Ce rezolvăm azi?

Problema zilei (februarie 2018)

Pentru arhiva „Problema zilei”, click aici

Fie ABCD patrulater convex și M, N, P și Q mijloacele laturilor sale. Ce fel de patrulater este MNPQ?

Rezolvarea este mai jos pe pagină (click aici).

***

***

Rezolvare

Desenăm un patrulater convex pe care îl notăm ABCD. Notăm cu M, N, P și Q mijloacele laturilor AB, AD, CD și BC.

Desenăm un patrulater convex pe care îl notăm ABCD. Notăm cu M, N, P și Q mijloacele laturilor AB, AD, CD și BC.

Un indiciu important pentru rezolvarea problemei este faptul că M, N, P și Q sunt mijloacele laturilor patrulaterului ABCD. Acest lucru ne amintește de linia mijlocie în triunghi. Linia mijlocie unește mijloacele a două laturi ale triunghiului; ea este paralelă cu cea de-a treia latură și are lungimea egală cu jumătate din lungimea celei de-a treia laturi a triunghiului.

Observăm că dacă desenăm diagonalele AC și BD ale patrulaterului ABCD, atunci obținem patru triunghiuri în care MN, PN, PQ și MQ sunt linii mijlocii: MN este linie mijlocie în triunghiul ABC; PN este linie mijlocie în triunghiul BCD, PQ este linie mijlocie în triunghiul ADC și MQ este linie mijlocie în triunghiul ABD.

Observăm că dacă desenăm diagonalele AC și BD ale patrulaterului ABCD, atunci obținem patru triunghiuri în care MN, NP, PQ și MQ sunt linii mijlocii: MN este linie mijlocie în triunghiul ABD; NP este linie mijlocie în triunghiul ADC, PQ este linie mijlocie în triunghiul BCD și MQ este linie mijlocie în triunghiul ABC.

Rezultă că MN și PQ sunt paralele cu AC, deci MN este paralel cu PQ. la fel, PN și MQ sunt paralele cu BD, deci PN este paralel cu MQ. Înseamnă că MNPQ este paralelogram (paralelogramul este patrulaterul convex care are laturile opuse paralele).

Observăm că dacă desenăm diagonalele AC și BD ale patrulaterului ABCD, atunci obținem patru triunghiuri în care MN, NP, PQ și MQ sunt linii mijlocii: MN este linie mijlocie în triunghiul ABD; NP este linie mijlocie în triunghiul ADC, PQ este linie mijlocie în triunghiul BCD și MQ este linie mijlocie în triunghiul ABC. Rezultă că MN și PQ sunt paralele cu AC, deci MN este paralel cu PQ. la fel, NP și MQ sunt paralele cu BD, deci NP este paralel cu MQ. Înseamnă că MNPQ este paralelogram (paralelogramul este patrulaterul convex care are laturile opuse paralele).

Data: 19 februarie 2018