Ce rezolvăm azi?

Problema zilei (martie 2018)

Pentru arhiva „Problema zilei”, click aici

Fie ABCD un romb cu latura de 12 cm și măsura unghiului ABC de 120°. Să se calculeze lungimile diagonalelor sale.

Rezolvarea este mai jos pe pagină (click aici).

***

***

Rezolvare

Desenăm rombul ABCD cu măsura unghiului ABC de 120°. Lungimea laturii AB este de 12 cm; cum rombul are toate laturile egale, rezultă că toate laturile au lungimea de 12 cm.

Desenăm rombul ABCD cu măsura unghiului ABC de 120°.

Ne amintim proprietățile rombului: laturile au aceeași lungime și sunt paralele două câte două, diagonalele sunt perpendiculare, se înjumătățesc și sunt bisectoare pentru unghiurile rombului, unghiurile opuse sunt congruente (au măsurile egale), iar unghiurile alăturate sunt suplementare (au suma măsurilor egală cu 180°).

Ne amintim proprietățile rombului: laturile au aceeași lungime și sunt paralele două câte două, diagonalele sunt perpendiculare, se înjumătățesc și sunt bisectoare pentru unghiurile rombului, unghiurile opuse sunt congruente (au măsurile egale), iar unghiurile alăturate sunt suplementare (au suma măsurilor egală cu 180°).

Măsura unghiului ABC este 120°, deci măsura unghiului DAB este 60° (unghiurile alăturate sunt suplementare, adică suma lor este 180°). Laturile rombului sunt egale, deci triunghiul DAB este isoscel, cu AD egal cu AB. Triunghiul isoscel care are un unghi cu măsura de 60° este triunghi echilateral. Rezultă că triunghiul DAB este echilateral, deci are toate laturile egale. Înseamnă că BD este egal cu AB. Rezultă că lungimea lui BD este de 12 cm.

Măsura unghiului ABC este 120°, deci măsura unghiului DAB este 60° (unghiurile alăturate sunt suplementare, adică suma lor este 180°). Laturile rombului sunt egale, deci triunghiul DAB este isoscel, cu AD egal cu AB. Triunghiul isoscel care are un unghi cu măsura de 60° este triunghi echilateral. Rezultă că triunghiul DAB este echilateral, deci are toate laturile egale. Înseamnă că BD este egal cu AB. Rezultă că lungimea lui BD este de 12 cm.

Notăm cu O punctul în care se intersectează (întâlnesc) diagonalele. Diagonalele rombului se înjumătățesc, deci lungimea lui BO este egală cu jumătate din lungimea lui BD, adică BO are lungimea de 6 cm.

Măsura unghiului ABC este 120°, deci măsura unghiului DAB este de 60° (unghiurile alăturate sunt suplementare, adică suma lor este 180°). Laturile rombului sunt egale, deci triunghiul DAB este isoscel, cu AD egal cu AB. Triunghiul isoscel care are un unghi de 60° este triunghi echilateral. Rezultă că triunghiul DAB este echilateral, deci are toate laturile egale. Înseamnă că BD este egal cu AB. Rezultă că lungimea lui BD este de 12 cm.

Notăm cu O punctul în care se intersectează (întâlnesc) diagonalele. Diagonalele rombului se înjumătățesc, deci lungimea lui BO este egală cu jumătate din lungimea lui BD, adică BO are lungimea de 6 cm.

Diagonalele rombului sunt perpendiculare, deci BD este perpendicular pe AC; rezultă că triunghiul AOB este dreptunghic în O. Aplicăm teorema lui Pitagora în triunghiul AOB (AB ipotenuză, AO și BO catete) și obținem că lungimea lui AO este 6√3 cm.

Diagonalele rombului sunt perpendiculare, deci BD este perpendicular pe AC; rezultă că triunghiul AOB este dreptunghic în O. Aplicăm teorema lui Pitagora în triunghiul AOB și obținem că lungimea lui AO este 6√3 cm.

Lungimea segmentului AO este egală cu jumătate din lungimea diagonalei AC; deci lungimea lui AC este egală cu 12√3 cm.

Lungimea segmentului AO este egală cu jumătate din lungimea diagonalei AC; deci lungimea lui AC este egală cu 12√3 cm.

Am obținut că diagonalele rombului ABCD au lungimile egale cu 12 cm și 12√3 cm.

Data: 3 martie 2018