Paralelogramul. Proprietăți

În acest articol

Ne amintim

Înainte de a începe, e bine să ne amintim unghiurile formate de o secantă și două drepte paralele:

Paralelograme

Ce este paralelogramul

Din mulțimea patrulaterelor convexe, le alegem pe cele care au laturile opuse paralele două câte două. Pe acestea le numim paralelograme.

Paralelograme

Paralelogramul este patrulaterul convex cu laturile opuse paralele.

Reținem! Pentru putea vorbi de un paralelogram, trebuie să avem:

un patrulater convex;

laturile opuse să fie paralele două câte două.

Paralelograme

Cum scriem în limbaj matematic?

Paralelograme

Cum desenăm un paralelogram

Dacă vrem să desenăm un paralelogram oarecare, atunci este suficient să folosim rigla și putem aplica metoda de mai jos. Dacă vrem să desenăm un paralelogram care să respecte anumite condiții, atunci s-ar putea să avem nevoie și de compas - vezi un exemplu aici.

Paralelograme

Vom desena folosind liniatura caietului de matematică.

folosind liniatura caietului, desenăm un segment orizontal care va fi o latură a paralelogramului; stabilim capetele segmentului, pe care le notăm cu A și B, de exemplu. Acestea sunt vârfuri ale paralelogramului;

din vârful A coborâm pe liniatura caietului câte pătrățele vrem noi; alegem să coborâm 4 pătrățele de exemplu;

mergem la dreapta sau la stânga tot pe liniatura caietului, câte pătrățele vrem noi; alegem să mergem la stânga 3 pătrățele, de exemplu; marcăm punctul în care am ajuns pentru că acesta este un vârf al paralelogramului.

unim vârful A cu noul vârf descoperit; acum avem două laturi ale paralelogramului;

din B coborâm pe liniatura caietului tot atâtea pătrățele cât am coborât din A, adică 4 pătrățele, în cazul nostru;

mai înainte am mers la stânga 3 pătrățele, deci vom merge tot la stânga, tot 3 pătrățele; marcăm punctul în care am ajuns, pentru că acesta este cel de-al patrulea vârf al paralelogramului.

unim vârful B cu noul vârf descoperit; acum avem trei laturi ale paralelogramului;

unim cele două vârfuri nou descoperite; acum avem și cea de-a patra latură a paralelogramului;

denumim ultimile vârfuri pe care le-am construit C și D.

Alt mod de a desena un paralelogram folosind definiția acestuia:

❖ desenăm două drepte paralele (orizontale, de exemplu) pe care le intersectăm cu alte două drepte paralele (oblice, de exemplu). Cele 4 puncte de intersecție (în care se întâlnesc) sunt cele 4 vârfuri ale paralelogramului. Această medodă folosește definiția paralelogramului.

Paralelograme

Alte moduri de a desena un paralelogram folosesc proprietățile acestuia și le vom cerceta aici.

Proprietăți

Paralelograme

Fiecare proprietate a paralelogramului este detaliată mai jos. Demonstrațiile lor sunt un bun mijloc să exersăm, așa că vă invit să le încercați.


1) Într-un paralelogram, laturile opuse sunt congruente (egale) două câte două.

Paralelograme

De ce?

Laturile AB și CD sunt opuse; arătăm că sunt congruente (egale).

Cum arătăm că două segmente sunt congruente? O metodă este să le încadrăm în două triunghiuri despre care vom arăta că sunt congruente (cele două segmente trebuie să fie laturi omoloage). Dar noi nu avem triunghiuri, avem doar un paralelogram! Cum facem?

Desenăm o diagonală a paralelogramului, de exemplu diagonala AC. Acum avem două triunghiuri, ABC și ADC. Putem arăta că sunt congruente? Ar fi minunat dacă ar fi congruente, pentru că AB și CD sunt laturi omoloage în aceste triunghiuri. Dacă triunghiurile sunt congruente, atunci AB și CD sunt congruente.

Triunghiurile ABC și CDA au latura AC comună; acum ne interesează unghiurile alăturate acestei laturi, să vedem dacă ne încadrăm în cazul U.L.U.

AD este paralelă cu BC și AC este secantă, înseamnă că unghiurile DAC și ACB sunt congruente;

AB este paralelă cu CD și AC este secantă, deci unghiurile BAC și ACD sunt congruente;

înseamnă că triunghiurile ABC și CDA sunt congruente (cazul U.L.U.), deci AB este congruentă cu CD și AD este congruentă cu BC.

Paralelograme

Cum scriem în limbaj matematic?

Paralelograme

Q.E.D.


2) Într-un paralelogram, unghiurile opuse sunt congruente (egale) două câte două.

Paralelograme

De ce?

Laturile opuse sunt paralele, deci ne gândim la proprietățile dreptelor paralele. Luăm pe rând cele două perechi de laturi paralele:

AD este paralelă cu BC și AB este secantă (adică taie cele două drepte paralele), înseamnă că unghiurile A și B sunt suplementare (adică suma lor este 180° );

{ Astfel am mai găsit o proprietate importantantă a paralelogramului:

3) Într-un paralelogram, unghiurile alăturate sunt suplementare (au suma egală cu 180° ). }

AB este paralelă cu CD și BC este secantă, înseamnă că unghiurile B și C sunt suplementare;

cum A și B sunt unghiuri suplementare și B și C sunt, de asemenea, suplementare, înseamnă că A și C sunt unghiuri congruente.

Paralelograme

Cum scriem în limbaj matematic?

Paralelograme

Q.E.D.


3) Într-un paralelogram, unghiurile alăturate sunt suplementare (au suma egală cu 180° ).

De ce? Să lucrăm împreună de data asta.

Paralelograme

ABCD paralelogram AD , AB secantă și BAD sunt suplementare (interne și de aceeași parte a secantei)

Paralelograme

ABCD paralelogram BC, CD secantă ADC și sunt suplementare (interne și de aceeași parte a secantei)

Paralelograme

ABCD paralelogram AB , secantă BAD și ADC sunt suplementare (interne și de aceeași parte a secantei)

Paralelograme

ABCD paralelogram CD, BC secantă și DCB sunt suplementare (interne și de aceeași parte a secantei)

Q.E.D.



4) Într-un paralelogram, diagonalele se înjumătățesc.

Paralelograme

De ce? Să lucrăm împreună de data asta.


Ipoteza este că în paralelogramul ABCD diagonalele se intersectează în punctul O. Să arătăm că AO este congruentă cu OC și că BO este congruentă cu OD.

Scriem datele problemei:

Ipoteză

ABCD paralelogram

AC, diagonale

AC = {}

Concluzie

AO

DO



Demonstrație

1) Desenăm paralelogramul, notăm vârfurile cu A, B, C, D având grijă la ordinea literelor, desenăm diagonalele și notăm cu O punctul lor de intersecție.

Paralelograme

2) Cum putem arăta că două segmente sunt congruente?

O metodă este să le încadrăm ca laturi omoloage (corespunzătoare) în două triunghiuri despre care știm (sau putem arăta) că sunt congruente.

3) În ce triunghiuri găsim segmentele despre care trebuie să arătăm că sunt congruente?

În triunghiurile AOB, BOC, COD și AOD.

4) Arătăm că triunghiurile AOB și sunt congruente.

5) ABCD este paralelogram; este singura informație din ipoteză. Să vedem ce putem deduce de aici.

ABCD este paralelogram, rezultă că este paralelă cu CD, iar AC este secantă. Înseamnă că unghiurile BAC și sunt congruente. 1

Din faptul că AB și sunt paralele și este secantă rezultă că unghiurile ABD și BDC sunt congruente. 2

Laturile AB și ale paralelogramului sunt congruente. 3

Din 1 , 2 și 3 rezultă că triunghiurile AOB și sunt congruente (cazul ). De aici rezultă că AO este congruentă cu OC și că BO este congruentă cu OD, ceea ce am avut de demonstrat.

Q.E.D.


5) Într-un paralelogram, fiecare diagonală formează unghiuri congruente (egale) cu laturile opuse.

Paralelograme

De ce? Să lucrăm împreună.

Arătăm că unghiurile formate de diagonala AC (secantă) și laturile paralele AD și BC sunt congruente. Pentru diagonala BD se lucrează în mod asemănător.

Scriem datele problemei:

Ipoteză

ABCD paralelogram

AC diagonală

Concluzie

1 BAC

2 ACB



Demonstrație

1) Desenăm paralelogramul, notăm vârfurile cu A, B, C, D având grijă la ordinea literelor, apoi desenăm diagonala AC. Identificăm cele două perechi de unghiuri despre care vom arăta că sunt congruente.

Paralelograme

2) Cum putem arăta că două unghiuri sunt congruente?

O modalitate este să arătăm că sunt unghiuri formate de două drepte paralele tăiate de o secantă.

3) În problema noastră avem drepte paralele? Dacă da, care sunt?

Da. ABCD este paralelogram, deci laturile opuse sunt paralele. Avem două perechi de drepte paralele: AB este paralelă cu CD, AD este paralelă cu BC.

4) Să ne concentrăm pe perechea de unghiuri BAC și ACD. Avem două drepte paralele care să fie tăiate de o secantă și să formeze aceste unghiuri?

Unghiurile BAC și ACD sunt formate de dreptele paralele AB și CD și de secanta AC.

4) Ce putem spune de unghiurile BAC și ACD?

Unghiurile BAC și ACD sunt alterne interne și congruente (egale).

5) Să scriem demonstrația în limbaj matematic.

ABCD paralelogram CD, AC secantă BAC (alterne )1

ABCD paralelogram BC, AC secantă DAC (alterne )2

Q.E.D.



Exemple - proprietăți

Ai câteva exemple cu care să exersezi: 1 2 3 4

1) În paralelogramul ABCD, măsura unghiului B este de 50°. Calculează măsurile celorlalte unghiuri ale paralelogramului.

Ipoteză

ABCD paralelogram

B = 50°

Concluzie

A = ?

C = ?

D = ?

Rezolvare

1) Desenăm paralelogramul (dacă simți că poți rezolva problema fără desen, e în regulă) și notăm pe el informațiile din ipoteză.

Paralelograme

2) Ne gândim la proprietățile paralelogramului, în special la cele referitoare la unghiuri, pentru că în problemă ni se dă măsura unghiului B.

3) Ne gândim la alte teoreme importante referitoare la unghiurile paralelogramului sau patrulaterului convex, pentru că paralelogramul este patrulater convex.

4) Rezolvăm împreună; poți încerca singur(ă), apoi te verifici.

ABCD paralelogram A C și B D B = D = 50° 1

ABCD patrulater convex A + B + C + D = 360° 2

Din 1 și 2 A + 50° + C + 50° = 360°

adică A + 50° + A + 50° = 360°

2 A + 100° = 360°

2 A = 360° - 100°

2 A = 260°

A = 260° : 2

A = 130° = C

Observație | Putem scrie calculele într-un singur exercițiu: A = (360° - 2 50°) : 2 = 130°

Am obținut că unghiurile A și C au măsurile de 130° , iar unghiurile B și D au măsurile de 50°. Putem verifica prin adunare: 50 plus 50 plus 130 plus 130 egal cu 360 - corect.

Observație | Dacă știm măsura unui unghi al unui paralelogram, putem calcula și măsurile celorlalte unghiuri ale acestuia.

5) Ce teoreme importante am folosit pentru rezolvarea problemei? E important să le identificăm clar și să le ținem minte pentru când vom mai rezolva probleme la geometrie.

1. Într-un paralelogram, unghiurile opuse sunt congruente (egale) și 2. Suma măsurilor unghiurilor unui patrulater convex este de 360°.

Q.E.D.

2) În paralelogramul ABCD știm că BDC = 50°, ACB = 25° și AOD = 140°, unde O este punctul de intersecție a diagonalelor paralelogramului. Calculați măsurile unghiurilor paralelogramului ABCD.

Ipoteză

ABCD paralelogram

BDC = 50°

ACB = 25°

AOD = 140°

Concluzie

BAD = ?

ABC = ?

Rezolvare

1) Desenăm paralelogramul și notăm pe el informațiile din ipoteză.

Paralelograme

2) Observăm că două dintre unghiurile date în ipoteză sunt formate de diagonale cu laturile paralele ale paralelogramului, iar al treilea unghi este unghiul dintre diagonale.

3) Ce unghi e congruent (egal) cu BDC?

Unghiul ABD; sunt unghiuri alterne interne formate de laturile paralele AB și CD și secanta BD.

4) Ce unghi e congruent (egal) cu ACB?

Unghiul DAC; sunt unghiuri alterne interne formate de laturile paralele AD și BC și secanta AC.

5) Ce unghi e congruent (egal) cu AOD?

Unghiul BOC; sunt unghiuri opuse la vârf.

6) Ce putem spune despre AOD și AOB?

Sunt suplementare (au suma de 180°).

7) Ce putem spune despre unghiurile triunghiului AOB?

Au suma de 180°. Suma unghiurilor oricărui triunghi este de 180°.

Să scriem totul în limbaj matematic și să efectuăm calculele.

ABCD paralelogram AB CD și AD BC

AB CD, BD secantă ABD = BDC = 50°

AD BC, AC secantă DAC = ACB = 25°

AOD = BOC = 140° (opuse la vârf)

AOD + AOB = 180° (suplementare) 140° + AOB = 180° AOB = 40°

Am calculat măsurile mai multor unghiuri. Să le vedem pe desen.

Paralelograme

8) Observăm că unghiul BAD este suma unghiurilor BAC și DAC; DAC este de 25°. Cum calculăm măsura BAC?

Unghiul BAC este (și) în triunghiul AOB. Folosim faptul că suma măsurilor unghiurilor unui triunghi este de 180°; știm cât sunt unghiurile ABO și AOB, deci prin scădere calculăm și unghiul BAC.

În AOB avem: BAO + AOB + ABO = 180° BAO + 40° + 50° = 180° BAO = 90°

BAD = ABO + DAC = 90° + 25° = 115°

BAD = 115°

Calculăm măsura ABC. Avem mai multe variante: putem calcula ca suma de două unghiuri, cum am calculat unghiul BAD sau putem calcula folosind faptul că într-un paralelogram unghiurile alăturate sunt suplementare sau putem calcula folosind metoda de la exemplul anterior.

ABC + BAD = 180° (într-un paralelogram, unghiurile alăturate sunt suplementare)

ABC = 180° - 115° = 65°

ABC = 65°

9) Ce teoreme importante am folosit pentru rezolvarea problemei? E important să le identificăm clar și să le ținem minte pentru când vom mai rezolva probleme la geometrie.

1. Unghiurile congruente formate de două drepte paralele tăiate de o secantă 2. Suma măsurilor unghiurilor unui triunghi este 180° 3. Unghiurile opuse la vârf sunt egale 4. Unghiurile suplementare au suma de 180°.

Q.E.D.

3) Fie paralelogramul ABCD în care știm că AB este de 5 cm, AD este de 7 cm, AC este de 6 cm, iar BD este de 10 cm. Calculați perimetrele paralelogramului ABCD și triunghiului AOB, unde O este punctul de intersecție a diagonalelor.

Ipoteză

ABCD paralelogram

AB = 5 cm

AD = 7 cm

AC = 6 cm

BD = 10 cm

AC BD = {O}

Concluzie

PABCD = ?

PAOB = ?

Rezolvare

1) Desenăm paralelogramul.

Paralelograme

2) Ce este perimetrul?

Perimetrul înseamnă suma laturilor poligonului; în cazul nostru, avem de calculat mai întâi suma laturilor paralelogramului ABCD, apoi suma laturilor triunghiului AOB.

4) Ce ne lipsește și avem de aflat pentru a calcula perimetrul paralelogramului ABCD?

Știm lungimile laturilor AB și AD; avem de calculat lungimile laturilor BC și CD.

5) Ce proprietate a paralelogramului putem folosi?

Putem folosi proprietatea referitoare la laturi: laturile opuse sunt congruente (egale) două câte două.

Să scriem în limbaj matematic.

ABCD paralelogram AB = CD = 5 cm și AD = BC = 7 cm

Calculăm perimetrul paralelogramului ABCD.

PABCD = AB + BC + CD + AD = 2 5 + 2 7 = 10 + 14 = 24 cm

PABCD = 24 cm

Să calculăm perimetrul triunghiului AOB.

6) Ce ne lipsește și avem de aflat pentru a calcula perimetrul triunghiului AOB?

Știm lungimea laturii AB; avem de aflat lungimile laturilor AO și OB.

7) Ce proprietate a paralelogramului putem folosi?

Putem folosi proprietatea referitoare la diagonale: diagonalele paralelogramului se înjumătățesc.

Să scriem în limbaj matematic.

ABCD paralelogram AO = OC = \({AC \over 2}\) = 3 cm și BO = OD = \({BD \over 2}\) = 5 cm

Calculăm perimetrul triunghiului AOB.

PAOB = AB + OB + OC = 5 + 5 + 3 = 13 cm

PAOB = 13 cm

8) Ce teoreme importante am folosit pentru rezolvarea problemei? E important să le identificăm clar și să le ținem minte pentru când vom mai rezolva probleme la geometrie.

1. Într-un paralelogram, laturile opuse sunt congruente (egale) și 2. Într-un paralelogram, diagonalele se înjumătățesc.

Q.E.D.

4) Fie paralelogramul ABCD în care E este mijlocul laturii BC, iar F este simetricul lui A față de E.

a) Arătați că punctele D, C, F sunt coliniare;

b) Arătați că ariile triunghiurilor AFC și ACD sunt egale.

Ipoteză

ABCD paralelogram

E - mijlocul lui BC

F - simetricul lui A față de E

Concluzie

a) D, C și F - coliniare

b) AAFC = AACD

Demonstrație

a) Mai întâi citim enunțul și explicăm fiecare noțiune nouă. De exemplu, în cazul nostru avem de explicat ce înseamnă simetricul unui punct față de alt punct și ce înseamnă puncte coliniare.

1) Ce înțelegem prin simetricul lui A față de F?

Stabilim punctul F astfel încât E să fie mijlocul segmentului AF. Pentru aceasta, prelungim segmentul AE cu un segment egal cu acesta, astfel încât E să fie între A și F. Punctul F se numește simetricul lui A față de E.

2) Ce sunt punctele coliniare?

Punctele coliniare sunt puncte care se află pe aceeași dreaptă.

3) Cum putem arăta că 3 puncte sunt coliniare?

Putem arăta că unghiul cu vârful în punctul din mijloc are 180°. În cazul nostru, arătăm că DCF = 180°.

4) Acum putem să facem desenul.

Paralelograme

BE (E mijlocul lui BC)

EF (F simetricul lui A față de E)

AEB = (opuse la vârf)

Din 1, 2 și 3 ABE (cazul L.U.L.) ABC 4

ABCD paralelogram ABC și suplementare 5

Din 4 și 5 BCF și suplementare D, C și F coliniare

b) Să arătăm că ariile triunghiurilor AFC și ACD sunt congruente (egale).

1) Cum crezi că putem arăta acest lucru?

Pentru că cele două triunghiuri au o latură comună, cercetăm dacă se poate aplica teorema: „mediana unui triunghi împarte triunghiul în două triunghiuri cu ariile egale”. Cercetăm dacă AC este mediană pentru DF în triunghiul AFD, adică cercetăm dacă CF și CD sunt egale.

2) Cum putem arăta că două segmente sunt congruente (egale)?

Le încadrăm ca laturi omoloage în două triunghiuri despre care știm sau putem arăta că sunt congruente.

Paralelograme

Arătăm că CD . Pentru asta, arătăm că ABE (știm din ipoteză că AB și CD sunt egale, pentru că ABCD este paralelogram).

- mijlocul lui BC BE 1

F - simetricul lui A față de E AE 2

CEF (opuse la vârf) 3

Din 1, 2 și 3 ABE (L.U.L.) AB . 4

AB (ABCD paralelogram) 5

Din 4 și 5 CF mediană în AFC AAFC = AACD

AAFC = AACD

!!! Ce teoreme importante am folosit pentru rezolvarea problemei? E important să le identificăm clar și să le ținem minte pentru când vom mai rezolva probleme la geometrie.

1. Simetricul lui X față de Y este Z astfel încât Y să fie mijlocul lui XZ și 2. Puncte coliniare - formează unghi de 180° și 3. Proprietatea medianei de a împărți triunghiul în două triunghiuri cu arii egale.

Q.E.D.

Provocare! Privește desenul. Ce alt paralelogram avem, în afară de ABCD? Explică.

Paralelograme

Avem paralelogramul ABFC - pentru că AB și CF sunt paralele și congruente sau pentru că diagonalele AF și BC se înjumătățesc.

Alte moduri de a desena un paralelogram folosind proprietățile acestuia:

❖ desenăm două segmente inegale care au același mijloc. Capetele segmentelor sunt vârfurile paralelogramului. Această metodă folosește proprietatea paralelogramului de a avea diagonalele cu același mijloc.

Paralelograme

❖ desenăm două segmente paralele și congruente. Capetele acestora sunt vârfurile paralelogramului. Această metodă folosește proprietatea paralelogramului de a avea aceleași două laturi opuse paralele și congruente (egale).

Paralelograme

Exemple - cum desenăm

Ai câteva exemple cu care să exersezi: 1 2 3

1) Desenează paralelogramul ABCD, știind că AB este de 4 cm, BC este de 6 cm și A este de 120°.

Analizăm

Observație | În primul rând este nevoie să stabilim ce sunt segmentele a căror lungime se dă în enunț: laturi sau diagonale. De asemenea, este nevoie să stabilim de la început ce sunt unghiurile a căror măsură se dă în enunț: unghiuri ale paralelogramului, unghiuri formate de cele două diagonale sau unghiuri formate de o diagonală cu două laturi opuse. Pentru asta, putem să ne folosim de notația paralelogramului sau putem face repede o schiță a unui paralelogram, cu mâna liberă, notăm vârfurile și vedem care sunt laturile, care sunt diagonalele etc.

Paralelograme

Vedem că AB și BC sunt laturi alăturate, iar A este un unghi al paralelogramului.

Ni se dau lungimile laturilor alăturate; înseamnă că AB și CD sunt opuse și egale cu 4 cm, iar BC și AD sunt opuse și egale cu 6 cm. Unghiurile opuse sunt egale, deci și C are 120°. Unghiurile alăturate au suma de 180° (sunt suplementare), deci B și D sunt de 60° fiecare (180 minus 120).

Desenăm

Am folosit raportor desenat de Clker-Free-Vector-Images și riglă (modificată) desenată de OpenClipart-Vectors de la Pixabay.

Paralelograme

2) Desenează paralelogramul MNPQ, știind că MP este de 8 cm, NQ este de 6 cm și MON este de 75°, MP NQ = {O}.

Analizăm

Observație | În primul rând este nevoie să stabilim ce sunt segmentele a căror lungime se dă în enunț: laturi sau diagonale. De asemenea, este nevoie să stabilim de la început ce sunt unghiurile a căror măsură se dă în enunț: unghiuri ale paralelogramului, unghiuri formate de cele două diagonale sau unghiuri formate de o diagonală cu două laturi opuse. Pentru asta, putem să ne folosim de notația paralelogramului sau putem face repede o schiță a unui paralelogram, cu mâna liberă, notăm vârfurile și vedem care sunt laturile, care sunt diagonalele etc.

Paralelograme

Vedem că MP și NQ sunt diagonale, iar MON este un unghi dintre diagonale.

Ni se dau lungimile diagonalelor; diagonalele paralelogramului se înjumătățesc, adică punctul O este mijlocul lui MP (MO egală cu OP egal cu 4 cm) și O este mijlocul lui NQ (NO egală cu OQ egal cu 3 cm).

Desenăm

Am folosit raportor desenat de Clker-Free-Vector-Images și riglă (modificată) desenată de OpenClipart-Vectors de la Pixabay.

Paralelograme

3) Desenează paralelogramul ABCD, știind că AB este de 3 cm, BC este de 5 cm și AC este de 7 cm.

Analizăm

Observație | În primul rând este nevoie să stabilim ce sunt segmentele a căror lungime se dă în enunț: laturi sau diagonale. Pentru asta, putem să ne folosim de notația paralelogramului sau putem face repede o schiță a unui paralelogram, cu mâna liberă, notăm vârfurile și vedem care sunt laturile și care sunt diagonalele.

Paralelograme

Vedem că AB și BC sunt laturi alăturate, iar AC este o diagonală a paralelogramului. Înseamnă că AB și CD sunt egale (opuse) și au 3 cm fiecare, iar BC și AD sunt egale și au 5 cm fiecare.

Desenăm

Am folosit riglă (modificată) și compas desenate de OpenClipart-Vectors de la Pixabay.

Paralelograme

Dacă vrem ca BC să fie de 5 cm, avem o infinitate de posibilități pentru punctul C. La fel, dacă vrem ca AC să fie de 7 cm, avem o infinitate de posibilități pentru punctul C. Cum alegem punctul C astfel încât să îndeplinească simultan două condiții: BC să fie de 5 cm și AC să fie de 7 cm?

Vom desena cercuri. Toate punctele de pe cerc sunt egal depărtate de centrul acestuia (segmentul care unește centrul cercului cu orice punct de pe cerc se numește rază). Mai întâi, vom desena un cerc cu centrul în B și cu raza de 5 cm (condiția ca BC să fie de 5 cm). Apoi vom desena un cerc cu centrul în A și cu raza de 7 cm (condiția ca AC să fie de 7 cm). Punctul în care cele două cercuri se intersectează este punctul C pe care-l căutăm noi - punctul care îndeplinește ambele condiții.

Paralelograme

Paralelograme

Obținem două posibilități pentru punctul C; alegem o variantă, pe care o vrem.

Paralelograme

Cum arătăm că un patrulater este paralelogram

Paralelograme

Vom arăta că fiecare condiție ne conduce la un paralelogram. Vă invit să le încercați alături de mine; acesta este un bun prilej pentru a lucra la geometrie.

1 Un patrulater convex care are laturile opuse paralele două câte două este paralelogram.


Scriem datele problemei:

Ipoteză

ABCD patrulater convex

AB CD

AD BC

Concluzie

ABCD paralelogram

Demonstrație

Paralelogramul este un patrulater convex care are ambele perechi de laturi opuse paralele (definiția paralelogramului). Cum ABCD este un patrulater convex cu laturile opuse paralele două câte două, înseamnă că el este paralelogram.

Q.E.D.

2 Să arătăm că, dacă avem un patrulater convex în care două laturi opuse sunt congruente și paralele, atunci patrulaterul este paralelogram.


Scriem datele problemei:

Ipoteză

ABCD patrulater convex

AB

AB

Concluzie

ABCD paralelogram

Demonstrație

Mai întâi facem desenul. Vom desena de la început un paralelogram pentru a ne fi mai ușor să demonstrăm; îl vom nota cu literele A, B, C și D.

Paralelograme

Pentru a arăta că ABCD este paralelogram, trebuie să avem laturile opuse paralele două câte două (definiția paralelogramului). Din ipoteză știm că AB este paralel cu . Mai trebuie să arătăm că și este paralel cu BC.

Cum putem arăta că două segmente sunt paralele?

O modalitate este să găsim două unghiuri congruente (sau despre care să putem arăta că sunt congruente) alterne interne sau alterne externe sau corespondente, formate de cele două segmente și o secantă.

Presupunem că AD și BC sunt paralele (nu am arătat încă, doar presupunem). E suficient pentru a avea unghiuri congruente?

Pentru că două drepte paralele să formeze unghiuri congruente este nevoie de o secantă, adică o dreaptă care să „taie” ambele drepte paralele.

Presupunem că AD și BC sunt paralele (nu am arătat încă, doar presupunem). Ce secantă avem sau putem desena și ce unghiuri congruente ar rezulta de aici?

Putem folosi ca secante diagonalele AC sau BD ale patrulaterului sau laturile AB sau CD. În cazul nostru, dacă AD și BC ar fi paralele, iar AC secantă, atunci unghiurile DAC și BCA ar fi congruente - alterne interne.

Putem arăta că aceste unghiuri sunt congruente? Dacă da, cum?

Arătăm că triunghiurile DAC și BCA sunt congruente.

Putem arăta că aceste triunghiuri sunt congruente? Dacă da, cum?

AC este latură comună. Din ipoteză știm că AB și CD sunt congruente. Tot din ipoteză știm că AB și CD sunt paralele; cum AC este secantă, înseamnă că unghiurile BAC și ACD sunt congruente (alterne interne). Rezultă că triunghiurile DAC și BCA sunt congruente (cazul L.U.L.).

Am analizat problema cu ajutorul întrebărilor. Am obținut că avem nevoie de o diagonală, de exemplu AC. Pentru a putea arăta că AD și BC sunt paralele, vom arăta mai întâi că triunghiurile DCA și BAC sunt congruente, iar de aici va rezulta că unghiurile DAC și BCA sunt congruente. Aceste unghiuri sunt alterne interne formate de AD și BC și secanta AC, deci AD și BC sunt paralele.

Paralelograme

Să scriem demonstrația.

AC diagonală

AB CD (din ipoteză), AC secantă BAC (alterne interne) 1

AB CD (din ipoteză) 2

AC latură comună 3

Din 1, 2 și 3 BCA (cazul L.U.L.) DAC BC, AC secantă

AB CD (ipoteză) și BC ABCD paralelogram (conform definiției)

Q.E.D.


3 Fie ABCD patrulater convex în care laturile opuse sunt congruente (egale) două câte două. Arătați că ABCD este paralelogram.


Scriem datele problemei.

Ipoteză

ABCD patrulater convex

AB CD

AD BC

Concluzie

ABCD paralelogram

Demonstrație

Desenăm un patrulater convex. Deoarece știm că trebuie să arătăm că e paralelogram, desenăm de la început un paralelogram, pentru a ne fi mai ușor să demonstrăm.

Paralelograme

A arăta că ABCD este paralelogram înseamnă a arăta că laturile opuse sunt paralele două câte două: AB paralel cu CD, iar AD paralel cu BC.

Cum putem arăta că două drepte sunt paralele?

Arătăm că cele două drepte tăiate de o secantă formează unghiuri congruente (alterne sau corespondente) sau suplementare.

Arătăm că AD și BC sunt paralele. Ce secantă le intersectează?

Diagonalele pot fi secante. Celelalte două laturi pot fi secante. De exemplu, vom considera diagonala AC.

Arătăm că AD și BC sunt paralele, cu AC secantă. Pentru asta, arătăm că unghiurile DAC și ACB sunt congruente (alterne interne).

Cum putem arăta că două unghiuri sunt congruente?

Le încadrăm ca unghiuri omoloage în două triunghiuri congruente (sau despre care putem arăta că sunt congruente).

Pentru unghiurile noastre, ce triunghiuri am putea arăta că sunt congruente? Folosește desenul și intuiția.

Paralelograme

Arătăm că triunghiurile ADC și CBA sunt congruente.

Cum arătăm că sunt triunghiuri congruente?

Cazul L.L.L: din ipoteză avem două perechi de laturi congruente, iar AC este latură comună.

Să scriem demonstrația.

Fie AC diagonala patrulaterului.

Arătăm că ADC CBA.

AB (din ipoteză) 1

BC (din ipoteză) 2

latură comună 3

Din 1, 2 și 3 ADC CBA (cazul L.L.L.) DAC AD , AC secantă (unghiuri alterne interne)

ADC CBA ACD CD, AC secantă (unghiuri alterne interne)

Cum cele două perechi de laturi opuse (AB și CD, AD și BC) sunt paralele, înseamnă că ABCD este paralelogram (conform definiției).

Q.E.D.



4 Fie ABCD un patrulater convex în care unghiurile opuse sunt congruente (egale) două câte două. Arătați că ABCD este paralelogram.


* * *

Să scriem datele problemei.

Ipoteză

ABCD patrulater convex

A

D

Concluzie

ABCD paralelogram

Demonstrație

Desenăm un patrulater convex. Deoarece știm că trebuie să arătăm că e paralelogram, desenăm de la început un paralelogram, pentru a ne fi mai ușor să demonstrăm.

Paralelograme

A arăta că ABCD este paralelogram înseamnă a arăta că laturile opuse sunt paralele două câte două: AB paralel cu CD, iar AD paralel cu BC.

Cum putem arăta că două drepte sunt paralele?

Arătăm că cele două drepte tăiate de o secantă formează unghiuri congruente (alterne interne sau externe sau corespondente) sau suplementare (interne sau externe de aceeași parte a secantei).

Ce secantă avem sau putem desena pentru a arăta că AD este paralel cu BC?

Putem folosi diagonalele AC sau BD sau putem folosi laturile AB sau CD.

Ai mai întâlnit probleme asemănătoare?

Da, atunci cănd am arătat că un patrulater convex cu laturile opuse congruente două câte două este paralelogram. Am considerat ca secantă diagonala AC, am arătat că triunghiurile formate de ea cu laturile patrulaterului sunt congruente și am obținut două unghiuri alterne interne congruente.

Pentru a arăta că AD și BC sunt paralele, să încercăm metoda pe care am folosit-o la condiția 3. Să considerăm că diagonala AC este secantă. Cum arătăm că triunghiurile ABC și CDA sunt congruente?

Avem latura comună AC și unghiurile B și D congruente din ipoteză. Altceva nu mai avem și nici nu putem arăta.

Am aflat că metoda anterioară nu merge aici. Să mai citim o dată problema, să vedem ce alte date ne oferă.

ABCD este patrulater convex. Ce proprietăți are patrulaterul convex?

Suma măsurilor unghiurilor patrulaterului convex este de 180° .

Atenție | Ne amintim că două drepte sunt paralele dacă, fiind tăiate de o secantă, formează unghiuri interne suplementare aceeași parte a secantei (ca unghiurile 3 și 6 din desenul acesta). Pentru a demonstra că AD și BC sunt paralele, vom folosi ca secantă o latură a patrulaterului, de exemplu AB. Înseamnă că vrem să arătăm că unghiurile A și D sunt suplementare (ele sunt formate de AD și BC și secanta AB).

Să folosim proprietatea referitoare la suma măsurilor unghiurilor unui patrulater convex.

A + B + C + D = ° 1

A (din ipoteză)

B (din ipoteză)

Relația 1 devine A + D + A + D =

adică 2 A + 2 = °

adică 2 (A + ) = °

deci A + = ° 2

Unghiurile A și D sunt suplementare. Ele sunt interne de aceeași parte a secantei AD, deci AB și sunt paralele.

Observație | Pentru a demonstra că AB și CD sunt paralele, am arătat că împreună cu secanta AD formează unghiuri suplementare.

De data aceasta, am considerat ca secantă una dintre laturile patrulaterului. Și diagonalele AC și BD sunt secante pentru AB și CD, dar ele nu ne conduc la rezolvarea problemei.

Să arătăm că AD și BC sunt paralele. Vom arăta că AD și BC împreună cu o secantă formează unghiuri suplementare. Ca secante, putem considera una dintre laturile AB sau CD. Să considerăm AB secantă. AD și BC tăiate de secanta AB formează unghiurile A și B ale patrulaterului. Despre aceste unghiuri vrem să arătăm că sunt suplementare. Pentru asta, folosim relația 2 (se poate folosi și relația 1, dar nu are rost să scriem de la început). Știm că unghiurile A și D sunt suplementare. Mai știm că unghiurile B și D sunt egale. Să vedem ce obținem de aici.

A + D = ° A + = °

Unghiurile A și B sunt suplementare; ele sunt interne de aceeași parte a secantei AB, deci AD și sunt paralele.

Cum AB paralel cu CD și AD paralel cu BC, rezultă că ABCD este paralelogram (conform definiției).

Q.E.D.


5 Fie ABCD un patrulater convex în care oricare două unghiuri alăturate sunt suplementare. Arătați că ABCD este paralelogram.

* * *

Să scriem datele problemei.

Ipoteză

ABCD patrulater

A + B = °

B + C = °

C + D = °

A + D = °

Concluzie

ABCD paralelogram



Demonstrație

Ce înseamnă „unghiuri suplementare”?

Unghiurile suplementare au suma de 180° .

Desenăm un patrulater convex. Deoarece știm că trebuie să arătăm că e paralelogram, desenăm de la început un paralelogram, pentru a ne fi mai ușor să demonstrăm.

Paralelograme

A + B = °

Unghiurile A și B sunt unghiuri de aceeași parte a secantei AD BC 1

Paralelograme

B + C = °

Unghiurile B și C sunt unghiuri de aceeași parte a secantei AB CD 2

Paralelograme

Din 1 și 2 ABCD paralelogram (conform definiției)

Q.E.D.



6 Fie ABCD un patrulater convex în care diagonalele AC și BD se intersectează în punctul O. Știind că AO este congruent cu CO și că BO este congruent cu DO, arătați că ABCD este paralelogram.


* * *

Să scriem datele problemei.

Ipoteză

ABCD patrulater convex

AC = {}

AO

BO

Concluzie

ABCD paralelogram



Demonstrație

Desenăm un patrulater convex. Deoarece știm că trebuie să arătăm că e paralelogram, desenăm de la început un paralelogram, pentru a ne fi mai ușor să demonstrăm.

Paralelograme

A arăta că ABCD este paralelogram înseamnă a arăta că AD este paralel cu BC, iar AB este paralel cu CD (definiția paralelogramului).

Arătăm mai întâi că AD și BC sunt paralele.

Cum putem arăta că două drepte sunt paralele?

Arătăm că cele două drepte împreună cu o secantă formează unghiuri congruente (alterne interne sau externe sau corespondente) sau unghiuri suplementare (de aceeași parte a secantei, interne sau externe).

Vrem să arătăm că AD și BC sunt paralele. Ce secante avem sau putem desena?

Avem ca secante diagonalele patrulaterului și laturile AB și CD.

Ia fiecare secantă a dreptelor AD și BC și vezi ce poți afla.

Ce variantă ne oferă cele mai multe informații și ne conduce la rezolvarea problemei?

Dacă vom considera ca secantă una dintre diagonalele AC sau BD ale patrulaterului, atunci vom obține două perechi de triunghiuri congruente, care ne conduc la unghiuri congruente alterne interne, astfel încât să obținem că AD este paralelă cu BC.

Arătăm că AD este paralel cu BC, folosind secanta AC (se procedează la fel și cu diagonala BD).

AO 1

BO 2

AOD (opuse la vârf) 3

Din 1, 2 și 3 AOD (cazul L.U.L.) DAC BC, AC secantă (alterne interne)

AO a

BO b

AOB (opuse la vârf) c

Din a, b și c AOB (cazul L.U.L.) BAC CD, AC secantă (alterne interne)

Cum AD este paralel cu BC și AB este paralel cu CD, înseamnă că ABCD este paralelogram.

Q.E.D.


7 Fie ABCD un patrulater convex în care BAC este congruent cu ACD, iar DAC este congruent cu ACB. Arătați că ABCD este paralelogram.


* * *

Să scriem datele problemei.

Ipoteză

ABCD patrulater convex

BAC ACD

DAC ACB

Concluzie

ABCD paralelogram

Demonstrație

Desenăm un patrulater convex. Deoarece știm că trebuie să arătăm că e paralelogram, desenăm de la început un paralelogram, pentru a ne fi mai ușor să demonstrăm.

Paralelograme

A arăta că ABCD este paralelogram înseamnă a arăta că AD este paralel cu BC, iar AB este paralel cu CD (definiția paralelogramului).

Arătăm mai întâi că AD și BC sunt paralele.

BAC CD, secantă 1

Arătăm că AB și CD sunt paralele.

ACB AD , secantă 2

Din 1 și 2 ABCD este paralelogram.

Q.E.D.





Exemple - cum arătăm

Ai câteva exemple cu care să exersezi: 1 2 3 4

1) Fie ABCD paralelogram și punctele M, respectiv N mijloacele laturilor BC, respectiv AD. Ce fel de patrulater este AMCN?

Ipoteză

ABCD paralelogram

M - mijlocul lui BC

N - mijlocul lui AD

Concluzie

AMCN - ?

Rezolvare

1) Desenăm paralelogramul ABCD, punctele M și N și patrulaterul AMCN.

Paralelograme

2) Analizăm patrulaterul AMCN.

ABCD este paralelogram, deci laturile AD și BC sunt paralele și congruente (egale). La fel și laturile AB și CD - paralele și egale. De aici observăm că AN și MC sunt paralele, deci patrulaterul AMCN are două laturi opuse paralele.

M și N sunt mijloacele laturilor BC și AD, deci AN, ND, BM și MC sunt egale. De aici observăm că AN și MC sunt laturi opuse și egale ale patrulaterului AMCN - deci acesta are două laturi opuse egale și paralele (aceeași pereche de laturi).

Înseamnă că AMCN este paralelogram, pentru că AN și MC sunt paralele și egale.

Paralelograme

Scriem în limbaj matematic.

ABCD paralelogram AD BC și AD BC AN MC 1

M mijlocul lui BC, N mijlocul lui AD AN MC 2

Din 1 , 2 AMCN este paralelogram

Provocare! Să mai „cotrobăim” puțin prin problema asta, să vedem ce mai descoperim. De exemplu, să cercetăm dacă mai putem forma un paralelogram, dacă avem triunghiuri particulare (isoscele, dreptunghice, echilaterale) sau dacă avem triunghiuri congruente, dacă avem unghiuri congruente, sau suplementare sau complementare etc. Ne putem „juca” așa la finalul oricărei probleme pe care o rezolvăm.

Q.E.D.

2) În triunghiul ABC avem AD mediană, DBC, iar punctul E este simetricul lui A față de punctul D. Arătați că ABEC este paralelogram.

Ipoteză

ABC oarecare

AD mediană, DBC

E este simetricul lui A față de punctul D

Concluzie

ABEC paralelogram

Rezolvare

1) „Spargem” enunțul în mai multe bucăți, în funcție de noțiunile matematice (cuvinte-cheie) întâlnite. Începem să citim enunțul și când întâlnim un cuvânt-cheie (noțiune matematică) ne oprim și îl explicăm, apoi continuăm să citim până la următorul cuvânt-cheie.

Începem: „în triunghiul ABC avem AD mediană, DBC 🛑 ...” - ne oprim, ne amintim ce înseamnă mediana în triunghi. Mediana unește un vârf al triugnhiului cu mijlocul laturii opuse. Înseamnă că D este mijlocul lui BC (BC este latura opusă vârfului A).

Continuăm: „... punctul E este simetricul lui A față de D🛑 ...” - ne oprim; înseamnă că prelungim segmentul AD cu un segment egal, astfel încât D să fie mijlocul lui AE.

Continuăm: „arătați că ABEC este paralelogram” - e important să știm modurile în care putem arăta că un patrulater convex e paralelogram:

1. două laturi opuse sunt și paralele și congruente sau

2. laturile opuse sunt paralele două câte două sau

3. laturile opuse sunt egale două câte două sau

4. unghiurile opuse sunt egale două câte două sau

5. unghiurile alăturate au împreună 180° sau

6. diagonalele se înjumătățesc sau

7. unghiurile formate de diagonale cu laturile opuse sunt egale.

În problemă avem informații referitoare la segmente, deci probabil nu vom folosi condițiile referitoare la unghiuri. Vom vedea.

2) În problemă se vorbește de un triunghi oarecare, așa că ne vom feri să desenăm un triunghi particular (isoscel, echilateral, dreptunghic). Desenăm un triunghi oarecare și mediana AD, D fiind mijlocul lui BC. Apoi prelungim segmentul AD cu un segment DE egal cu AD astfel încât D să fie mijlocul lui AE.

Paralelograme

Observăm că diagonalele patrulaterului ABEC se înjumătățesc, deci ABEC este paralelogram.

Să scriem datele problemei; completați demonstrația.

AD mediană BD 1

E simetricul lui A față de D AD 2

Din 1 și 2 ABEC paralelogram (diagonalele se înjumătățesc)

Q.E.D.

3) Fie ABCD patrulater convex în care A are 53°, iar B are 127°. Știind că AD și BC sunt egale, demonstrați că ABCD este paralelogram.

Ipoteză

ABCD patrulater convex

A = 50°

B = 130°

AD BC

Concluzie

ABCD paralelogram

Rezolvare

1) Observăm că unghiurile alăturate A și B sunt suplementare; putem fi tentați să spunem că ABCD este paralelogram pentru că unghiurile alăturate A și B sunt suplementare. Nu e corect. Pentru a fi paralelogram, e nevoie ca toate unghiurile alăturate să fie suplementare, adică și perechile de unghiuri B și C, C și D, A și D să fie suplementare.

2) Facem desenul. Deoarece ni se cere să demonstrăm că ABCD este paralelogram, desenăm de la început un paralelogram.

Paralelograme

3) Citim cu atenție enunțul. Încercăm să descoperim (sau să creăm) o legătură între informațiile din enunț și modalitățile de a arăta că un patrulater convex este paralelogram.

1. două laturi opuse sunt și paralele și congruente ❖ avem două laturi opuse congruente în enunț, AD și BC; am putea folosi condiția asta, să vedem dacă AD și BC sunt și paralele

2. laturile opuse sunt paralele două câte două ❖ despre laturile AB și CD su știm nimic

3. laturile opuse sunt egale două câte două ❖ știm că o pereche de laturi opuse sunt egale, dar nu putem arăta că și celelalte două sunt congruente

4. unghiurile opuse sunt egale două câte două ❖ nu avem nimic referitor la unghiuri opuse, puțin probabil s-o folosim

5. unghiurile alăturate au împreună 180° ❖ avem doar o pereche de unghiuri alăturate suplementare, știm doar măsurile a două unghiuri, puțin probabil s-o folosim

6. diagonalele se înjumătățesc ❖ nu avem nimic referitor la diagonale, puțin probabil s-o folosim

7. unghiurile formate de diagonale cu laturile opuse sunt egale ❖ nu avem nimic referitor la diagonale, puțin probabil s-o folosim

4) Să vedem ce putem descoperi pornind de la informațiile din enunț: avem două unghiuri alăturate, observăm că sunt suplementare, adică suma lor e de 180°. Observăm că ele sunt formate de dreptele AD și BC și de secanta AB. Înseamnă că AD și BC sunt paralele.

Observație | Etapele 3) și 4) au loc împreună, în același timp, se repetă, se întrepătrund.

Acum avem că AD și BC sunt și congruente (din ipoteză) și paralele. Înseamnă că ABCD este paralelogram.

Să scriem demonstrația.

A + B = ° AD , AB secantă 1

AD (din ipoteză) 2

Din 1 și 2 ABCD paralelogram

Q.E.D.

4) Fie MNPQ patrulater convex în care M are 25°, N are 70°, iar P are 25°. Cercetați dacă MNPQ este paralelogram.

Ipoteză

ABC oarecare

MNPQ patrulater convex

M = 25°

N = 70°

P = 25°

Concluzie

? MNPQ paralelogram ?

Rezolvare

1) Cum putem folosi datele din problemă?

Suma măsurilor unghiurilor unui patrulater concex este 360°; știm măsurile a trei unghiuri, deci putem calcula măsura celui de-al patrulea unghi.

2) Cum putem testa dacă MNPQ este paralelogram?

Știm măsurile a trei unghiuri, îl putem calcula pe al patrulea, deci vom folosi condiția referitoare la unghiuri: dacă unghiurile opuse sunt congruente (egale) două câte două, atunci MNPQ e paralelogram.

Să scriem demonstrația.

M + N + P + Q = °

25° + 70° + 25° + Q = °

° + Q = °

Q = ° - °

Q = ° Q N 1

Q și N opuse 2

Din 1 și 2 MNPQ paralelogram

Q.E.D.

Te felicit că ai avut răbdarea să lucrezi exemplele din acest articol. Te invit să urmărești mathema.ro și pentru alte articole care ți-ar putea folosi.

Puteți citi și ...

Ce este patrulaterul?

Suma măsurilor unghiurilor unui patrulater convex

Despre mediatoare

Cum desenăm un cub folosind două pătrate egale

Data: 26 octombrie 2021

Dacă mathema.ro vă este de folos sau pur și simplu vă place ideea, vă rog să urmăriți pe Facebook când apare un nou articol. Dacă vreți să-mi scrieți legat de mathema.ro, puteți să folosiți adresa de mai jos. Mulțumesc că ați vizitat mathema.ro și vă aștept aici ori de câte ori aveți neclarități la matematică!

facebook | mathema.romania@gmail.com