Ce rezolvăm azi?

Problema zilei (martie 2018)

Pentru arhiva „Problema zilei”, click aici

Fie BAC un unghi propriu și D un punct din interiorul lui. Să arătăm că punctul D aparține bisectoarei unghiului BAC dacă și numai dacă distanțele de la punctul D la laturile AB și AC sunt egale.

Rezolvarea este mai jos pe pagină (click aici).

***

***

Rezolvare

Unghiul propriu este unghiul care nu este nici nul, nici alungit (unghiul nul are măsura de 0°, iar unghiul alungit are măsura de 180°).

În problemă avem cuvintele „dacă și numai dacă”. Asta înseamnă că trebuie să facem două demonstrații: să arătăm că dacă punctul D aparține bisectoarei unghiului BAC, atunci el este egal depărtat de laturile AB și AC (prima demonstrație) și dacă distanțele de la punctul D la laturile AB și AC sunt egale, atunci punctul D se află pe bisectoarea unghiului BAC (a doua demonstrație). Este vorba de o propoziție directă și reciproca ei. În cazul reciprocei, ipoteza este formată din concluzia propoziției directe date, iar concluzia este formată ipoteza propoziției directe.

În problemă avem cuvintele „dacă și numai dacă”. Asta înseamnă că trebuie să facem două demonstrații: să arătăm că dacă punctul D aparține bisectoarei unghiului BAC, atunci el este egal depărtat de laturile AB și AC (prima demonstrație) și dacă distanțele de la punctul D la laturile AB și AC sunt egale, atunci punctul D se află pe bisectoarea unghiului BAC (a doua demonstrație).

Distanța de la un punct la o dreaptă înseamnă distanța dintre punctul considerat și piciorul perpendicularei din acel punct pe acea dreaptă. Ducem perpendiculara DE din punctul D pe latura AB a unghiului BAC, E aparține laturii AB. Lungimea segmentului DE este distanța de la punctul D la AB (punctul E este piciorul perpendicularei din D pe AB).

Distanța de la un punct la o dreaptă înseamnă distanța dintre punctul considerat și piciorul perpendicularei din acel punct pe acea dreaptă. Ducem perpendiculara DE din punctul D pe latura AB a unghiului BAC, E aparține laturii AB. Lungimea segmentului DE este distanța de la punctul D la AB (punctul E este piciorul perpendicularei din D pe AB).

Ducem perpendiculara DF pe latura AC a unghiului BAC, F aparține lui AC. Distanța de la D la AC este segmentul DF (F este piciorul perpendicularei din D pe AC).

Arătăm că dacă punctul D aparține bisectoarei unghiului BAC, atunci el este egal depărtat de laturile AB și AC. Adică arătăm că dacă punctul D aparține bisectoarei unghiului BAC, atunci DE și DF sunt congruente (au aceeași lungime).

Arătăm că dacă punctul D aparține bisectoarei unghiului BAC, atunci el este egal depărtat de laturile AB și AC. Adică arătăm că dacă punctul D aparține bisectoarei unghiului BAC, atunci DE și DF sunt congruente (au aceeași lungime).

Cum DE și DF sunt perpendiculare pe AB, respectiv AC, rezultă că triunghiurile AED și AFD sunt dreptunghice în E, respectiv F.

Știm din ipoteză că AD este bisectoarea unghiului BAC, deci unghiurile EAD și FAD sunt congruente (au aceeași măsură).

Înseamnă că triunghiurile dreptunghice AED și AFD sunt congruente (cazul ipotenuză-unghi - pentru că ipotenuza AD este comună celor două triunghiuri). Rezultă că DE și DF sunt congruente (au aceeași lungime), deci distanțele de la D la AB și AC sunt egale - punctul D este egal depărtat de AB și AC.

Arătăm că dacă punctul D aparține bisectoarei unghiului BAC, atunci el este egal depărtat de laturile AB și AC. Adică arătăm că dacă punctul D aparține bisectoarei unghiului BAC, atunci DE și DF sunt congruente (au aceeași lungime).

Arătăm că dacă punctul D aparține bisectoarei unghiului BAC, atunci el este egal depărtat de laturile AB și AC. Adică arătăm că dacă punctul D aparține bisectoarei unghiului BAC, atunci DE și DF sunt congruente (au aceeași lungime).

Arătăm că dacă distanțele DE și DF de la punctul D la laturile AB și AC ale unghiului BAC sunt egale, atunci AD este bisectoarea unghiului BAC.

Arătăm că dacă distanțele DE și DF de la punctul D la laturile AB și AC ale unghiului BAC sunt egale, atunci AD este bisectoarea unghiului BAC.

DE și DF sunt perpendiculare pe AB, respectiv AC, deci triunghiurile AED și AFD sunt dreptunghice în E, respectiv F; AD este ipotenuza comună celor două triunghiuri.

Cum DE și DF sunt congruente (au aceeași lungime - știm din ipoteză), rezultă că triunghiurile dreptunghice AED și AFD sunt congruente (cazul ipotenuză-catetă). Înseamnă că unghiurile EAD și FAD sunt congruente, deci AD este bisectoarea unghiului BAC.

Arătăm că dacă distanțele DE și DF de la punctul D la laturile AB și AC ale unghiului BAC sunt egale, atunci AD este bisectoarea unghiului BAC.

Arătăm că dacă distanțele DE și DF de la punctul D la laturile AB și AC ale unghiului BAC sunt egale, atunci AD este bisectoarea unghiului BAC.

Data: 8 martie 2018