Cum recunoaștem un pătrat perfect. Proprietăți

Proprietăți

Proprietățile pătratelor perfecte ne vor ajuta să stabilim dacă un număr natural este sau nu pătrat perfect.

Orice număr natural care poate fi scris ca o putere cu exponentul par este pătrat perfect.

De ce?

Exponentul fiind număr par, poate fi scris ca 2 înmulțit cu un număr natural. Atunci când la exponent avem un produs, puterea poate fi rescrisă ca puterea unei puteri. Astfel ajungem să avem o putere cu exponentul 2, care înseamnă un număr pătrat perfect. Complicat? Să vedem desenul:

Orice număr natural care poate fi scris ca o putere cu exponentul par este pătrat perfect.

Exemplu

Să luăm ca exemplu puterea 310. Pentru a putea spune dacă 310 este pătrat perfect, să încercăm să scriem această putere astfel încât să aibă exponentul 2. Exponentul puterii este 10, număr par; îl putem scrie ca 2 înmulțit cu 5. Ne amintim regulile de calcul cu puteri (puterea unei puteri):

Orice număr natural care poate fi scris ca o putere cu exponentul par este pătrat perfect. Exemplu 1

Ce putem spune despre numerele scrise ca puteri cu exponentul impar? Sunt pătrate perfecte?

Dacă exponentul este impar, atunci ne uităm la bază: dacă baza puterii poate fi scrisă ca o putere cu exponentul 2, atunci numărul este pătrat perfect.

Exemplu

Orice număr natural care poate fi scris ca o putere cu exponentul par este pătrat perfect. Exemplu 2

Pe scurt, trebuie să reținem că:

Orice număr natural care poate fi scris ca o putere cu exponentul par este pătrat perfect

Produsul a două sau mai multe pătrate perfecte este pătrat perfect.

Cu alte cuvinte, dacă înmulțim două sau mai multe pătrate perfecte, obținem tot un pătrat perfect.

Produsul a două sau mai multe pătrate perfecte este pătrat perfect

Orice pătrat perfect are cifra unităților (ultima cifră) 0, 1, 4, 5, 6 sau 9.

De ce?

Pentru a obține un pătrat perfect, înmulțim un număr natural cu el însuși. Ultima cifră a pătratului perfect este dată de pătratul ultimei cifre a numărului de la care pornim. Ajungem astfel la pătratele numerelor de la 0 la 9. Ne amintim tabla înmulțirii și observăm că ultima cifră a pătratelor de la 0 la 9 poate fi 0, 1, 4, 5, 6 sau 9.

Atenție! Nu orice număr natural care are ultima cifră 0, 1, 4, 5, 6 sau 9 este pătrat perfect!

Dacă un număr natural are ultima cifră 0, 1, 4, 5, 6 sau 9, atunci s-ar putea să fie pătrat perfect. Pentru a vedea dacă este pătrat perfect, folosim celelalte proprietăți pe care le-am analizat.

Exemple

Numărul 59 nu este pătrat perfect. Numărul 49 este pătrat perfect. Ambele au cifra unităților egală cu 9.

Numărul 104 nu este pătrat perfect. Numărul 64 este pătrat perfect. Ambele numere au cifra unităților egală cu 4.

Numărul 81 este pătrat perfect pentru că 92 este egal cu 81. Numărul 101 nu este pătrat perfect. Ambele au cifra unităților egală cu 1.

Numele naturale care au cifra unităților (ultima cifră) egală cu 2, 3, 7 sau 8 nu sunt pătrate perfecte.

Atunci când înmulțim un număr cu el însuși, ultima cifră a rezultatului nu este 2, 3, 7 sau 8.

Numerele naturale care se află între două pătrate perfecte consecutive (care urmează unul după altul) nu sunt pătrate perfecte.

De ce?

Mai întâi, să înțelegem bine ce sunt numerele consecutive: sunt numere care urmează unul după celălalt. De exemplu, 2 și 3 sunt numere consecutive, pentru că între ele nu se mai află alt număr natural. La fel, 39, 40, 41, 42 și 43 sunt numere consecutive. Numerele 18 și 20 nu sunt consecutive, pentru că între ele se află 19.

Pătratul perfect se obține prin ridicarea la puterea a doua a unui număr natural (ridicarea la pătrat). Dacă alegem două numere naturale consecutive și le ridicăm la pătrat, atunci vom obține două pătrate perfecte consecutive (pentru că, fiind consecutive, între numerele ridicate la pătrat nu mai există alt număr natural pe care să-l ridicăm la pătrat și să obținem pătrat perfect).

Exemplu

Numerele care se află între două pătrate perfecte consecutive (care urmează unul după altul) nu sunt pătrate perfecte.

Exemple

Care dintre numerele următoare sunt pătrate perfecte?

Pătratul unui număr natural

Rezolvare

a) Să vedem dacă 49 este pătrat perfect. Ne amintim tabla înmulțirii: ce număr înmulțit cu el însuși ne dă 49? 7 înmulțit cu 7 ne dă 49, deci 49 poate fi scris 72. Înseamnă că 49 este pătrat perfect.

49 este pătrat perfect

b) Să vedem dacă 149 este pătrat perfect.

149 nu este pătrat perfect

Să vedem dacă găsim un număr natural care ridicat la puterea a doua (adică înmulțit cu el însuși) ne dă 149. Să vedem câteva pătrate perfecte apropiate de 149. Știm că 102 este 100, 112 este 121, 122 este 144, 132 este 169. Observăm că dacă ridicăm la puterea a doua numere mai mari decât 13, obținem pătrate perfecte mai mari decât 149. Numerele 12 și 13 sunt consecutive, deci 144 și 169 sunt pătrate perfecte consecutive. Deoarece numărul 149 se află între două pătrate perfecte consecutive: 144 și 169, înseamnă că 149 nu este pătrat perfect.

149 nu este pătrat perfect

Deși 149 este suma a două pătrate perfecte, el nu este pătrat perfect.

149 nu este pătrat perfect

c) Exponentul puterii este 6, număr par. Deci 216 este pătrat perfect:

21 la a șasea este pătrat perfect.

d) Să vedem dacă 45 este pătrat perfect: exponentul este 5, număr impar. Asta înseamnă că trebuie să ne uităm la baza puterii: dacă baza este pătrat perfect, atunci numărul 45 este pătrat perfect.

Baza este 4, pătrat perfect pentru că 4 este egal cu 22. Înseamnă că 45 este pătrat perfect.

4 la a cincia este pătrat perfect.

e) Să vedem dacă 65 este pătrat perfect. Am putea fi tentați să spunem că este pătrat perfect, pentru că, la fel ca la exemplul anterior, exponentul este 5, număr impar, iar baza este număr par.

Să analizăm: exponentul este număr impar, am putea avea pătrat perfect; nu știm, trebuie să mai cercetăm. Ne uităm la baza puterii: dacă ea este pătrat perfect, atunci puterea este pătrat perfect. Baza este 6, nu e pătrat perfect. Deci 65 nu putem scrie ca o putere cu exponentul 2.

6 la a cincia nu este pătrat perfect.

f) Avem un produs de puteri. Dacă două numere naturale sunt pătrate perfecte, atunci și produsul lor este pătrat perfect. Înseamnă că, dacă 32 și 54 sunt pătrate perfecte, atunci produsul lor este tot un pătrat perfect.

Puterea 32 este pătrat perfect pentru că este o putere cu exponentul 2. De asemenea, 54 este tot un pătrat perfect, pentru că poate fi scris ca o putere cu exponentul 2, adică (52)2. Rezultă că 32 înmulțit cu 54 este pătrat perfect.

Scriem acest produs ca o putere cu exponentul 2, astfel încât să fie limpede că avem un pătrat perfect. Pentru aceasta, folosim regulile de calcul cu puteri:

g) Numărul 283 nu poate fi pătrat perfect pentru că ultima cifră (cifra unităților) este 3. Numerele care au ultima cifră 2, 3, 7 sau 8 nu pot fi pătrate perfecte.

h) Numărul 24 este pătrat perfect pentru că exponentul 4 este număr par, adică poate fi scris ca 2 înmulțit cu alt număr. Folosim regulile de calcul cu puteri și obținem o putere cu exponentul 2, deci avem un pătrat perfect.

Încearcă și tu!

1) Care dintre următoarele numere sunt pătrate perfecte?

a) 58 ;

Răspuns

b) 105 ;

Răspuns

c) 1697 .

Răspuns

2) Completează astfel încât:

a) 3 să fie pătrat perfect;

Răspuns

b) 14 să fie pătrat perfect;

Răspuns

c) 3 să nu fie pătrat perfect;

Răspuns

d) 26 să nu fie pătrat perfect;

Răspuns

e) 9 să fie pătrat perfect.

Răspuns

Alte articole despre puteri

1. Puterea cu exponent natural a unui număr natural

2. Reguli de calcul cu puteri

3. Compararea puterilor cu baze diferite și exponenți diferiți

4. Compararea puterilor cu aceeași bază sau cu același exponent

5. Pătratul unui număr natural

Data: 2 decembrie 2019