Model subiecte evaluarea naţională clasa a VIII-a, 2017

Model subiecte Evaluarea Naţională 2017, clasa a VIII-a (site-ul Ministerului Educaţiei Naţionale)

Barem

Subiectul I

I. 1. Rezultatul calculului 10 + (3 + 7):10 este egal cu ... .

Rezolvare

Pentru a rezolva exerciţiul trebuie să ne amintim ordinea operaţiilor:

I. 2. Şase caiete de acelaşi fel costă în total 18 lei. Trei dintre aceste caiete costă în total ... lei.

Rezolvare

Cât costă un caiet?

Ştim că 6 caiete costă 18 lei, deci putem afla cât costă un caiet:

18 lei : 6 caiete = 3 lei/caiet

Cât costă trei caiete?

Am aflat că un caiet costă 3 lei. Atunci trei caiete vor costa de trei ori mai mult, adică

3 caiete x 3 lei/caiet = 9 lei

Rezultă că trei caiete costă 9 lei.

Alte două moduri de rezolvare - afişează

I. 3. Cel mai mare număr natural de două cifre este egal cu ... .

Rezolvare

Numărul căutat are două cifre, adică cifra zecilor şi cifra unităţilor. Acestea trebuie să fie cele mai mari cifre; cea mai mare cifră este 9. Deci

numărul căutat este 99

I. 4. În triunghiul echilateral ABC, măsura unghiului ABC este egală cu ...° .

Rezolvare

Triunghiul echilateral are toate unghiurile egale cu 60°. Deci

măsura unghiului ABC este egală cu 60°

I. 5. În Figura 1 este reprezentat un tetraedru regulat ABCD, cu BC = 5 cm. Suma lungimilor tuturor muchiilor tetraedrului ABCD este egală cu ... cm.

Rezolvare

Tedraedrul are şase muchii. Deoarece ABCD este tetraedru regulat, rezultă că toate muchiile lui au lungimi egale:

AB = AC = AD = BC = CD = BD

Ştim că muchia BC are 5 cm, deci toate muchiile au câte 5 cm. Rezultă că suma lungimilor celor şase muchii ale tetraedrului regulat ABCD este

6 × 5 cm = 30 cm

I. 6. În diagrama de mai jos este prezentată repartiţia celor 30 de elevi ai unei clase a VIII-a, după opţiunile lor referitoare la continuarea studiilor.

Conform diagramei, numărul elevilor din clasă care au optat pentru filiera teoretică este egal cu ... .

Rezolvare

Numărul elevilor care au optat pentru filiera teoretică este exprimat prin procente - adică 50% din numărul total al elevilor. Rezultă că

50% × 30 elevi = 15 elevi au optat pentru filiera teoretică

Subiectul II

II. 1. Desenaţi, pe foaia de examen, un cub ABCDA'B'C'D' .

Rezolvare

Am desenat două pătrate ABB'A' şi DCC'D' egale (au lungimile laturilor egale), cel de-al doilea pătrat puţin mai sus şi la dreapta faţă de primul pătrat. Am unit vârfurile lor, astfel: A' cu D', B' cu C' şi B cu C (cu linie continuă, pentru că sunt muchii care se văd) şi A cu D, C cu D şi D cu D' (cu linie întreruptă, pentru că aceste muchii sunt în spate şi nu se văd).

II. 2. Calculaţi media geometrică a numerelor a = 3100 : 398 şi b = 3 · 2 − 2.

Rezolvare

Calculăm numerele a şi b.

a = 3100 : 398 = 3100 − 98 = 32 = 9

b = 3 · 2 − 2 = 6 − 2 = 4 = 22

Media geometrică a numerelor a şi b este

II. 3. Numerele x şi y sunt direct proporţionale cu numerele 5 şi 4. Determinaţi numerele x şi y, ştiind că suma lor este egală cu 54.

Rezolvare

Numerele x şi y sunt direct proporţionale cu numerele 5 şi 4, deci

x5 = y4

Dacă avem un şir de rapoarte egale şi adunăm numărătorii între ei şi numitorii între ei, atunci vom obţine un raport egal cu fiecare dintre rapoartele date. Rezultă că vom avea:

x 5 = y 4 = x + y5 + 4

Ştim că x + y = 54. Asta înseamnă că

x 5 = y 4 = 549 = 6

Deducem că

x = 5 · 6 = 30

şi

y = 4 · 6 = 24

Verificăm calculele pe care le-am făcut: 30 + 24 = 54 şi 305 = 244 = 6.

Rezultă că numerele care îndeplinesc condiţiile din problemă sunt

x = 30 şi y = 24

II. 4. Se consideră funcţia f : R → R, f(x) = 2x − 4.

a) Reprezentaţi grafic funcţia f într-un sistem de coordonate xOy.

b) În triunghiul determinat de graficul funcţiei f şi axele sistemului de coordonate xOy, calculaţi lungimea medianei corespunzătoare ipotenuzei.

Rezolvare

a) Stabilim punctele de intersecţie ale graficului funcţiei cu axele Ox şi Oy.

Pentru a afla punctul în care graficul funcţiei f intersectează axa Ox, rezolvăm ecuaţia f(x) = 0:

f(x) = 0 este echivalent cu 2x − 4 = 0, adică x = 2

Deci punctul A(2, 0) este punctul de intersecţie al graficului funcţiei f cu axa Ox.

Intersecţia cu axa ordonatelor Oy o aflăm calculând f(0), adică 2 · 0 − 4 = −4. Deci

f(0) = −4,

rezultă că punctul B(0, – 4) este punctul de intersecţie al graficului funcţiei f cu axa Oy.

Reprezentăm punctele A(2, 0) şi B(0, – 4) în sistemul de coordonate xOy.

Trasăm dreapta care trece prin punctele A şi B. Aceasta este graficul funcţiei f.

b) Triughiul OAB este determinat de graficul funcţiei f şi axele sistemului de coordonate xOy, unde O(0, 0), A(0, 2) şi B(0, – 4). Rezultă că OA = 2, iar OB = 4. Triunghiul OAB este dreptunghic în O, pentru că OA este perpendiculară pe OB (axele Ox şi Oy sunt perpendiculare).

Într-un triunghi dreptunghic, lungimea medianei corespunzătoare ipotenuzei este egală cu jumătate din lungimea ipotenuzei tringhiului. Fie E mijlocul lui AB şi OE mediana corespunzătoare ipotenuzei în triunghiul OAB; deci OE este egală cu jumătate din lungimea ipotenuzei AB (OE = AB2).

Aplicăm teorema lui Pitagora în triunghiul OAB dreptunghic şi aflăm lungimea ipotenuzei AB:

Lungimea medianei OE fiind jumătate din lungimea ipotenuzei AB, rezultă că

II. 5. Se consideră expresia

unde x este număr real, x ≠ −3 şi x ≠ 3. Arătaţi că E(x) = 1, pentru orice x număr real, x ≠ −3 şi x ≠ 3.

Rezolvare

Să privim cu atenţie expresia E(x). Avem produsul a două fracţii, dintre care cea de-a doua este deja la forma cea mai simplă; în schimb, prima fracţie permite să facem calcule astfel încât să o aducem la o forma mai simplă. Trebuie să arătăm că E(x) = 1; acest lucru e adevărat dacă prima fracţie este egală cu inversa celei de-a doua, astfel încât să putem să simplificăm numărătorii şi numitorii celor două fracţii.

Notăm x − 2 = a şi înlocuim în (x − 2)2 − 2(x − 2) + 1. Folosind formula de calcul prescurtat (a − b)2 = a2 − 2ab + b2, obţinem

a2 − 2a + 1 = (a − 1)2

Revenim la notaţia iniţială şi înlocuim pe a cu x − 2; rezultă că

(x − 2)2 − 2(x − 2) + 1 = (x − 2 − 1)2 = (x − 3)2

Folosim formula diferenţei a două pătrate a2 − b2 = (a + b)(a − b) şi obţinem:

x2 − 9 = x2 − 32 = (x + 3)(x − 3)

După aceste calcule, obţinem că

Observăm că avem numărătorul egal cu numitorul, deci putem simplifica şi obţinem E(x) = 1:

Subiectul III

III. 1. Figura 2 este schiţa unui teren în formă de trapez dreptunghic ABCD, cu ABCD, ADAB, AB = 100 m, CD = 60 m şi AD = 40 m. Segmentul CE, unde E ∈ (AB), împarte suprafaţa trapezului ABCD în două suprafeţe cu arii egale.

a) Arătaţi că aria trapezului ABCD este egală cu 3200 m2.

b) Calculaţi măsura unghiului BCD.

c) Demonstraţi că triunghiul CEB este echilateral.

Rezolvare

a) Aria trapezului este

Bazele trapezului dreptunghic ABCD sunt AB şi CD, iar înălţimea este AD (pentru că AD ⊥ AB). Rezultă că aria trapezului ABCD este

Am aflat că aria trapezului ABCD este egală cu 3200 m2.

b) Să calculăm măsura unghiului BCD. Fie F ∈ AB astfel încât CF∥AD. Rezultă că patrulaterul AFCD este dreptunghi, pentru că are laturile opuse paralele şi congruente (adică au lungimi egale). Deci măsura unghiului BCD este egală cu suma măsurilor unghiurilor BCF şi FCD. Unghiul FCD este unghi drept (AFCD este dreptunghi), deci are 90°. Rămâne să aflăm măsura unghiului BCF.

Deoarece AFCD este dreptunghi, înseamnă că AD = CF = 40 m, iar CD = AF = 60 m.

Ştim că AB = 100 m şi AF = 60 m; dar AB = AF + FB. Deci FB = 100 m − 60 m = 40 m.

În triunghiul dreptunghic BCF cunoaştem lungimile catetelor: FB = 40 m şi CF = 40 m.

Putem afla măsura unghiului BCF în două moduri:

  1. folosim funcţiile trigonometrice în triunghiul dreptunghic BCF:

    cotangenta unghiului BCF este egală cu raportul catetelor CF şi FB (raportul dintre lungimea catetei alăturate şi lungimea catetei opuse)

    deoarece cotangenta unghiului BCF este egală cu , rezultă că măsura unghiului BCF este de 30°.

    SAU
  2. folosim teorema lui Pitagora în triunghiul dreptunghic BCF:

    ştim lungimile catetelor FB = 40 m şi CF = 40 m, deci putem afla lungimea ipotenuzei BC cu ajutorul teoremei lui Pitagora

    observăm că lungimea catetei FB este jumătate din lungimea ipotenuzei BC; rezultă că măsura unghiului BCF este de 30° (într-un triunghi dreptunghic, lungimea catetei care se opune unui unghi de 30° este jumătate din lungimea ipotenuzei triunghiului; reciproc, dacă lungimea unei catete este egală cu jumătate din lungimea ipotenuzei, atunci unghiul care se opune catetei respective are măsura de 30°)

Am găsit că măsura unghiului BCF este de 30°. Măsura unghiului BCD este suma măsurilor unghiurilor BCF şi FCD, adică 120°:

c) Trebuie să arătăm că triunghiul CEB este echilateral. Pentru aceasta, mai întâi ne amintim că triunghiul echilateral are toate laturile congruente (au lungimile egale) şi toate unghiurile congruente (au măsurile egale) şi fiecare unghi are măsura de 60°.

Recapitulăm ce ştim despre triunghiul CEB, despre care trebuie să arătăm că este echilateral:

  1. are aria egală cu jumătate din aria trapezului ABCD, adică este de 1600 m2
  2. CF este înălţime în triunghiul CEB şi are lungimea de 40 m;
  3. latura BC are lungimea de 80 m;
  4. măsura unghiului FBC este de 60° (triunghiul BCF este dreptunghic şi are un unghi de 30° şi mai ştim că suma măsurilor unghiurilor unui triunghi este de 180°; rezultă că unghiul FBC, cel de-al treilea unghi al triunghiului BCF, are măsura de 180° − 90° − 30° = 60°).

Ştim aria triunghiului CEB şi lungimea înălţimii CF; putem afla lungimea laturii EB corespunzătoare înălţimii CF:

Am aflat că triunghiul CEB are două laturi congruente: EB = BC = 80 m, rezultă că este triunghi isoscel. Mai ştim că are şi un unghi de 60° (unghiul FBC), deci triunghiul CEB este echilateral (un triunghi isoscel care are un unghi de 60° este echilateral).

III. 2. În Figura 3 este reprezentat un con circular drept, cu secţiunea axială VAB, raza bazei OA = 3 cm şi înălţimea VO = 4 cm.

a) Arătaţi că aria bazei conului este egală cu 9 cm2.

b) Calculaţi aria laterală a conului.

c) Pe cercul de centru O şi rază OA se consideră un punct C, astfel încât m( BOC) = 90°. Demonstraţi că distanţa de la punctul O la planul (VBC) este egală cu 1241 cm.

Rezolvare

a) Baza conului este cercul cu centrul în punctul O şi de rază R = OA = 3 cm. Deci aria bazei conului este aria acestui cerc:

b) Aria laterală a conului o calculăm cu formula:

Raza bazei conului este OA = 3 cm; generatoarea conului este VB, a cărei lungime trebuie s-o calculăm.

Triunghiul VOB este dreptunghic, cu VO⊥OB. Ştim lungimile catetelor VO = 4 cm şi OB = 3 cm, deci vom aplica teorema lui Pitagora pentru a afla lungimea ipotenuzei VB:

Calculăm aria laterală a conului şi obţinem că este 15 cm2:

c) Fie C un punct pe cercul de centru O şi rază OA astfel încât m( BOC) = 90°.

Fie N un punct pe planul (VBC) astfel încât ON să fie perpendiculara dusă din punctul O pe acest plan: ON⊥(VBC), unde N∈(VBC). Rezultă că lungimea segmentului ON este distanţa de la punctul O la planul (VBC).

Problema ne cere să aflăm lungimea segmentului ON.

Deoarece ON este perpendicular pe planul (VBC), rezultă că ON este perpendicular pe orice dreaptă inclusă în acest plan; cum BC⊂(VBC), rezultă că segmentele ON şi BC sunt perpendiculare:

ON⊥BC

Mai ştim că VO este perpendicular pe planul cercului cu centrul în O şi de rază OA (VO este înălţime în conul cu secţiunea axială VBC şi cercul C(O, OA) este baza lui), deci VO este perpendicular pe orice dreaptă inclusă în planul acestui cerc. Înseamnă că VO este perpendicular pe BC, pentru că BC se află în planul cercului C(O, OA):

VO⊥BC

Am descoperit că BC este perpendicular pe VO şi pe ON, adică BC este perpendicular pe două drepte concurente (VO şi ON sunt concurente, adică au un punct comun − punctul O). Deci BC este perpendicular pe planul determinat de VO şi de ON, adică BC este perpendicular pe planul (VON):

BC⊥(VON)

Rezultă că BC este perpendicular pe VN pentru că VN⊂(VON):

BC⊥VN

Rezultă că VN este înălţime în triunghiul VBC. Triunghiul VBC este isoscel pentru că are două laturi congruente (au lungimi egale): VB = VC (VB şi VC sunt generatoare pentru conul din problema noastră). Înseamnă că VN este înălţime în triunghiul isoscel VBC, cu VB = VC, deci VN se află şi pe mediana bazei BC, adică pe mediatoarea acesteia. Notăm cu M mijlocul bazei BC:

{M} = BC ∩ VN

Am aflat poziţia segmentului ON, unde punctul N se află pe mediatoarea bazei BC a triunghiului isoscel VBC; trebuie să aflăm şi lungimea lui.

Observăm că ON este înălţime în triunghiul VOM dreptunghic (VO este perpendicular pe OM, pentru că VO este perpendicular pe planul cercului C(O, OA) şi OM este inclusă în acest plan). Aplicând teorema înălţimii şi teorema catetei în triunghiul dreptunghic VOM, vom afla lungimea înălţimii ON.

Ştim că VO = 4 cm (din ipoteză); trebuie să aflăm lungimea catetei OM şi a ipotenuzei VM în triunghiul dreptunghic VOM.

Să calculăm lungimea segmentului OM.

Triunghiul BOC este dreptunghic isoscel:

dreptunghic, pentru că ni se spune în ipoteză că m( BOC) = 90°;

isoscel, pentru că BO şi OC sunt razele cercului cu centrul în punctul O şi de rază OA (OB = OC = 3 cm).

Aplicăm teorema lui Pitagora în triunghiul BOC dreptunghic isoscel şi aflăm că lungimea ipotenuzei BC este 3 cm:

Punctul M este mijlocul segmentului BC, deci OM este mediană în triunghiul BOC dreptunghic, cu BC ipotenuză.

Ştim că într-un triunghi dreptunghic, lungimea medianei corespunzătoare ipotenuzei este egală cu jumătate din lungimea ipotenuzei. Rezultă că lungimea lui OM este egală cu jumătate din lungimea ipotenuzei BC:

Să calculăm lungimea segmentului VM.

În triunghiul dreptunghic VMB ştim:

lungimea catetei MB (MB = MC = BC2 = 32);

lungimea ipotenuzei VB = 5 cm (am calculat la subpunctul a) lungimea generatoarei conului VB = 5 cm).

Aplicăm teorema lui Pitagora în triunghiul dreptunghic VMB şi aflăm lungimea catetei VM:

Acum putem calcula distanţa de la punctul O la planul (VBC):

Data: 15 martie 2017

În acest articol