Ce rezolvăm azi?

Problema zilei (martie 2018)

Pentru arhiva „Problema zilei”, click aici

Fie ABCDA'B'C'D' un trunchi de piramidă patrulateră regulată. Lungimile laturilor bazelor sunt de 14 cm și 10 cm, iar lungimea apotemei trunchiului este de 4 cm. Ce lungime are înălțimea piramidei din care provine trunchiul?

Rezolvarea este mai jos pe pagină (click aici).

***

***

Rezolvare

Desenăm un trunchi de piramidă patrulateră regulată ABCDA'B'C'D'. Prelungim muchiile acestuia până se intersectează într-un punct - vârful piramidei din care provine trunchiul de piramidă; notăm acest punct cu V. Înălțimea piramidei din care provine trunchiul de piramidă este VO; lungimea acesteia este egală cu suma lungimilor segmentelor OO' și VO'. Trebuie să calculăm lungimile segmentelor OO' și VO'.

Fie ABCDA'B'C'D' un trunchi de piramidă patrulateră regulată. Lungimile laturilor bazelor sunt de 10 cm și 4 cm, iar lungimea apotemei trunchiului este de 5 cm. Ce lungime are înălțimea piramidei din care provine trunchiul?

 Înălțimea piramidei din care provine trunchiul de piramidă este VO; lungimea acesteia este egală cu suma lungimilor segmentelor OO' și VO'. Trebuie să calculăm lungimile segmentelor OO' și VO'.

Calculăm lungimea înălțimii OO' a trunchiului de piramidă.

Trunchiul de piramidă patrulateră regulată are bazele pătrate; fețele laterale sunt trapeze isoscele congruente.

Trunchiul de piramidă patrulateră regulată are bazele pătrate; fețele laterale sunt trapeze isoscele congruente.

Apotema trunchiului de piramidă regulată este înălțimea unei fețe laterale (fața laterală este un trapez isocel, deci apotema trunchiului de piramidă unește mijloacele bazelor unei fețe laterale). Considerăm trapezul isoscel BCC'B'. Fie M mijlocul bazei mari BC și M' mijlocul bazei mici B'C'. Rezultă că apotema trunchiului de piramidă este MM'.

Apotema trunchiului de piramidă regulată este înălțimea unei fețe laterale (fața laterală este un trapez isocel, deci apotema trunchiului de piramidă unește mijloacele bazelor unei fețe laterale). Considerăm trapezul isoscel  BCC'B'. Fie M mijlocul bazei mari BC și M' mijlocul bazei mici B'C'. Rezultă că apotema trunchiului de piramidă este MM'.

Notăm cu O și O' centrele bazelor trunchiului de piramidă (centrul pătratului este punctul în care se intersectează diagonalele acestuia). Înseamnă că OO' este înălțimea trunchiului de piramidă.

Notăm cu O și O' centrele bazelor trunchiului de piramidă (centrul pătratului este punctul în care se intersectează diagonalele acestuia). Înseamnă că OO' este înălțimea trunchiului de piramidă.

Apotema unui poligon regulat este perpendiculara coborâtă din centrul poligonului pe latura acestuia (adică segmentul care unește centrul poligonului cu mijlocul unei laturi). Pătratul este un poligon regulat cu patru laturi, centrul său este punctul în care se intersectează diagonalele sale. Rezultă că apotema pătratului ABCD este OM (apotema bazei mari a trunchiului de piramidă), iar apotema pătratului A'B'C'D' este O'M' (apotema bazei mici a trunchiului de piramidă).

Apotema unui poligon regulat este perpendiculara coborâtă din centrul poligonului pe latura acestuia (adică segmentul care unește centrul poligonului cu mijlocul unei laturi). Pătratul este un poligon regulat cu patru laturi, centrul său este punctul în care se intersectează diagonalele sale. Rezultă că apotema pătratului ABCD este OM (apotema bazei mari a trunchiului de piramidă), iar apotema pătratului A'B'C'D' este O'M' (apotema bazei mici a trunchiului de piramidă).

Pentru a calcula lungimea segmentului OO', fie M'N paralel cu OO', N aparține lui OM. Rezultă că triunghiul M'NM este dreptunghic în N și ONM'O' este dreptunghi (OO' este paralel cu M'N, iar O'M' este paralel cu OM și OO' este perpendicular pe planul (ABC), deci este perpendicular pe OM). Deci OO' este congruent cu M'N, iar O'M' este congruent cu ON. Înseamnă că NM este egal cu OM minus O'M', adică NM este egal cu 2 cm. Aplicăm teorema lui Pitagora în triunghiul dreptunghic M'NM și obținem că lungimea înălțimii OO' a trunchiului de piramidă este egală cu 2√3 cm.

Pentru a calcula lungimea segmentului OO', fie M'N paralel cu OO', N aparține lui OM.

Pentru a calcula lungimea segmentului OO', fie M'N paralel cu OO', N aparține lui OM. Rezultă că triunghiul M'NO' este dreptunghic în N și ONM'O' este dreptunghi (OO' este paralel cu M'N, iar O'M' este paralel cu OM și OO' este perpendicular pe planul (ABC), deci este perpendicular pe OM). Deci OO' este congruent cu M'N, iar O'M' este congruent cu ON. Înseamnă că NM este egal cu OM minus O'M', adică NM este egal cu 2 cm.

Calculăm lungimea înălțimii VO' a piramidei VA'B'C'D'.

Calculăm lungimea înălțimii VO' a piramidei VA'B'C'D'.

Planele (ABC) și (A'B'C') sunt paralele, deci OM este paralel cu O'M'. Rezultă că triunghiul VO'M' este asemenea cu triunghiul VOM. Scriem rapoartele de asemănare și obținem că lungimea înălțimii piramidei din care provine prunchiul de piramidă este 7√3 cm.

Planele (ABC) și (A'B'C') sunt paralele, deci OM este paralel cu O'M'. Rezultă că triunghiul VO'M' este asemenea cu triunghiul VOM.

Data: 11 martie 2018