1. două laturi opuse sunt și paralele și congruente sau
2. laturile opuse sunt paralele două câte două sau
3. laturile opuse sunt egale două câte două sau
4. unghiurile opuse sunt egale două câte două sau
5. unghiurile alăturate au împreună 180° sau
6. diagonalele se înjumătățesc sau
7. unghiurile formate de diagonale cu laturile opuse sunt egale.
În problemă avem informații referitoare la segmente, deci probabil nu vom folosi condițiile referitoare la unghiuri. Vom vedea.
2) În problemă se vorbește de un triunghi oarecare, așa că ne vom feri să desenăm un triunghi particular (isoscel, echilateral, dreptunghic). Desenăm un triunghi oarecare și mediana AD, D fiind mijlocul lui BC. Apoi prelungim segmentul AD cu un segment DE egal cu AD astfel încât D să fie mijlocul lui AE.
Observăm că diagonalele patrulaterului ABEC se înjumătățesc, deci ABEC este paralelogram.
Să scriem datele problemei; completați demonstrația.
AD mediană ⇒ BD ≡
E simetricul lui A față de D ⇒ AD ≡
Din 1 și 2 ⇒ ABEC paralelogram (diagonalele se înjumătățesc)
Exemplu 3
Fie ABCD patrulater convex în care ∢A are 53°, iar ∢B are 127°. Știind că AD și BC sunt egale, demonstrați că ABCD este paralelogram.
Ipoteză
ABCD patrulater convex
∢A = 50°
∢B = 130°
AD ≡ BC
Concluzie
ABCD paralelogram
Rezolvare
1) Observăm că unghiurile alăturate A și B sunt suplementare; putem fi tentați să spunem că ABCD este paralelogram pentru că unghiurile alăturate A și B sunt suplementare. Nu e corect. Pentru a fi paralelogram, e nevoie ca toate unghiurile alăturate să fie suplementare, adică și perechile de unghiuri B și C, C și D, A și D să fie suplementare.
2) Facem desenul. Deoarece ni se cere să demonstrăm că ABCD este paralelogram, desenăm de la început un paralelogram.
3) Citim cu atenție enunțul. Încercăm să descoperim (sau să creăm) o legătură între informațiile din enunț și modalitățile de a arăta că un patrulater convex este paralelogram.
1. două laturi opuse sunt și paralele și congruente ❖ avem două laturi opuse congruente în enunț, AD și BC; am putea folosi condiția asta, să vedem dacă AD și BC sunt și paralele
2. laturile opuse sunt paralele două câte două ❖ despre laturile AB și CD su știm nimic
3. laturile opuse sunt egale două câte două ❖ știm că o pereche de laturi opuse sunt egale, dar nu putem arăta că și celelalte două sunt congruente
4. unghiurile opuse sunt egale două câte două ❖ nu avem nimic referitor la unghiuri opuse, puțin probabil s-o folosim
5. unghiurile alăturate au împreună 180° ❖ avem doar o pereche de unghiuri alăturate suplementare, știm doar măsurile a două unghiuri, puțin probabil s-o folosim
6. diagonalele se înjumătățesc ❖ nu avem nimic referitor la diagonale, puțin probabil s-o folosim
7. unghiurile formate de diagonale cu laturile opuse sunt egale ❖ nu avem nimic referitor la diagonale, puțin probabil s-o folosim
4) Să vedem ce putem descoperi pornind de la informațiile din enunț: avem două unghiuri alăturate, observăm că sunt suplementare, adică suma lor e de 180°. Observăm că ele sunt formate de dreptele AD și BC și de secanta AB. Înseamnă că AD și BC sunt paralele.
Observație | Etapele 3) și 4) au loc împreună, în același timp, se repetă, se întrepătrund.
Acum avem că AD și BC sunt și congruente (din ipoteză) și paralele. Înseamnă că ABCD este paralelogram.
Să scriem demonstrația.
∢A + ∢B =
AD ≡
Din 1 și 2 ⇒ ABCD paralelogram
Exemplu 4
Fie MNPQ patrulater convex în care ∢M are 25°, ∢N are 70°, iar ∢P are 25°. Cercetați dacă MNPQ este paralelogram.
Ipoteză
△ABC oarecare
MNPQ patrulater convex
∢M = 25°
∢N = 70°
∢P = 25°
Concluzie
? MNPQ paralelogram ?
Rezolvare
1) Cum putem folosi datele din problemă?
Răspuns: Suma măsurilor unghiurilor unui patrulater concex este 360°; știm măsurile a trei unghiuri, deci putem calcula măsura celui de-al patrulea unghi.
2) Cum putem testa dacă MNPQ este paralelogram?
Răspuns: Știm măsurile a trei unghiuri, îl putem calcula pe al patrulea, deci vom folosi condiția referitoare la unghiuri: dacă unghiurile opuse sunt congruente (egale) două câte două, atunci MNPQ e paralelogram.
Să scriem demonstrația.
∢M + ∢N + ∢P + ∢Q =
25° + 70° + 25° + ∢Q =
∢Q =
∢Q =
∢Q și ∢N opuse 2
Din 1 și 2 ⇒ MNPQ
Te felicit că ai avut răbdarea să lucrezi exemplele din acest articol. Te invit să urmărești mathema.ro și pentru alte articole care ți-ar putea folosi.
Puteți citi și ...
Suma măsurilor unghiurilor unui patrulater convex
Cum desenăm un cub folosind două pătrate egale
Dacă vreți să susțineți funcționarea și dezvoltarea mathema.ro, puteți contribui prin donație. Aceasta nu elimină reclamele existente, dar îmi permite să accelerez dezvoltarea website-ului și să acopăr costurile de funcționare.
Nume titular: GEORGIU LIVIA-NICOLETA
IBAN: RO20BTRLRONCRT0287588001
SWIFT: BTRLRO22
Mulțumesc! ❤️