Ce rezolvăm azi?

Problema zilei (martie 2018)

Pentru arhiva „Problema zilei”, click aici

Într-o piramidă patrulateră regulată VABCD știm că lungimea apotemei este de 12 cm și măsura unghiului pe care-l face aceasta cu planul bazei este de 60°. Să se calculeze aria laterală, aria totală și volumul piramidei.

Rezolvarea este mai jos pe pagină (click aici).

***

***

Rezolvare

Desenăm o piramidă patrulateră regulată (baza este un pătrat). Apotema piramidei regulate este înălțimea unei fețe laterale, adică perpendiculara din vârful piramidei pe o latură a bazei. Baza este un poligon regulat (pătrat), deci apotema va uni vârful piramidei cu mijlocul unei laturi a bazei.

Într-o piramidă patrulateră regulată VABCD știm că lungimea apotemei este de 12 cm și măsura unghiului pe care-l face aceasta cu planul bazei este de 60°. Să se calculeze aria laterală, aria totală și volumul piramidei.

Formulele de calcul pentru aria laterală, aria totală și volumul piramidei sunt:

Formulele de calcul pentru aria laterală, aria totală și volumul piramidei.

Pentru a putea calcula aria laterală, aria totală și volumul piramidei, avem nevoie să calculăm lungimea laturii pătratului de la baza piramidei și lungimea înălțimii piramidei. Lungimea apotemei piramidei o știm din ipoteză, este egală cu 12 cm.

Notăm cu M mijlocul laturii CD a bazei ABCD; rezultă că VM este perpendiculară pe CD (triunghiul VCD este isoscel, pentru că piramida este regulată, deci are fețele laterale triunghiuri isoscele; într-un triunghi isoscel, înălțimea corespunzătoare bazei este și mediană, bisectoare și mediatoare). VM este apotema piramidei; lungimea ei este egală cu 12 cm. Notăm cu O intersecția diagonalelor bazei ABCD (pătrat).

Notăm cu M mijlocul laturii CD a bazei ABCD; rezultă că VM este perpendiculară pe CD (triunghiul VCD este isoscel, pentru că piramida este regulată, deci are fețele laterale triunghiuri isoscele; într-un triunghi isoscel, înălțimea corespunzătoare bazei este și mediană, bisectoare și mediatoare). VM este apotema piramidei; lungimea ei este egală cu 12 cm. Notăm cu O intersecția diagonalelor bazei ABCD (pătrat).

Unghiul format de un segment cu un plan este unghiul format de segmentul respectiv cu proiecția lui pe plan. Proiecția unui segment pe un plan este tot un segment care se determină astfel: se duc perpendicularele din capetele segmentului pe planul respectiv; punctele în care aceste perpendiculare „înțeapă” planul determină proiecția segmentului pe acel plan.

Unghiul format de un segment cu un plan este unghiul format de segmentul respectiv cu proiecția lui pe plan. Proiecția unui segment pe un plan este tot un segment care se determină astfel: se duc perpendicularele din capetele segmentului pe planul respectiv; punctele în care aceste perpendiculare „înțeapă” planul determină proiecția segmentului pe acel plan.

Unghiul pe care-l face apotema VM a piramidei cu planul bazei (ABC) este unghiul VMO (proiecția punctului V pe planul bazei (ABC) este punctul O, pentru că VO este perpendicular pe planul bazei - piramida este regulată, iar punctul M aparține planului bazei). Rezultă că măsura unghiului VMO este egală cu 60°.

Unghiul pe care-l face apotema VM a piramidei cu planul bazei (ABC) este unghiul VMO (proiecția punctului V pe planul bazei (ABC) este punctul O, pentru că VO este perpendicular pe planul bazei - piramida este regulată, iar punctul M aparține planul bazei). Rezultă că măsura unghiului VMO este egală cu 60°

Triunghiul VOM este dreptunghic în O, pentru că VO este înălțimea piramidei. Măsura unghiului VMO este egală cu 60°, deci măsura unghiului OVM este egală cu 30°. Cateta OM se opune unghiului de 30°, iar VM este ipotenuză. Într-un triunghi dreptunghic, cateta care se opune unghiului de 30° are lungimea egală cu jumătate din lungimea ipotenuzei. Ipotenuza este VM de 12 cm, deci OM are lungimea egală cu 6 cm (12 împărțit la 2).

Triunghiul VOM este dreptunghic în O, pentru că VO este înălțimea piramidei. Măsura unghiului VMO este egală cu 60°, deci măsura unghiului OVM este egală cu 30°. Cateta OM se opune unghiului de 30°, iar VM este ipotenuză. Într-un triunghi dreptunghic, cateta care se opune unghiului de 30° are lungimea egală cu jumătate din lungimea ipotenuzei. Ipotenuza este VM de 12 cm, deci OM are lungimea egală cu 6 cm (12 împărțit la 2).

Calculăm lungimea laturii pătratului ABCD (baza piramidei VABCD). Punctul O este mijlocul diagonalelor AC și BD, iar punctul M este mijlocul lui CD; rezultă că OM este linie mijlocie în triunghiul BDC, deci OM este paralel cu BC și are lungimea egală cu jumătate din lungimea laturii BC. Înseamnă că lungimea laturii BC este egală cu 12 cm (6 înmulțit cu 2).

Punctul O este mijlocul diagonalelor AC și BD; rezultă că OM este linie mijlocie în triunghiul BCD, deci OM este paralel cu BC și are lungimea egală cu jumătate din lungimea laturii BC. Înseamnă că lungimea laturii BC este egală cu 12 cm (6 înmulțit cu 2).

Calculăm lungimea înălțimii piramidei VABCD. Aplicăm teorema lui Pitagora în triunghiul dreptunghic VOM și calculăm lungimea catetei VO, care este și înălțime pentru piramidă. Obținem că VO are lungimea egală cu 6√3 cm.

Aplicăm teorema lui Pitagora în triunghiul dreptunghic VOM și calculăm lungimea catetei VO, care este și înălțime pentru piramidă. Obținem că VO are lungimea egală cu 6√3 cm.

Calculăm aria laterală a piramidei și obținem că este egală cu 288 cm2.

Calculăm aria laterală a piramidei și obținem că este egală cu 288.

Aria totală a piramidei este egală cu 432 cm2.

Aria totală a piramidei este egală cu 432.

Volumul piramidei este egal cu 288√3 cm3.

Volumul piramidei este egal cu 288√3.

Data: 25 martie 2018