Ce rezolvăm azi?

Problema zilei (februarie 2018)

Pentru arhiva „Problema zilei”, click aici

Pe planul unui triunghi echilateral ABC de latură , se ridică perpendicularele AA' și BB'. Se știe că lungimea segmentului BB' este egală cu . Să se găsească AA' astfel încât:

a) triunghiul A'B'C să fie dreptunghic în B';

b) triunghiul A'B'C să fie isoscel, cu A'B' congruent cu A'C.

(Geometrie, manual pentru clasa a VIII-a, 1993, problema 8, pagina 32)

Rezolvarea este mai jos pe pagină (click aici).

***

***

Rezolvare

a) Vom considera că triunghiul A'B'C este dreptunghic în B' și vom calcula lungimea segmentului AA'. Vom aplica teorema lui Pitagora în acest triunghi; pentru aceasta, vom calcula mai întâi lungimile laturilor lui (A'B', B'C și A'C).

Calculăm lungimea catetei B'C a triunghiului dreptunghic A'B'C. Segmentul BB' este perpendicular pe planul triunghiului (ABC), deci este perpendicular pe orice dreaptă din acest plan. Rezultă că BB' este perpendicular pe AB și BC. Înseamnă că triunghiul B'BC este dreptunghic în B. Aplicăm teorema lui Pitagora în acest triunghi și aflăm lungimea ipotenuzei B'C a triunghiului dreptunghic B'BC (B'C este catetă în triunghiul dreptunghic A'B'C și ipotenuză în triunghiul dreptunghic B'BC):

Calculăm lungimea ipotenuzei A'C a triunghiului dreptunghic A'B'C. Segmentul A'A este perpendicular pe planul triunghiului (ABC). Înseamnă că A'A este perpendicular pe AB și AC, deci triunghiul A'AC este dreptunghic în A. Aplicăm teorema lui Pitagora în acest triunghi și calculăm lungimea ipotenuzei A'C:

Mai avem de calculat lungimea catetei A'B' a triunghiului dreptunghic A'B'C. Lungimile a două laturi ale acestui triunghi le-am aflat încadrându-le în triunghiuri dreptunghice. Vrem să încadrăm și latura A'B' într-un triunghi dreptunghic. Pentru aceasta, ducem paralela A'D la AC, punctul D fiind situat pe B'B. Rezultă că B'B este perpendicular pe A'D, deci triunghiul A'DB' este dreptunghic în D, iar A'B' este ipotenuză. Mai observă că A'ABD este paralelogram (dreptunghi), deci A'A este congruent cu BD și AB este congruent cu A'D. Înseamnă că lungimea catetei A'D este , iar lungimea catetei B'D este minus . Aplicăm teorema lui Pitagora în triunghiul A'DB' dreptunghic în D și aflăm lungimea ipotenuzei A'B' (A'B' este ipotenuză în triunghiul A'DB' și catetă în triunghiul A'B'C).

Am calculat lungimile laturilor triunghiului dreptunghic A'B'C (A'B', B'C și A'C) în funcție de și . Trebuie să-l aflăm pe . Aplicăm teorema lui Pitagora, obținem o ecuație cu necunoscuta pe care o aflăm în funcție de . Astfel ajungem la lungimea segmentului AA' pentru care triunghiul A'B'C este dreptunghic în B'.

b) Am calculat deja lungimile laturilor triunghiului A'B'C în funcție de și . Acum punem condiția ca A'B' să fie congruent cu A'C. Obținem o ecuație cu necunoscuta , pe care o aflăm.

Data: 1 februarie 2018