Ce rezolvăm azi?

Problema zilei (martie 2018)

Pentru arhiva „Problema zilei”, click aici

Fie ABC un triunghi isoscel cu baza BC de 12 cm și laturile congruente de 10 cm. Calculați lungimile înălțimilor AD, BE și CF, unde D aparține laturii BC, E aparține laturii AC și F aparține laturii AB.

Rezolvarea este mai jos pe pagină (click aici).

***

***

Rezolvare

Desenăm un triunghi isoscel ABC și înălțimile sale.

Calculăm lungimea înălțimii AD corespunzătoare bazei triunghiului isoscel. Ea este și mediană, mediatoare și bisectoare (atenție! această proprietate o are doar înălțimea corespunzătoare bazei triunghiului isoscel; celelalte două înălțimi, corespunzătoare laturilor congruente, nu sunt și mediane, mediatoare și bisectoare). Rezultă că punctul D este mijlocul bazei BC; înseamnă că BD este congruent cu CD, având lungimea egală cu jumătate din lungimea bazei BC.

Calculăm lungimea înălțimii AD corespunzătoare bazei triunghiului isoscel. Ea este și mediană, mediatoare și bisectoare (atenție! această proprietate o are doar înălțimea corespunzătoare bazei triunghiului isoscel; celelalte două înălțimi, corespunzătoare laturilor congruente, nu sunt și mediane, mediatoare și bisectoare). Rezultă că punctul D este mijlocul bazei BC; înseamnă că BD este congruent cu CD, având lungimea egală cu jumătate din lungimea bazei BC.

AD este înălțime, deci AD este perpendicular pe BC; înseamnă că triunghiul ADC este dreptunghic în D. Știm lungimile ipotenuzei AB (10 cm) și catetei CD (6 cm); aplicăm teorema lui Pitagora și aflăm că lungimea lui AD este egală cu 8 cm.

AD este înălțime, deci AD este perpendicular pe BC; înseamnă că triunghiul ADC este dreptunghic în D. Știm lungimile ipotenuzei (AB de 10 cm) și catetei CD (6 cm); aplicăm teorema lui Pitagora și aflăm că lungimea lui AD este egală cu 8 cm.

O formulă foarte importantă în care apare înălțimea triunghiului este formula de calcul a ariei. Aria unui triunghi este egală cu jumătate din produsul dintre o latură a triunghiului și înălțimea corespunzătoare acestei laturi. Triunghiul are 3 laturi, deci putem calcula aria lui astfel:

Aria unui triunghi este egală cu jumătate din produsul dintre o latură a triunghiului și înălțimea corespunzătoare acestei laturi.

Indiferent ce latură a triunghiului o considerăm bază a acestuia, aria este aceeași. Știm că laturile AB și AC sunt congruente (egale) pentru că triunghiul ABC este isoscel. Rezultă că înălțimile BE și CF corespunzătoare laturilor congruente AB și AC sunt congruente.

Indiferent ce latură a triunghiului o considerăm bază a acestuia, aria este aceeași. Știm că laturile AB și AC sunt congruente (egale) pentru că triunghiul ABC este isoscel. Rezultă că înălțimile BE și CF corespunzătoare laturilor congruente AB și AC sunt congruente.

Putem calcula aria triunghiului ABC considerând baza BC, pentru că știm lungimea laturii BC (12 cm) și a înălțimii AD corespunzătoare ei (8 cm). Obținem că aria triunghiului ABC este egală cu 48 cm2.

Putem calcula aria triunghiului ABC considerând baza BC, pentru că știm lungimea laturii BC (12 cm) și a înălțimii AD corespunzătoare ei (8 cm). Obținem că aria triunghiului ABC este egală cu 48

Știm lungimea laturilor AB și AC (10 cm), știm aria triunghiului, deci putem afla lungimile înălțimilor BE și CF. Acestea sunt egale cu cm.

Știm lungimea laturilor AB și AC (10 cm), știm aria triunghiului, deci putem afla lungimile înălțimilor BE și CF.

Data: 26 martie 2018