Ce rezolvăm azi?

Problema zilei (martie 2018)

Pentru arhiva „Problema zilei”, click aici

Fie ABCD un trapez isoscel cu diagonalele perpendiculare (trapez isoscel ortodiagonal). Arătați că înălțimea trapezului este congruentă cu linia mijlocie a trapezului.

Rezolvarea este mai jos pe pagină (click aici).

***

***

Rezolvare

Fie ABCD un trapez isoscel cu diagonalele perpendiculare (trapez isoscel ortodiagonal). Arătați că înălțimea trapezului este congruentă cu linia mijlocie a trapezului.

Desenăm un trapez isoscel, cu diagonalele perpendiculare. Ne amintim că linia mijlocie în trapez este segmentul care unește mijloacele laturilor neparalele ale trapezului; ea este paralelă cu bazele acestuia și are lungimea egală cu semisuma lungimilor bazelor trapezului.

Fie M și N mijloacele laturilor neparalele AB și CD. Segmentul MN este linie mijlocie în trapezul ABCD, deci este paralel cu AD și BC și are lungimea egală cu semisuma bazelor AD și CD.

Fie M și N mijloacele laturilor neparalele AB și CD. Segmentul MN este linie mijlocie în trapezul ABCD, deci este paralel cu AD și BC și are lungimea egală cu semisuma bazelor AD și CD.

Fie EF perpendicular pe bazele AD și BC astfel încât punctul O (intersecția diagonalelor trapezului) aparține lui EF, E aparține bazei AD și F aparține bazei BC. Segmentul EF este înălțime în trapezul ABCD.

Fie EF perpendicular pe bazele AD și BC astfel încât punctul O (intersecția diagonalelor trapezului) aparține lui EF, E aparține bazei AD și F aparține bazei BC. Segmentul EF este înălțime în trapezul ABCD.

Trebuie să arătăm că EF este congruent (egal) cu MN.

Metoda 1

Lungimea linie mijlocii MN este egală cu semisuma bazelor trapezului; încercăm să arătăm că și lungimea înălțimii EF este egală cu semisuma bazelor trapezului.

Lungimea segmentului EF este egală cu suma lungimilor segmentelor OE și OF. Calculăm lungimile acestor segmente.

Lungimea segmentului EF este egală cu suma lungimilor segmentelor OE și OF.

Arătăm că triunghiurile OAD și OBC sunt dreptunghice isoscele și că OE și OF sunt medianele corespunzătoare ipotenuzelor. Într-un triunghi dreptunghic, lungimea medianei corespunzătoare ipotenuzei este egală cu jumătate din lungimea acesteia.

Trapezul isoscel are laturile neparalele congruente și unghiurile de la bază congruente:

Trapezul isoscel are laturile neparalele congruente și unghiurile de la bază congruente.

Rezultă că triunghiurile ABC și DCB sunt congruente (cazul L.U.L. sau L.L.L.), deci unghiurile BAC și BDC sunt congruente (au aceeași măsură). Înseamnă că unghiurile DAC și ADB sunt congruente, deci triunghiul OAD este isoscel, cu baza AD. Laturile AO și DO sunt congruente (egale); cum AC este congruent cu BD, înseamnă că și BO este congruent cu CO. Deci și triunghiul OBC este isoscel, cu baza BC. Diagonalele AC și BD ale trapezului sunt perpendiculare, deci triunghiurile OAD și OBC sunt și dreptunghice. EF este perpendicular pe AD și BC, deci OE și OF sunt înălțimile corespunzătoare bazelor triunghiurilor dreptunghice isoscele OAD și OBC. Într-un triunghi isoscel, înălțimea corespunzătoare bazei este și mediană. Înseamnă că OE și OF sunt și mediane în triunghiurile dreptunghice isocele OAD și OBC. Într-un triunghi dreptunghic, lungimea medianei corespunzătoare ipotenuzei este egală cu jumătate din lungimea acesteia. Înseamnă că lungimea medianei OE este egală cu jumătate din lungimea bazei AD, iar lungimea medianei OF este egală cu jumătate din lungimea bazei BC. Rezultă că lungimea lui EF (înălțimea trapezului) este egală cu jumătate din suma lungimilor bazelor AD și BC, adică lungimea înălțimii trapezului este egală cu lungimea liniei mijlocii a acestuia.

Rezultă că triunghiurile ABC și DCB sunt congruente (cazul L.U.L. sau L.L.L.), deci unghiurile BAC și BDC sunt congruente (au aceeași măsură). Înseamnă că unghiurile DAC și ADB sunt congruente, deci triunghiul OAD este isoscel, cu baza AD. Laturile AO și DO sunt congruente (egale); cum AC este congruent cu BD, înseamnă că și BO este congruent cu CO. Deci și triunghiul OBC este isoscel, cu baza BC. Diagonalele AC și BD ale trapezului sunt perpendiculare, deci triunghiurile OAD și OBC sunt și dreptunghice. EF este perpendicular pe AD și BC, deci OE și OF sunt înălțimile corespunzătoare bazelor triunghiurilor dreptunghice isoscele OAD și OBC. Într-un triunghi isoscel, înălțimea corespunzătoare bazei este și mediană. Înseamnă că OE și OF sunt și mediane în triunghiurile dreptunghice isocele OAD și OBC. Într-un triunghi dreptunghic, lungimea medianei corespunzătoare ipotenuzei este egală cu jumătate din lungimea acesteia. Înseamnă că lungimea medianei OE este egală cu jumătate din lungimea bazei AD, iar lungimea medianei OF este egală cu jumătate din lungimea bazei BC.

Lungimea lui EF (înălțimea trapezului) este egală cu jumătate din suma lungimilor bazelor AD și BC, adică lungimea înălțimii trapezului este egală cu lungimea liniei mijlocii a acestuia.

Metoda 2

Segmentele MN și EF sunt diagonale în patrulaterul EMFN. Arătăm că acesta este pătrat; diagonalele pătratului sunt congruente (dacă EMFN este pătrat, atunci diagonalele sale sunt congruente, deci EF și MN sunt congruente).

Segmentele MN și EF sunt diagonale în patrulaterul EMFN. Arătăm că acesta este pătrat; diagonalele pătratului sunt congruente (dacă EMFN este pătrat, atunci diagonalele sale sunt congruente, deci EF și MN sunt congruente).

Punctele E, M, F și N sunt mijloacele laturilor AD, AB, BC și CD ale trapezului ABCD (am arătat că OE și OF sunt mediane în triunghiurile OAD și OBC, deci E și F sunt mijloacele bazelor AD și BC); rezultă că EM, MF, NF și NE sunt linii mijlocii în triunghiurile ABD, ABC, BCD și ADC. Înseamnă că EM este paralel cu BD și NF, iar MF este paralel cu AC și NE. Rezultă că patrulaterul EMFN este paralelogram. În plus, EM, MF, NF și NE sunt congruente (egale cu jumătate din lungimea unei diagonale a trapezului isoscel ABCD). Deci patrulaterul EMFN este romb.

Diagonalele AC și BD ale trapezului sunt perpendiculare; AC este paralelă cu MF, iar BD este paralelă cu EM. Rezultă că segmentele MF și EM sunt perpendiculare; asta înseamnă că rombul EMFN este pătrat. Într-un pătrat, diagonalele sunt congruente (au aceeași lungime). Diagonalele pătratului EMFN sunt EF și MN; deci EF este congruent cu MN. Adică înălțimea trapezului isoscel ortodiagonal este congruentă cu lungimea liniei mijlocii a trapezului respectiv.

Segmentele MN și EF sunt diagonale în patrulaterul EMFN. Arătăm că acesta este pătrat; diagonalele pătratului sunt congruente (dacă EMFN este pătrat, atunci diagonalele sale sunt congruente, deci EF și MN sunt congruente).

Data: 22 martie 2018