Ce rezolvăm azi?

Problema zilei

Pentru arhiva „Problema zilei”, click aici

Să se demonstreze că într-un cub ABCDA'B'C'D' perpendiculara din D pe diagonala C'A o taie pe aceasta într-un punct Q, astfel încât

(Geometrie, manual pentru clasa a VIII-a, 1993, problema 6, pagina 64)

Rezolvarea este mai jos pe pagină (click aici).

***

***

Rezolvare

Vom calcula lungimea segmentelor AQ și C'A. Notăm cu lungimea muchiei cubului ABCDA'B'C'D' (toate muchiile cubului sunt congruente, adică au aceeași lungime).

Desenăm cubul ABCDA'B'C'D' și perpendiculara DQ pe C'A. Observăm că DQ este înălțime în triunghiul ADC'. Arătăm că triunghiul ADC' este dreptunghic în D.

Să se demonstreze că într-un cub ABCDA'B'C'D' perpendiculara din D pe diagonala AC' o taie pe aceasta într-un punct Q, astfel încât AQ este o treime din AC'.

ABCDA'B'C'D' este cub, deci muchiile sunt perpendiculare pe planele bazelor. Rezultă că AD este perpendicular pe planul (C'CDD'), deci AD este perpendicular pe C'D. Înseamnă că triunghiul ADC' este dreptunghic în D.

ABCDA'B'C'D' este cub, deci muchiile sunt perpendiculare pe planele bazelor. Rezultă că AD este perpendicular pe planul (C'CDD'), deci AD este perpendicular pe DC'. Înseamnă că triunghiul ADC' este dreptunghic în D.

Observăm că AQ este proiecția catetei AD pe ipotenuza C'A. Dacă aflăm lungimea lui C'A, atunci putem folosi teorema catetei în triunghiul dreptunghic ADC' pentru a afla lungimea lui AQ.

Vom calcula lungimea lui C'A în funcție de lungimea muchiei cubului, . AD este muchie a cubului, deci lungimea ei este egală cu .

C'A este diagonala cubului; pentru lungimea ei avem formulă. Dacă nu știm această formulă, atunci o putem deduce cu ajutorul teoremei lui Pitagora. Aflăm mai întâi lungimea lui C'D, care este diagonală în pătratul C'CDD' (toate fețele unui cub sunt pătrate). Ne amintim formula pentru diagonala pătratului (sau o calculăm cu ajutorul teoremei lui Pitagora):

Lungimea diagonalei pătratului.

Lungimea diagonalei cubului.

Avem triunghiul dreptunghic ADC' în care cunoaștem lungimile ipotenuzei C'A și catetei AD. Trebuie să aflăm lungimea lui AQ (proiecția catetei AD pe ipotenuza C'A). Aplicăm teorema catetei în triunghiul ADC':

Lungimea proiecției catetei AD pe ipotenuza C'A.

Calculăm raportul lungimilor segmentelor AQ și C'A:

Raportul lungimilor segmentelor AQ și C'A

Am obținut că lungimea segmentului AQ este egală cu o treime din lungimea segmentului C'A.

Data: 26 ianuarie 2018