Despre mediatoare

1. Mediatoarea unui segment

Mediatoarea unui segment este perpendiculara ridicată prin mijlocul acelui segment.

Toate punctele care se află pe mediatoarea unui segment au distanţe egale faţă de extremităţile (capetele) segmentului. Mai mult, orice punct care se află la distanţe egale faţă de extremităţile unui segment aparţine mediatoarei segmentului respectiv.

Mediatoarea este locul geometric al punctelor egal depărtate de două puncte date.

Cum desenăm mediatoarea unui segment?

  1. stabilim mijlocul segmentului;
  2. ridicăm perpendiculara prin mijlocul segmentului.

    Aceasta este mediatoarea segmentului.

    SAU

  1. desenăm două cercuri, cu razele egale între ele şi mai mari decât jumătate din lungimea segmentului:
    1. stabilim care e lungimea razei cercurilor; pentru aceasta, aproximăm cu privirea cam cât înseamnă jumătate din lungimea segmentului şi raza o vom considera mai mare decât această jumătate;

    2. fixăm vârful compasului într-unul dintre capetele segmentului şi desenăm un cerc cu raza pe care am stabilit-o deja;

    3. fixăm vârful compasului în celălalt capăt al segmentului şi desenăm un cerc cu aceeaşi rază. Cele două cercuri au razele egale;

  2. observăm că cele două cercuri se intersectează (se întâlnesc) în două puncte;

  3. unim cele două puncte comune cercurilor desenate; dreapta care conţine punctele comune celor două cercuri este mediatoarea segmentului.

Să analizăm cele două metode. Prima este corespunzătoare definiţiei mediatoarei şi este cel mai uşor de folosit, mai ales pe caietul de matematică, cu pătrăţele. Numărăm pătrăţelele ocupate de segment şi împărţim la doi, pentru a afla jumătatea. Apoi folosim liniatura caietului pentru a ridica perpendiculara pe segment prin mijlocul lui. Aceasta este mediatoarea.

Cum ne-a venit ideea să folosim cercurile pentru a desena mediatoarea? Ce legătură este între ele şi mediatoare?

Să ne amintim că cercul este alcătuit din toate punctele din plan care se află la aceeaşi distanţă faţă de un punct fix, numit centrul cercului.

Mediatoarea are o proprietate asemănătoarea: conţine toate punctele din plan care se află la distanţă egală faţă de două puncte fixe.

Şi mediatoarea, şi cercul conţin punctele care se află la aceeaşi distanţă faţă de un reper fix. În cazul cercului reperul este centrul acestuia, iar în cazul mediatoarei avem două puncte fixe, extremităţile segmentului. Aşa se explică folosirea cercurilor pentru a desena mediatoarea unui segment.

Desenând două cercuri cu raze egale, cu centrele în punctele A, respectiv B, şi asigurându-ne că au două puncte comune (de aceea am considerat raza mai mare decât jumătate din lungimea segmentului determinat de centrele cercurilor), am obţinut două puncte în care se intersectează cercurile, puncte care sunt egal depărtate atât de A, cât şi de B - distanţa fiind raza.

De ce dreapta determinată de punctele de intersecţie ale celor două cercuri este mediatoarea segmentului AB?

Ce am făcut, de fapt:

  1. am desenat două cercuri, pe care le notăm cu C1 şi C2, astfel:
    1. cercul C1 are centrul în punctul A şi este de rază r;
    2. cercul C2 are centrul în punctul B şi este tot de rază r;
    3. raza r am considerat-o mai mare decât jumătate din lungimea segmentului AB (segmentul determinat de centrele celor două cercuri) pentru că am vrut ca cercurile să aibă două puncte comune; celelalte cazuri - cercurile nu au puncte comune sau au un singur punct comun - nu ne conduc la nicio concluzie;
  2. am obţinut două puncte în care cercurile C1 şi C2 se intersectează (adică două puncte care se află pe ambele cercuri); notăm aceste puncte cu C şi D;
  3. punctele C şi D în care se intersectează cele două cercuri:
    1. se află pe cercul C1, deci se află la distanţa r faţă de punctul A, care este centrul lui C1;
    2. se află şi pe cercul C2, deci sunt tot la distanţa r faţă de punctul B, care este centrul lui C2.
  4. punctele C şi D determină un segment care este diagonală în rombul ACBD (ACBD este romb pentru că are laturile egale cu raza r);
  5. diagonalele rombului sunt perpendiculare şi se înjumătăţesc - deci CD este perpendiculară pe AB şi o înjumătăţeşte, rezultă că CD este mediatoare pentru AB.
  6. orice punct am considera pe dreapta CD - să-l numim P, de exemplu - el este egal depărtat de punctele A şi B, pentru că AP şi BP sunt ipotenuze în două triunghiuri dreptunghice congruente (au catetele congruente).

Un segment are o singură mediatoare.

De ce un segment are o singură mediatoare?

Orice segment are un singur mijloc şi ne amintim că printr-un punct se poate duce o singură perpendiculară pe o dreaptă (indiferent dacă punctul respectiv aparţine dreptei sau este exterior acesteia).

2. Mediatoarele într-un triunghi

Într-un triunghi avem trei mediatoare, corespunzătoare celor trei laturi. Mediatoarea unei laturi a triunghiului nu conţine neapărat vârful opus laturii respective, cum se întâmplă în cazul înălţimii, medianei şi bisectoarei. Ea este perpendiculara dusă prin mijlocul segmentului şi poate sau nu să includă un vârf al triunghiului. Mediatoarele laturilor unui triunghi se intersectează într-un punct aflat la distanţă egală de vârfurile lui; acesta este centrul cercului circumscris triunghiului.

Centrul cercului circumscris triunghiului poate fi în interiorul triunghiului, în exteriorul acestuia sau pe o latură a lui. Centrul cercului circumscris triunghiului dreptunghic se află pe ipotenuza acestuia.

Centrul cercului circumscris se află în exteriorul triunghiului obtuzunghic.

Centrul cercului circumscris se află în interiorul triunghiului ascuţitunghic.

Centrul cercului circumscris triunghiului dreptunghic se află pe ipotenuza acestuia.

Data: 19 februarie 2017