Ce rezolvăm azi?

Problema zilei

Pentru arhiva „Problema zilei”, click aici

Fie ABCD trapez cu bazele AD și BC, iar M mijlocul laturii neparalele AB. Demonstrați că aria trapezului este dublul ariei triunghiului DMC. (Geometrie, manual pentru clasa a VII-a, 1992, problema 43, pagina 105)

Figură geometrică problema: Fie M mijlocul laturii neparalele AD în trapezul ABCD de baze AB și CD. Demonstrați că aria trapezului este dublul ariei triunghiului DMC.

Rezolvarea este mai jos pe pagină (click aici).

***

***

Rezolvare

Metoda 1

Aria trapezului ABCD este egală cu suma ariilor triunghiurilor AMD, DMC și MBC. Vom arăta că suma ariilor triunghiurilor AMD și MBC este egală cu jumătate din aria trapezului ABCD. Analizăm pe rând aceste arii.

Aria unui trapez este egală cu produsul dintre înălțimea acestuia și semisuma bazelor. Fie AE perpendicular pe BC, E aparține lui BC; rezultă că AE este înălțimea trapezului ABCD.

În trapezul ABCD, ducem înălțimea AE.

Aria trapezului ABCD este:

Aria trapezului ABCD

Aria unui triunghi este egală cu jumătate din produsul dintre o latură și înălțimea corespunzătoare. Aria triunghiului DMC nu ne oferă posibilitatea să găsim informații noi (indiferent ce înălțime a triunghiului am desena, nu pare să ne ajute), de aceea o lăsăm deoparte și ne mutăm atenția pe triunghiurile AMD și MBC.

Pentru aria triunghiului AMD avem nevoie să desenăm una dintre înălțimile triunghiului. Avantajos este să desenăm înălțimea care pornește din vârful M și corespunde laturii AD, pentru că ea este paralelă cu înălțimea trapezului ABCD (două segmente perpendiculare pe un al treilea segment sunt paralele) și avem posibilitatea să mai aflăm și alte informații.

Fie MP înălțime în triunghiul AMD, P aparține prelungirii laturii AD. MP este paralel cu AE, pentru că ambele sunt perpendiculare pe AD.

În triunghiul AMD, MP este înălțime

Aria triunghiului AMD este:

Aria triunghiului AMD

Procedăm la fel pentru triunghiul MBC: vom considera înălțimea MQ care pornește din vârful M, Q aparține laturii BC. Înălțimea MQ a triunghiului MBC este paralelă cu înălțimea AE a trapezului ABCD (două segmente perpendiculare pe un al treilea segment sunt paralele).

Înălțimea MQ a triunghiului MBC este paralelă cu înălțimea AE a trapezului ABCD

Aria triunghiului MBC este egală cu:

Aria triunghiului BMC

Privim cu atenție cele trei arii: aria triunghiului AMD, cea a triunghiului MBC și cea a trapezului ABCD. Observăm că, adunând cele două arii, dacă MP este congruent (are aceeași lungime) cu MQ, atunci putem da factor comun MP/2 și ar apărea suma bazelor trapezului, care apare și la aria acestuia.

Segmentele MP și MQ sunt congruente? Aceasta e întrebarea la care trebuie să răspundem.

Pentru a arăta că două segmente sunt congruente, avem la dispoziție mai multe metode, în funcție de datele problemei. Una dintre ele este să încadrăm segmentele ca laturi omoloage în două triunghiuri congruente.

Segmentele MP și MQ sunt laturi omoloage în triunghiurile congruente MPA și MQB (cazul L.U.L. - AM congruent cu MB pentru că M este mijlocul laturii AB, unghiurile AMP și BMQ sunt congruente pentru că sunt opuse la vârf, unghiurile PAM și QBM sunt congruente pentru că sunt alterne interne, AD paralelă cu BC și AB secantă). Rezultă că segmentele MP și MQ sunt congruente.

MP este congruent cu MQ

Atenție! Unghiurile AMP și BMQ sunt opuse la vârf pentru că punctele P, M și Q sunt coliniare, adică se află pe aceeași dreaptă. MP este perpendicular pe AD; AE este perpendicular pe AD, deci MP și AE sunt paralele. La fel, MQ este paralel cu AE (ambele sunt perpendiculare pe BC). Prin punctul M poate fi dusă o singură paralelă la segmentul AE, deci P, M și Q sunt coliniare.

Suma ariilor triunghiurilor AMD și MBC este egală cu:

Suma ariilor triunghiurilor AMD și MBC

Aria trapezului este:

Aria trapezului ABCD

Observăm că semisuma bazelor trapezului ABCD apare atât la aria trapezului, cât și la suma ariilor triunghiurilor AMD și MBC.

Semisuma bazelor trapezului ABCD apare și la aria trapezului, și la suma ariilor triunghiurilor AMD și MBC

Să cercetăm ce relație există între MP și AE. Am văzut deja că MP este congruent cu MQ și punctele P, M și Q sunt coliniare. Deci MP este jumătate din lungimea segmentului PQ. Patrulaterul PQEA este dreptunghi (are măsurile unghiurilor de 90° pentru că AE și MQ sunt perpendiculare pe BC, iar AE și MP sunt perpendiculare pe AD). Înseamnă că PQ și AE sunt congruente deoarece sunt laturi opuse ale dreptunghiului PQEA. Rezultă că lungimea segmentului MP este egală cu jumătate din lungimea segmentului AE.

lungimea segmentului MP este egală cu jumătate din lungimea segmentului AE

Aria trapezului ABCD este egală cu suma ariilor triunghiurilor AMD, MBC și DMC. Rezultă că aria triunghiului DMC este jumătate din aria trapezului ABCD, altfel spus aria trapezului este dublul ariei triunghiului DMC.

Aria trapezului ABCD este dublul ariei triunghiului DMC

Ce am folosit?

formulele pentru aria triunghiului și aria trapezului;

două drepte diferite care sunt perpendiculare pe o a treia dreaptă, sunt paralele între ele (teoremă importantă);

printr-un punct dat, exterior unei drepte date, există o singură paralelă la acea dreaptă (axioma paralelelor, cunoscută și sub numele de axioma lui Euclid).

Care a fost ideea de rezolvare?

Problema ne cere să arătăm că aria trapezului ABCD este dublul ariei triunghiului DMC, adică aria acestui triunghi este jumătate din aria trapezului. Dacă aria triunghiului DMC este jumătate din aria trapezului ABCD, atunci și suma ariilor triunghiurilor AMD și MBC este jumătate din aria trapezului ABCD. Ne-a fost mai ușor să analizăm ariile triunghiurilor AMD și MBC decât aria triunghiului DMC. Am folosit formulele pentru aria trapezului și a triunghiului. Pentru ariile triunghiurilor AMD și MBC am folosit înălțimile acestora din vârful M, pentru că am observat că punctele P, M și Q sunt coliniare, deci determină un segment PQ pe care este situat punctul M. Acest segment PQ este paralel cu AE, înălțimea trapezului. Astfel, am putut să facem legătura între datele din enunțul problemei și cunoștințele teoretice.

Metoda 2

Triunghiul DMC este conținut în trapezul ABCD oarecare. Despre trapez știm că are două laturi opuse paralele, mai știm că lungimea liniei mijlocii este egală cu semisuma bazelor și știm și formula pentru arie (produsul dintre înălțimea trapezului și semisuma bazelor). Ar fi interesant dacă triunghiul DMC ar fi conținut de o figură geometrică a cărei arie este egală cu aria trapezului ABCD.

Prin punctul M ducem paralela la CD, care intersectează pe AD în N și pe BC în F. Obținem paralelogramul NFCD (ND și FC sunt paralele, NF și CD sunt paralele).

NFCD-paralelogram

Arătăm că aria trapezului ABCD este egală cu aria paralelogramului NFCD. Apoi vom arăta că aria triunghiului DMC este jumătate din aria paralelogramului NFCD, deci este jumătate din aria trapezului ABCD.

Aria paralelogramului NFCD este egală cu suma ariilor poligonului AMFCD și triunghiului NMA; aria trapezului ABCD este egală cu suma ariilor poligonului AMFCD și triunghiului FMB. Dacă ariile triunghiurilor NMA și FMB sunt egale, atunci sunt egale și ariile paralelogramului NFCD și trapezului ABCD (poligonul AMFCD este comun trapezului ABCD și paralelogramului NFCD).

Arătăm că triunghiurile NMA și FMB sunt congruente. Dacă sunt congruente, atunci au ariile egale.

Punctul M este mijlocul lui AB, deci AM și MB sunt congruente (au aceeași lungime).

Unghiurile NMA și FMB sunt congruente (au măsurile egale) pentru că sunt opuse la vârf.

AD și BC sunt paralele, AB secantă, deci unghiurile NAM și FBM sunt congruente (alterne interne).

Rezultă că triunghiurile NMA și FMB sunt congruente (cazul U.L.U.), deci și ariile lor sunt egale.

Triunghiurile NMA și FMB sunt congruente (cazul U.L.U.), deci și ariile lor sunt egale.

Cum ariile triunghiurilor NMA și FMB sunt egale, rezultă că ariile trapezului ABCD și paralelogramului NFCD sunt egale.

Ariile trapezului ABCD și paralelogramului NFCD sunt egale.

Arătăm că aria triunghiului DMC este jumătate din aria paralelogramului NFCD.

Fie S mijlocul lui CD. Rezultă că MS este linie mijlocie în trapezul ABCD, deci MS, AD și BC sunt paralele. Rezultă că NMSD și MFCS sunt paralelograme (au laturile opuse paralele).

NMSD și MFCS sunt paralelograme

În paralelogramul NMSD avem diagonala MD; rezultă că triunghiurile NMD și SDM sunt congruente (paralelogramul are laturile opuse paralele și congruente și unghiurile opuse congruente; latura MD este comună - cazul L.L.L. și U.L.U. și L.U.L.), deci au ariile egale cu jumătate din aria paralelogramului PMSD.

triunghiurile NMD și SDM sunt congruente, deci au ariile egale cu jumătate din aria paralelogramului PMSD.

În paralelogramul MFCS avem diagonala MC; rezultă că triunghiurile MFC și CSM sunt congruente, deci au ariile egale cu jumătate din aria paralelogramului MFCS.

triunghiurile MFC și CSM sunt congruente, deci au ariile egale cu jumătate din aria paralelogramului MFCS.

Aria paralelogramului NFCD este egală cu suma ariilor paralelogramelor NMSD și MFCS și cu aria trapezului ABCD. Observăm că aria triunghiului DMC este egală cu suma ariilor triunghiurilor SDM și CSM, adică este egală cu jumătate din aria paralelogramului NFCD.

aria triunghiului DMC este egală cu suma ariilor triunghiurilor SDM și CSM, adică este egală cu jumătate din aria paralelogramului NFCD

Data: 18 ianuarie 2018