Ce rezolvăm azi?

Problema zilei (martie 2018)

Pentru arhiva „Problema zilei”, click aici

Fie ABC un triunghi oarecare și punctul D în exteriorul planului triunghiului (ABC). Notăm cu G1, G2 și G3 centrele de greutate ale triunghiurilor ABD, BCD și ACD. Să arătăm că planul triunghiului (ABC) este paralel cu planul triunghiului (G1G2G3).

Rezolvarea este mai jos pe pagină (click aici).

***

***

Rezolvare

Un triunghi are trei mediane care se întâlnesc într-un punct pe care-l numim centru de greutate al triunghiului. De obicei, acest punct se notează cu litera G. Punctul G aparține fiecărei mediane a triunghiului și se află la două treimi de vârful triunghiului și la o treime de latură. Ne amintim că mediana este segmentul care unește un vârf al triunghiului cu mijlocul laturii opuse.

Dacă două drepte concurente dintr-un plan sunt paralele cu un alt plan, atunci cele două plane sunt paralele. O dreaptă este paralelă cu un plan dacă ea este paralelă cu o altă dreaptă conținută în planul respectiv.

Desenăm figura geometrică. Pentru a identifica centrul de greutate al unui triunghi, este suficient să desenăm doar două mediane în acest triunghi; punctul în care acestea se întâlnesc este centru de greutate al triunghiului.

Notăm cu M, N și P mijloacele laturilor AB, BC și AC. Arătăm că G1G2 este paralel cu MN și că G1G3 este paralel cu MP. Va rezulta că dreptele G1G2 și G1G3 sunt paralele cu planul (ABC) pentru că MN și MP sunt incluse în acest plan. Cum G1G2 și G1G3 sunt concurente în punctul G1 (se întâlnesc în acest punct) și sunt conținute în planul (G1G2G3), va rezulta că planul (G1G2G3) este paralel cu planul (ABC).

Lungimea segmentului G1M este egală cu o treime din lungimea segmentului DM (pentru că punctul G1 este situat la două treimi de vârful D și la o treime de mijlocul M al laturii AB). Lungimea segmentului G2N este egală cu o treime din lungimea segmentului DN (pentru că punctul G2 este situat la două treimi de vârful D și la o treime de mijlocul N al laturii BC). Conform reciprocei teoremei lui Thales aplicată în triunghiul DMN, rezultă că G1G2 este paralel cu MN (dacă o dreaptă determină pe laturile unui triunghi segmente respectiv proporționale cu aceste laturi, atunci această dreaptă este paralelă cu cea de-a treia latură a triunghiului).

Deoarece G1G2 este paralel cu MN și MN este conținut în planul (ABC), rezultă că G1G2 este paralel cu planul (ABC).

Lungimea segmentului G3P este egală cu o treime din lungimea segmentului DP (pentru că punctul G3 este situat la două treimi de vârful D și la o treime de mijlocul P al laturii AC). Lungimea segmentului G1M este egală cu o treime din lungimea segmentului DM. Conform reciprocei teoremei lui Thales aplicată în triunghiul DMP, rezultă că G1G3 este paralel cu MP.

Cum G1G3 este paralel cu MP și MP este conținut în planul (ABC), rezultă că G1G3 este paralel cu planul (ABC).

Planul (G1G2G3) conține două drepte G1G2 și G1G3 care sunt concurente și sunt paralele cu planul (ABC), deci planele (G1G2G3) și (ABC) sunt paralele.

Data: 1 martie 2018