Ce rezolvăm azi?

Problema zilei

Pentru arhiva „Problema zilei”, click aici

În figura de mai jos este reprezentat un pătrat ABCD cu AB = cm. Pe planul pătratului se construiesc perpendicularele AE și CF astfel încât AE = 8 cm și CF = 4 cm.

În figura de mai jos este reprezentat un pătrat ABCD cu AB = 8√2 cm. Pe planul pătratului se construiesc perpendicularele AE și CF astfel încât AE = 8 cm și CF = 4 cm.

a) Arătați că AC = 16cm.

b) Demonstrați ca aria triunghiului EBD este mai mica decat 96 cm2.

c) Calculați tangenta unghiului format de dreapta EF cu planul pătratului ABCD .

(Teză la matematică pe semestrul I, clasa a VIII-a, 14.12.2017, subiect propus de Ministerul Educației Naționale)

Rezolvarea este mai jos pe pagină (click aici).

***

***

Rezolvare

a) Trebuie să calculăm lungimea lui AC. ABCD este pătrat cu latura de cm, iar AC este diagonală. Aplicăm teorema lui Pitagora în triunghiul dreptunghic ABC (dreptunghic în B) și obținem că lungimea lui AC este egală cu 16cm:

Aplicăm teorema lui Pitagora în triunghiul dreptunghic ABC (dreptunghic în B) și pbținem că lungimea lui AC este egală cu 16cm.

b) Vom calcula aria triunghiului EBD și rezultatul găsit îl vom compara cu 96.

Aria unui triunghi este egală cu jumătate din produsul dintre o latură și înălțimea corespunzătoare ei. Trebuie să ducem o înălțime în triunghiul EBD.

Pe latura BD a triunghiului EBD avem punctul O (intersecția diagonalelor pătratului ABCD). Vom arăta că EO este înălțime în triunghiul EBD.

În figura de mai jos este reprezentat un pătrat ABCD cu AB = 8√2 cm. Pe planul pătratului se construiesc perpendicularele AE și CF astfel încât AE = 8 cm și CF = 4 cm.

Triunghiurile ADE și ABE sunt dreptunghice și congruente (au o catetă comună, iar celelalte două catete sunt laturi ale pătratului ABCD, deci sunt congruente - au aceeași lungime). Rezultă că segmentele ED și EB sunt congruente (au aceeași lungime), deci triunghiul EBD este isoscel cu baza BD. Diagonalele pătratului ABCD se intersectează în punctul O, care este mijlocul fiecăreia dintre ele. Deci punctul O este mijlocul bazei BD a triunghiului isoscel EBD. Înseamnă că EO este înălțime în acest triunghi (într-un triunghi isoscel, mediana corespunzătoare bazei este și înălțime).

Punctul O este mijlocul bazei BD a triunghiului isoscel EBD. Înseamnă că EO este înălțime în acest triunghi (într-un triunghi isoscel, mediana corespunzătoare bazei este și înălțime).

Calculăm lungimea înălțimii EO, apoi o vom folosi în formula ariei triunghiului EBD.

Triunghiul EAO este dreptunghic în A (EA este perpendicular pe planul pătratului ABCD, deci EA este perpendicular pe orice dreaptă din acest plan; înseamnă că EA este perpendicular pe AO). Lungimea segmentului EA este de 8cm, lungimea segmentului AO este tot de 8cm (jumătate din AC); aplicăm teorema lui Pitagora pentru a afla lungimea ipotenuzei EO:

Aplicăm teorema lui Pitagora pentru a afla lungimea ipotenuzei EO.

Calculăm aria triunghiului EBD (AC și BD au aceeași lungime, 16 cm, pentru că sunt diagonale în pătratul ABCD):

Calculăm aria triunghiului EBD. Aria unui triunghi este egală cu jumătate din produsul dintre o latură și înălțimea corespunzătoare ei.

Arătăm că aria triunghiului EBD este mai mică decât 96 cm2. Pentru aceasta, comparăm diferența numerelor 96 și cu 0.

Arătăm că aria triunghiului EBD este mai mică decât 96 cm<sup>2</sup>.

c)Unghiul format de dreapta EF cu planul pătratului ABCD este unghiul format de EF cu proiecția ei pe planul ABCD. AE și CF sunt perpendiculare pe planul pătratului ABCD, rezultă că proiecția lui EF pe planul pătratului ABCD este AC. Unghiul format de EF cu planul pătratului ABCD este unghiul format de EF și AC.

Unghiul format de dreapta EF cu planul pătratului ABCD este unghiul format de EF cu proiecția ei pe planul ABCD. AE și CF sunt perpendiculare pe planul pătratului ABCD, rezultă că proiecția lui EF pe planul pătratului ABCD este AC.

Prin punctul F ducem o paralelă la AC, care intersectează pe AE în M. Unghiul dreptelor EF și AC este unghiul dreptelor EF și FM, adică unghiul EFM.

Prin punctul F ducem o paralelă la AC, care intersectează pe AE în M. Unghiul dreptelor EF și AC este unghiul dreptelor EF și FM, adică unghiul EFM.

Prin punctul F ducem o paralelă la AC, care intersectează pe AE în M. Unghiul dreptelor EF și AC este unghiul dreptelor EF și FM, adică unghiul EFM.

Încadrăm unghiul EFM în triunghiul EMF; arătăm că acest triunghi este dreptunghic în M. Într-un triunghi dreptunghic, tangenta unui unghi ascuțit este raportul dintre cateta opusă și cateta alăturată.

MACF este dreptunghi pentru că MA și CF sunt perpendiculare pe planul pătratului ABCD (deci și pe AC) și paralele; FM și AC sunt paralele. Rezultă că MF este congruent cu AC (au aceeași lungime) și CF este congruent cu MA.

MACF este dreptunghi pentru că MA și CF sunt perpendiculare pe planul pătratului ABCD (deci și pe AC) și paralele; FM și AC sunt paralele. Rezultă că MF este congruent cu AC (au aceeași lungime) și CF este congruent cu MA.

Lungimea lui AE este de 8cm, rezultă că lungimea lui EM este de 4cm.

Lungimea lui AE este de 8cm, rezultă că lungimea lui EM este de 4cm.

EA este perpendicular pe planul pătratului ABCD, deci este perpendicular și pe AC. MF este paralel cu AC, deci EA este perpendicular pe MF. Rezultă că măsura unghiului EMF este de 90°. Înseamnă că triunghiul EMF este dreptunghic în M. Tangenta unghiului EFM este raportul dintre cateta opusă și cateta alăturată, adică raportul dintre EM și MF:

Triunghiul EMF este dreptunghic în M.

Tangenta unghiului EFM este raportul dintre cateta opusă și cateta alăturată, adică raportul dintre EM și MF.

***

Am fi putut duce CN paralelă cu EF, N situat pe AE. Unghiul format de EF și AC ar fi fost unghiul format de CN și AC, adică unghiul NCA. Am fi obținut triunghiul dreptunghic NAC în A, tangenta unghiului NCA fiind raportul dintre NA (4cm) și AC (16cm). Rezultatul ar fi fost același.

***

Data: 25 ianuarie 2018