Pătratul unui număr natural

Ce înseamnă pătratul unui număr natural

„Cum adică pătratul unui număr? Pătratul este o figură geometrică și are patru laturi.” Așa este. Pe caietul de matematică cu pătrățele să considerăm unitatea de măsură o liniuță (o latură a unui pătrățel) și să desenăm un pătrat cu latura de 2 (2 liniuțe). Câte pătrățele cuprinde acest pătrat cu latura egală cu 2?

Pătratul cu latura 2 cuprinde 4 pătrățele. Înseamnă că dacă avem 4 pătrățele egale, putem să le aranjăm astfel încât să obținem un pătrat mai mare. De aceea, spunem că numărul 4 este pătrat perfect.

Pătratul unui număr natural

Să mai desenăm un pătrat cu latura 3. Câte pătrățele cuprinde el?

Pătratul unui număr natural

Pătratul cu latura 3 cuprinde 9 pătrățele. Dacă avem 9 pătrățele egale, putem să le aranjăm astfel încât să obținem un pătrat mai mare. Spunem și despre numărul 9 că este pătrat perfect.

Astfel am stabilit o legătură între un pătrat și un număr: lui 4 îi corespunde pătratul cu latura 2, iar lui 9 îi corespunde pătratul cu latura 3. Spunem că 4 este pătratul lui 2, iar 9 este pătratul lui 3.

Să analizăm mai mult: există o legătură între numărul pătrățelelor cuprinse în pătratul mare și latura acestuia? De exemplu, există o legătură între 4 și 2? Sau între 9 și 3?

Observăm că 4 este egal cu 22 (2 înmulțit cu el însuși), iar 9 este egal cu 32 (3 înmulțit cu el însuși).

Pătratul unui număr natural

Spunem că un număr natural este pătrat perfect dacă se poate scrie ca o putere cu exponentul 2. De exemplu, 81 este pătrat perfect pentru că se poate scrie ca 92 (9 înmulțit cu 9).

Numărul 7 nu este pătrat perfect, pentru că nu avem niciun număr natural care înmulțit cu el însuși să ne dea 7. Pătratul lui 7 este 49, pentru că 49 este egal cu 72.

Pătratul unui număr natural. Pătrat perfect

Numărul 7 nu este pătrat perfect, pentru că nu avem niciun număr natural care înmulțit cu el însuși să ne dea 7. Pătratul lui 7 este 49, pentru că 49 este egal cu 72.

Pătratul unui număr natural

Exemple

Exemple 1) Pătratul numărului 6 este 36 pentru că

Pătratul numărului 6 este 36

Numărul 36 este pătrat perfect.

2) Pătratul numărului 9 este 81 pentru că

Pătratul numărului 9 este 81

Numărul 81 este pătrat perfect.

3) Pătratul numărului 12 este 144 pentru că

Pătratul numărului 12 este 144

Numărul 144 este pătrat perfect.

4) Numărul 25 este pătrat perfect pentru că

Numărul 25 este pătrat perfect

Pătratul lui 5 este 25.

Exemple 1) Câte pătrate perfecte sunt între 0 și 100? Dar între 101 și 1000?

Să vedem mai întâi câte pătrate perfecte sunt între 0 și 101. Ne amintim tabla înmulțirii:

Câte pătrate perfecte sunt între 0 și 101?

Să vedem acum câte pătrate perfecte sunt între 101 și 1000. Primul pătrat perfect mai mare decât 101 este 121, adică 112. Urmează 122, 132... când ne oprim? Care este cel mai mare pătrat perfect mai mic decât 1000? Ne gândim la 302, care este egal cu 900. Poate mai sunt pătrate perfecte cuprinse între 900 și 1000. Să vedem: 312 este egal cu 961, 322 este egal cu 1024. Înseamnă că între 101 și 1000 avem următoarele pătrate perfecte: 112, 122, ..., 302, 312 (adică 121, 144, ..., 900, 961). Rezultă că avem de aflat câte numere naturale sunt de la 11 la 31. Este același lucru cu a afla câte numere sunt între 10 și 32, fără 10 și fără 32.

Câte pătrate perfecte sunt între 101 și 1000?

Cum aflăm câte numere sunt între 10 și 32, fără 10 și fără 32? Știm că între 1 și 32 sunt 32 de numere. Din 32 scădem 10 numere, adică primele 10 numere, de la 1 la 10. Mai scădem un număr, adică pe 32 și obținem că între 10 și 32 sunt 21 de numere (fără 10 și fără 32).

Câte pătrate perfecte sunt între 101 și 1000?

Am obținut că între 101 și 1000 sunt 21 de pătrate perfecte.

2) Scrieți 3 numere cuprinse între 50 și 100, care nu sunt pătrate perfecte.

Ne amintim tabla înmulțirii: între 50 și 100 avem următoarele pătrate perfecte: 64 și 81 (82 și 92). Orice alte numere naturale cuprinse între 50 și 100 nu sunt pătrate perfecte, de exemplu 61, 84 și 96.

3) Câte dintre numerele cuprinse între 22 și 32 sunt pătrate perfecte?

Între aceste numere nu mai avem niciun pătrat perfect, pentru că nu avem numere naturale între numerele 2 și 3 care se ridică la pătrat. Spunem că 2 și 3 sunt numere naturale consecutive (urmează unul după altul).

Încearcă și tu!

1) Scrieți toate pătratele perfecte cuprinse între 101 și 300. Câte sunt?

Răspuns

2) Scrieți numărul 100 ca sumă de pătrate perfecte.

Răspuns

3) Câte dintre numerele cuprinse între 72 și 112 sunt pătrate perfecte?

Răspuns

Pătrate perfecte uzuale

Cele mai folosite pătrate perfecte

Alte articole despre puteri

1. Puterea cu exponent natural a unui număr natural

2. Reguli de calcul cu puteri

3. Compararea puterilor cu baze diferite și exponenți diferiți

4. Compararea puterilor cu aceeași bază sau cu același exponent

5. Cum recunoaștem un pătrat perfect. Proprietăți

Data: 21 noiembrie 2019