Ce rezolvăm azi?

Problema zilei (februarie 2018)

Pentru arhiva „Problema zilei”, click aici

Fie ABC un triunghi isoscel cu laturile congruente de 8 cm și baza BC de 10 cm.

a) Care este lungimea înălțimii corespunzătoare bazei triunghiului ABC?

b) Care este lungimea razei cercului circumscris triunghiului ABC?

Rezolvarea este mai jos pe pagină (click aici).

***

***

Rezolvare

a) Într-un triunghi isoscel, înălțimea corespunzătoare bazei este în același timp bisectoare pentru unghiul de la vârful triunghiului isoscel, mediană și mediatoare pentru baza triunghiului.

Fie AD înălțimea corespunzătoare bazei BC a triunghiului isoscel AB, D aparține lui BC. Rezultă că AD este și mediană în triunghiul ABC, deci BD și CD sunt congruente (au lungimi egale), lungimea lor fiind egală cu jumătate din lungimea bazei BC.

Desenăm înălțimea AD corespunzătoare bazei triunghiului isoscel.

Într-un triunghi isoscel, înălțimea corespunzătoare bazei este în același timp bisectoare pentru unghiul de la vârful triunghiului isoscel, mediană și mediatoare pentru baza triunghiului.

Înălțimea AD a triunghiului ABC este catetă în triunghiul dreptunghic ADB. Aplicăm teorema lui Pitagora în acest triunghi și calculăm lungimea lui AD.

Înălțimea AD a triunghiului ABC este catetă în triunghiul dreptunghic ADB. Aplicăm teorema lui Pitagora în acest triunghi și calculăm lungimea lui AD.

b) Mediatoarele laturilor unui triunghi sunt concurente într-un punct care este centrul cercului circumscris triunghiului. Deci centrul cercului circumscris triunghiului ABC se află pe AD (AD este și mediatoarea bazei BC). Notăm cu O centrul cercului circumscris triunghiului ABC.

Prelungim înălțimea AD astfel încât aceasta să intersecteze cercul circumscris triunghiului ABC în punctul E. AE este diametrul cercului circumscris triunghiului ABC. Vom calcula lungimea diametrului AD; lungimea razei cercului este egală cu jumătate din lungimea diametrului cercului.

Cum AE este diametru, rezultă că triunghiul ACE este dreptunghic în C (unghiurile înscrise într-un semicerc sunt unghiuri drepte). Triunghiurile dreptunghice ACE și ADB sunt asemenea pentru că au două unghiuri congruente (AD este și bisectoare pentru unghiul BAC, iar cele două triunghiuri au câte un unghi drept). Scriem rapoartele de asemănare și calculăm lungimea diametrului AE. Lungimea razei cercului circumscris triunghiului ABC este egală cu jumătate din lungimea diametrului AE.

Mediatoarele laturilor unui triunghi sunt concurente într-un punct care este centrul cercului circumscris triunghiului.

Mediatoarele laturilor unui triunghi sunt concurente într-un punct care este centrul cercului circumscris triunghiului.

Data: 7 februarie 2018