Ce rezolvăm azi?

Problema zilei

Pentru arhiva „Problema zilei”, click aici

În dreptunghiul ABCD cu AB = 4cm și BC = 3cm se duce diagonala AC. Să se afle înălțimea DI a triunghiului ADC și cosinusul unghiului CDI. (subiect dat la admiterea în liceu, 1992)

Rezolvarea este mai jos pe pagină (click aici).

***

***

Rezolvare

Triunghi dreptunghic, înălțime, lungimea înălțimii corespunzătoare ipotenuzei - toate astea ne duc cu gândul la teorema înălțimii, teorema catetei, teorema lui Pitagora.

În dreptunghiul ABCD cu AB = 4cm și BC = 3cm se duce diagonala AC. Să se afle înălțimea DI a triunghiului ADC și cosinusul unghiului CDI.

Vom afla lungimea înălțimii DI.

ABCD este dreptunghi, deci are toate unghiurile drepte (au măsurile egale cu 90°), iar laturile opuse sunt paralele și congruente.

ABCD este dreptunghi, deci are toate unghiurile drepte (au măsurile egale cu 90°), iar laturile opuse sunt paralele și congruente.

Triunghiul ADC este dreptunghic cu AC ipotenuză; știm lungimea catetelor AD și CD, deci putem aplica teorema lui Pitagora pentru a afla lungimea ipotenuzei AC:

Aplicăm teorema lui Pitagora în triunghiul dreptunghic ADC și aflăm lungimea ipotenuzei AC.

Pentru a calcula lungimea înălțimii DI, aplicăm teorema catetei și teorema înălțimii în triunghiul dreptunghic ADC:

Aplicăm teorema catetei și teorema înălțimii în triunghiul dreptunghic ADC

Putem folosi formula ariei triunghiului pentru a calcula lungimea înălțimii DI:

Putem folosi formula ariei triunghiului pentru a calcula lungimea înălțimii DI

Știm lungimile laturilor triunghiului dreptunghic ADC; înlocuim în formula pe care am găsit-o și obținem că lungimea înălțimii DI este 12/5 cm:

Știm lungimile laturilor triunghiului dreptunghic ADC; înlocuim în formula pe care am găsit-o

Să calculăm cosinusul unghiului CDI.

Într-un triunghi dreptunghic, cosinusul unui unghi este egal cu raportul dintre cateta alăturată și ipotenuză. Încadrăm unghiul CDI în triunghiul dreptunghic CDI; cateta alăturată este DI, a cărei lungime am aflat-o mai sus (12/5 cm), iar ipotenuza este CD, a cărei lungime este de 4 cm. Deci cosinusul unghiului CDI este egal cu 3/5:

Într-un triunghi dreptunghic, cosinusul unui unghi este egal cu raportul dintre caateta alăturată și ipotenuză

Q.E.D.

Analizăm!

Pentru a rezolva problema, a fost nevoie să aplicăm teorema lui Pitagora în triunghiul dreptunghic ADC. Putem să reținem formula pentru lungimea înălțimii din vârful unghiului drept (e bine să scriem și cum am obținut-o, atunci când suntem la un examen, lucrare de control, teză etc.):

Într-un triunghi dreptunghic, lungimea înălțimii din vârful unghiului drept este egală cu raportul dintre produsul lungimilor catetelor și lungimea ipotenuzei

Data: 20 ianuarie 2018