Subiecte date la simularea pentru Evaluarea Naţională clasa a VIII-a, 2017

Subiecte simularea Evaluarea Naţională 2017, clasa a VIII-a (site-ul Ministerului Educaţiei Naţionale)

Barem

Subiectul I

I. 1. Rezultatul calculului 9 − 36 : (4 + 5) este egal cu ... .

Rezolvare

Ne amintim ordinea operaţiilor:

Am obţinut că rezultatul calculului 9 − 36 : (4 + 5) este egal cu 5.

I. 2. Dacă x şi y sunt numere reale nenule astfel încât x3 = 4y, atunci xy12 este egal cu ...

Rezolvare

Ne amintim proprietatea fundamentală a proporţiilor: produsul extremilor este egal cu produsul mezilor, adică:

Deci xy12 este egal cu 1.

I. 3. Produsul numerelor întregi din intervalul este egal cu ... .

Rezolvare

Produsul dintre orice număr şi zero este egal cu zero; deoarece intervalul conţine numărul zero, rezultă că produsul numerelor din acest interval este egal cu zero.

I. 4. Lungimea unui cerc este egală cu 100 cm. Raza acestui cerc este egală cu ... cm.

Rezolvare

Formula pentru lungimea cercului este:

În această formulă, folosim datele din problema noastră şi obţinem:

Am obţinut că raza cercului are lungimea de 50 cm.

I. 5. În Figura 1 este reprezentat un cub ABCDA'B'C'D', cu AB = 6 cm. Perimetrul triunghiului ACD' este egal cu ... cm.

Rezolvare

Cubul are 6 feţe, toate pătrate egale. Ştim lungimea muchiei cubului AB = 6 cm, deci lungimile laturilor pătratelor care formează feţele cubului sunt egale cu 6 cm.

Noi trebuie să afăm perimetrul triunghiului ACD', adică trebuie să calculăm suma segmentelor AC, AD' şi CD'. Observăm că aceste segmente sunt diagonale pentru pătratele ABCD, ADD'A' şi DCC'D'. Aceste pătrate sunt egale, deci şi diagonalele lor au lungimi egale. Rezultă că AC = AD' = AC'.

Ştim că într-un pătrat cu latura de lungime , diagonala are lungimea . Pătratele ABCD, ADD'A' şi DCC'D' au laturile egale cu 6 cm, rezultă că lungimile diagonalelor lor sunt egale cu 6 cm, adică

AC = AD' = AC' = 6 cm

Diagonala pătratului

Acum putem calcula perimetrul triunghiului ACD', adunând lungimile segmentelor AC, AD' şi CD':

I. 6. În diagrama de mai jos sunt prezentate valorile temperaturilor înregistrate la o staţie meteo, din două în două ore, pe parcursul unei zile, între ora 7 şi ora 19.

Conform diagramei, diferenţa dintre temperatura înregistrată la ora 17 şi temperatura înregistrată la ora 7 este egală cu ... .

Rezolvare

Temperatura înregistrată la ora 17 este de 26°C, iar cea înregistrată la ora 7 este de 14°C.

Rezultă că diferenţa de temperatură înregistrată între cele două momente este de 12°C:

26 − 14 = 12

Subiectul II

II. 1. Desenaţi, pe foaia de examen, o piramidă triunghiulară regulată cu vârful V şi baza triunghiul ABC.

Rezolvare

II. 2. Determinaţi numerele întregi x pentru care numărul 13x − 7 este natural.

Rezolvare

Pentru ca fracţia 13x − 7 să fie număr natural, este nevoie ca numitorul ei să fie divizor pozitiv al numărătorului 13. Divizorii pozitivi ai numărului 13 sunt 1 şi 13, deci avem două variante:

Am obţinut că x = 8 sau x = 20.

II. 3. Suma a două numere naturale este 280. Determinaţi cele două numere, ştiind că o treime din primul număr este egală cu o pătrime din al doilea număr.

Rezolvare

Notăm cu a primul număr şi cu b cel de-al doilea număr.

Ştim că suma celor două două numere este 280, deci vom scrie

Mai ştim că o treime din primul număr este egală cu o pătrime din cel de-al doilea număr. O treime din primul număr înseamnă 13a, adică a3. O pătrime din cel de-al doilea număr înseamnă 14b, adică b4. Rezultă că a3 = b4 .

Avem două rapoarte egale. Ştim că într-un şir de rapoarte egale, suma numărătorilor supra suma numitorilor ne dă un raport egal cu fiecare dintre rapoartele date. Rezultă că

Am obţinut că primul număr este 120, iar cel de-al doilea număr este 160.

II. 4. a) Arătaţi că

b) Calculaţi media geometrică a numerelor şi .

Rezolvare

a) Trebuie să calculăm suma a două fracţii care au numitori diferiţi; observăm că la numitori avem radicali. Pentru a "scăpa" de radicali, amplificăm cele două fracţii astfel (spunem că raţionalizăm numitorii):

Vom obţine:

b) Media geometrică a numerelor a şi b este egală cu radical din produsul acestor numere:

Calculăm mai întâi produsul numerelor a şi b. Observăm că putem folosi formula diferenţei a două pătrate:

Vom avea

Rezultă că media geometrică a numerelor a şi b este 2:

II. 5. Se consideră expresia , unde x şi y sunt numere reale. Ştiind că x + y = 5, arătaţi că E = 16.

Rezolvare

Observăm că avem x2 + y2 − 2xy = (x − y)2. Nu ne ajută cu nimic să folosim această formulă, pentru că ea ne conduce la diferenţa x − y; noi avem nevoie să scriem expresia E în funcţie de suma x + y.

Aducem expresia E la o formă care să depindă de x + y.

Vom avea:

Astfel am arătat că E = 16.

Subiectul III

III. 1. În Figura 2 este reprezentat un triunghi dreptunghic ABC cu m(BAC) = 90°, AB = 9 cm şi AC = 12 cm. Punctele M şi N aparţin laturii BC, punctul Q aparţine laturii AB şi punctul P aparţine laturii AC, astfel încât BM = MN = NC = MQ = NP.

a) Arătaţi că perimetrul triunghiului ABC este egal cu 36 cm.

b) Arătaţi că aria triunghiului PMC este egală cu 24 cm2.

c) Demonstraţi că patrulaterul MNPQ este romb.

Rezolvare

a) Perimetrul triunghiului ABC este egal cu suma lungimilor laturilor sale, adică

Ştim că AB = 9 cm şi AC = 12 cm. Trebuie să aflăm lungimea laturii BC. Observăm că BC este ipotenuză în triunghiul dreptunghic ABC; ştim lungimea catetelor triunghiului, deci putem aplica teorema lui Pitagora pentru a afla lungimea ipotenuzei BC:

Acum ştim lungimile tututror laturilor triunghiului ABC: AB = 9 cm, AC = 12 cm şi BC = 15 cm. Calculăm perimetrul lui:

Am arătat că perimetrul triunghiului ABC este egal cu 36 cm.

b) Privim cu atenţie triunghiul PMC. În ipoteză ni se spune că MN = NC = NP. Asta înseamnă că NP este mediană în triunghiul PMC, pentru latura MC; mai observăm că lungimea medianei NP este egală cu jumătate din lungimea laturii MC pe care o înjumătăţeşte. Rezultă că triunghiul PMC este dreptunghic în P, pentru că ne amintim că: dacă într-un triunghi lungimea medianei unei laturi este egală cu jumătate din lungimea acestei laturi, atunci triunghiul este dreptunghic, cu unghiul drept în vârful din care porneşte mediana respectivă.

Aria unui triunghi dreptunghic este egală cu semiprodusul catetelor sale, deci aria triunghiului PMC este egală cu jumătate din produsul catetelor PM şi PC:

Trebuie să aflăm lungimea catetelor PM şi PC.

Avem două triunghiuri dreptunghice, ABC şi PMC. Segmentele AB şi PM sunt perpendiculare pe AC, deci AB este paralel cu PM:

Ne amintim teorema fundamentală a asemănării: O paralelă dusă la una dintre laturile unui triunghi, formează cu celelalte două laturi un triunghi asemenea cu cel dat. Rezultă că triunghiurile ABC şi PMC sunt asemenea (avem grijă la ordinea scrierii vârfurilor triunghiurilor!); vom avea:

Ştim că AB = 9 cm, AC = 12 cm şi BC = 15 cm. Mai ştim că

Rezultă că MC = 10 cm:

În relaţia înlocuim segmentele AB, AC, BC şi MC cu lungimile lor şi obţinem:

Am aflat lungimile segmentelor PM şi PC, deci putem calcula aria triunghiului dreptunghic PMC:

Am obţinut că aria triunghiului PMC este egală cu 24 cm2.

c) Pentru a arăta că un patrulater este romb, putem alege dintre mai multe metode:

arătăm că e un paralelogram cu două laturi consecutive congruente;

sau

arătăm că are toate laturile congruente;

sau

arătăm că diagonalele sale sunt perpendiculare şi se înjumătăţesc;

sau

arătăm că este un paralelogram în care diagonalele sunt şi bisectoare pentru unghiurile din care pornesc;

sau

arătăm că este un paralelogram în care diagonalele sunt perpendiculare.

Din ipoteză ştim că:

Avem deja desenată diagonala PM a patrulaterului MNPQ; construim şi diagonala QN, pentru a avea o imagine mai clară a lui. Observăm că triunghiul BQN este dreptunghic în Q, pentru că mediana QM este egală cu jumătate din latura BN care îi corespunde ei (la fel am arătat la subpunctul b) că triunghiul PMC este dreptunghic).

Cum triunghiul BQN este dreptunghic în Q, rezultă că NQ este perpendicular pe AB. Dar şi AC este perpendicular pe AB, deci NQ este paralel cu AC:

La subpunctul b) am arătat că AB este paralel cu PM:

Avem deci două segmente perpendiculare, AB şi AC (triunghiul ABC este dreptunghic în A) şi două segmente NQ şi PM paralele cu AB, respectiv AC. Rezultă că NQ şi PM sunt perpendiculare:

Am arătat că diagonalele patrulaterului MNPQ sunt perpendiculare. Dacă ele se înjumătăţesc (adică au acelaşi mijloc sau mai putem spune că se taie în părţi congruente), atunci MNPQ este romb. Să cercetăm dacă au sau nu acelaşi mijloc.

Triunghiul QMN este isoscel pentru că MQ = MN; cum PM este perpendicular pe baza NQ şi porneşte din vârful M al acestui triunghi, rezultă că punctul în care se intersectează PM şi NQ este mijlocul bazei NQ (notăm intersecţia segmentelor PM şi NQ cu O). Deci punctul O este mijlocul segmentului NQ.

Să vedem dacă punctul O este şi mijlocul segmentului PM. Triunghiul PMN este isoscel pentru că MN = PN. Cum NQ porneşte din vârful N al acestui triunghi şi este perpendicular pe baza PM, rezultă că punctul O în care se intersectează PM şi NQ este mijlocul bazei PM.

Am arătat că PM şi NQ au acelaşi mijloc, punctul O; deoarece ele sunt perpendiculare şi sunt diagonale ale patrulaterului MNPQ, rezultă că acesta este romb.

III. 2. În Figura 3 este reprezentat un pătrat ABCD cu AB = 4 cm. Pe planul pătratului ABCD se construiesc perpendicularele AE şi CF astfel încât şi

a) Arătaţi că .

b) Arătaţi că aria triunghiului FBD este egală cu .

c) Demonstraţi că unghiul dintre planele (EBD) şi (FBD) este de 75°.

Rezolvare

a) Segmentul AC este diagonală în pătratul ABCD. El formează triunghiul dreptunghic isoscel ABC împreună cu AB şi BC (dreptunghic, pentru că măsura unghiului ABC este de 90° - ABCD este pătrat; isoscel, pentru că laturile pătratului au lungimi egale). Aplicăm teorema lui Pitagora pentru a afla lungimea lui AC (ştim că AB = BC = 4 cm, fiind laturi ale pătratului ABCD):

b) Aria unui triunghi este egală cu jumătate din produsul dintre baza sa (care poate fi orice latură a lui) şi înălţimea corespunzătoare acesteia. Pentru a putea calcula aria triunghiului FBD, trebuie să identificăm o înălţime a acestuia.

Să vedem ce ştim deja:

ABCD este pătrat, deci AB = BC = CD = AD şi măsurile unghiurilor ABC, BCD, CDA şi DAB sunt egale cu 90°;

AC şi BD sunt diagonalele pătratului ABCD, deci AC = BD; ele se înjumătăţesc (notăm cu O mijlocul lor) şi sunt perpendiculare;

CF şi AE sunt perpendiculare pe planul pătratului ABCD, adică CF şi AE sunt perpendiculare pe orice dreaptă din planul (ABCD).

Rezultă că:

triunghiurile FBC şi FDC sunt dreptunghice (CF este perpendiculară pe planul (ABCD), deci şi pe segmentele BC şi CD incluse în (ABCD)) şi congruente (au catetele congruente: CF = CF catetă comună şi BC = CD laturi ale pătratului ABCD);

FB = FD, deoarece triunghiurile FBC şi FDC sunt congruente;

triunghiul FBD este isoscel, pentru că FB = FD.

Am descoperit că triunghiul FBD este isoscel, cu baza BD şi vârful F. Ştim că punctul O (punctul în care se intersectează diagonalele AC şi BD ale pătratului ABCD) este mijlocul lui BD. Rezultă că FO este mediană în triunghiul FBD isoscel. Într-un triunghi isoscel, mediana care porneşte din vârful acestuia este şi înălţime şi bisectoare. Rezultă că FO este înălţime pentru baza BD în triunghiul isoscel FBD.

Alt mod de a arăta că FO este perpendicular pe BD

Afişează

Rezultă că aria triunghiului FBD este egală cu jumătate din produsul dintre baza BD şi înălţimea FO:

Lungimea bazei BD o ştim, pentru că . Trebuie să aflăm lungimea înălţimii FO.

Triunghiul FCO este dreptunghic în C pentru că CF este perpendiculară pe planul (ABCD), deci CF este perpendiculară şi pe CO (CO este inclusă în planul (ABCD)). Ştim că lungimea catetei CF este egală cu , iar lungimea catetei CO este egală cu jumătate din lungimea lui AC, adică este egală cu 2 = . Aplicăm teorema lui Pitagora pentru a afla lungimea ipotenuzei FO:

Acum putem calcula aria triunghiului FBD:

c) Trebuie să identificăm unghiul dintre planele (EBD) şi (FBD); apoi îi vom calcula măsura. Aceste plane au comună dreapta determinată de punctele B şi D. Ne amintim o teoremă:

Teoremă

Fie α şi β două plane care se intersectează după dreapta d. Să alegem un punct P∈d şi să ducem dreptele a⊂α, b⊂β, perpendiculare în P pe d. Atunci unghiul dintre planele α şi β este congruent cu unghiul dintre dreptele a şi b.

Pe segmentul BD comun planelor (EBD) şi (FBD) trebuie să alegem un punct şi să construim două perpendiculare în acest punct pe BD, prima perpendiculară să fie inclusă în planul (EBD), iar cea de-a doua să fie inclusă în planul (FBD). Am arătat deja la subpunctul b) că FO este perpendicular pe BD în punctul O, FO este inclusă în planul (FBD), iar punctul O aparţine segmentului BD, comun planelor (EBD) şi (FBD). Pentru a putea aplica teorema de mai sus, rămâne să identificăm în planul (EBD) o dreaptă (segment) perpendicular în O pe BD.

Din ipoteză ştim că AE este perpendicular pe planul (ABCD); AO şi BD sunt incluse în planul (ABCD) şi AO perpendicular pe BD (AC şi BD sunt perpendiculare pentru că sunt diagonalele pătratului ABCD), rezultă că EO este perpendicular pe BD (conform teoremei celor trei perpendiculare):

Am arătat că FO şi EO sunt perpendiculare pe BD în O, BD este comun planelor (EBD) şi (FBD, iar FO este înclusă în (FBD), EO este inclusă în (EBD). Rezultă că măsura unghiului dintre planele (EBD) şi (FBD) este egală cu măsura unghiului determinat de FO şi EO, adică este egală cu măsura unghiului EOF:

Trebuie să calculăm măsura unghiului EOF.

Unghiurile AOE, EOF şi COF, împreună, formează unghiul AOC, a cărui măsură este de 180° (punctele A, O şi C sunt coliniare, se află pe diagonala AC a pătratului ABCD).

Rezultă că

Pentru a putea calcula măsura unghiului EOF, trebuie să calculăm măsurile unghiurilor AOE şi COF.

Încadrăm unghiul AOE în triunghiul dreptunghic AOE (este dreptunghic pentru că AE este perpendicular pe planul (ABCD), deci şi pe AO care este inclus în acest plan). În acest triunghi ştim lungimile catetelor:

Folosim funcţiile trigonometrice în triunghiul dreptunghic AOE. Tangenta unghiului AOE este egală cu raportul dintre cateta opusă şi cateta alăturată, adică raportul dintre AE şi AO:

Tangenta unghiului AOE este , rezultă că măsura unghiului AOE este egală cu 60°.

Alt mod de a calcula măsura unghiului AOE

Afişează

Pentru a calcula măsura unghiului COF, îl încadrăm în triunghiul dreptunghic isoscel COF:

Rezultă că măsura unghiului COF este egală cu 45°:

Am aflat că măsura unghiului AOE este de 60° şi că măsura unghiului COF este de 45°. Înlocuim în relaţia şi calculăm măsura unghiului EOF:

Am aflat că măsura unghiului EOF este egală cu 75°; rezultă că măsura unghiului dintre planele (EBD) şi (FBD) este egală cu 75°.

Data: 31 martie 2017

În acest articol