Ce rezolvăm azi?

Problema zilei

Pentru arhiva „Problema zilei”, click aici

O gumă de șters în formă de prismă triunghiulară regulată dreaptă, notată FLORIN are înălțimea LI = 5cm și muchia bazei LO = 3cm. Pe fața FLO este trasată o linie care unește punctele P și T, mijloacele muchiilor OF și OL .

a) Calculați perimetrul și aria bazei.

b) Demonstrați că PT || (RIO).

c) Calculați cosinusul unghiului format de dreptele RI și LN.

(Teză la matematică pe semestrul I, clasa a VIII-a, 14.12.2017, subiect propus de Ministerul Educației Naționale)

O gumă de șters în formă de prismă triunghiulară regulată dreaptă, notată FLORIN are înălțimea LI = 5cm și muchia bazei LO = 3cm. Pe fața FLO este trasată o linie care unește punctele P și T, mijloacele muchiilor OF și OL .

Rezolvarea este mai jos pe pagină (click aici).

***

***

Rezolvare

Avem o prismă triunghiulară regulată dreaptă; „prismă” înseamnă că planele bazelor sunt paralele, „triunghiulară regulată” înseamnă că bazele sunt triunghiuri echilaterale, „dreaptă” înseamnă că muchiile laterale sunt perpendiculare pe planele bazelor. Rezultă că triunghiurile FLO și RIN sunt echilaterale și congruente, iar fețele laterale RFLI, ILON și RFON sunt dreptunghiuri congruente.

O gumă de șters în formă de prismă triunghiulară regulată dreaptă, notată FLORIN are înălțimea LI = 5cm și muchia bazei LO = 3cm. Pe fața FLO este trasată o linie care unește punctele P și T, mijloacele muchiilor OF și OL .

a)Trebuie să calculăm perimetrul și aria triunghiului echilateral FLO, ale cărui laturi au lungimea de 3cm.

Perimetrul triunghiului FLO este egal cu suma lungimilor laturilor acestuia, deci este egal cu 9cm:

Perimetrul triunghiului FLO este egal cu suma lungimilor laturilor acestuia, deci este egal cu 9cm.

Pentru calculul ariei triunghiului echilateral FLO folosim formula:

Formula ariei triughiului echilateral.

Obținem:

Aria triunghiului echilateral FLO

Dacă nu știm formula ariei unui triunghi echilateral, atunci folosim formula ariei unui triunghi oarecare: baza înmulțită cu înălțimea împărțit la 2. Lungimea înălțimii o calculăm cu ajutorul teoremei lui Pitagora.

b)Trebuie să arătăm că segmentul PT este paralel cu planul triunghiului RIO. Ne amintim că dacă o dreaptă este paralelă cu o dreaptă din plan și nu este conținută în plan, atunci ea este paralelă cu planul.

Arătăm că PT este paralel cu planul triunghiului RIO.

Arătăm că PT este paralel cu RI.

Punctul P este mijlocul segmentului FO, T este mijlocul segmentului LO, deci PT este linie mijlocie în triunghiul FLO. Rezultă că PT este paralel cu FL. Mai știm că RFLI este dreptunghi, deci are laturile opuse paralele. Asta înseamnă că FL este paralel cu RI. Cum FL este paralel cu PT și RI, rezultă că PT și RI sunt paralele.

Segmentul PT nu este inclus în planul triunghiului (RIO) și este paralel cu segmentul RI care este inclus în planul triunghiului (RIO). Deci PT este paralel cu planul triunghiului (RIO):

PT este paralel cu planul triunghiului (RIO).

c)Trebuie să calculăm cosinusul unghiului format de dreptele RI și LN. Mai întâi să identificăm acest unghi. Observăm că dreptele RI și LN sunt necoplanare, adică nu sunt paralele și nu au niciun punct comun; ne amintim că prin unghiul format de două drepte necoplanare d1 și d2 înțelegem orice unghi ascuțit (sau drept) format în orice punct al spațiului prin ducerea de paralele la cele două drepte date. Este vorba de două drepte paralele cu d1, respectiv d2, care să se intersecteze, iar unghiul ascuțit format de aceste paralele ne dă măsura unghiului format de d1 și d2. O metodă este ca printr-un punct de pe d1 să ducem o paralelă d la d2; unghiul ascuțit dintre d și d1 reprezintă unghiul dintre d1 și d2.

RFLI este dreptunghi, deci RI este paralel cu FL. Înseamnă că prin punctul L situat pe LN avem FL care este paralelă cu RI. Deci unghiul FLN format de FL și LN reprezintă unghiul format de RI și LN:

Unghiul FLN format de FL și LN reprezintă unghiul format de RI și LN.

Unghiul FLN format de FL și LN reprezintă unghiul format de RI și LN.

Trebuie să aflăm cosinusul unghiului FLN. Ne interesează să încadrăm acest unghi într-un triunghi. Acest triunghi poate fi oarecare, dacă știm teorema cosinusului. Dacă nu știm această teoremă, atunci vom încadra unghiul FLN într-un triunghi dreptunghic (într-un triunghi dreptunghic, cosinusul unui unghi ascuțit este egal cu raportul dintre cateta alăturată și ipotenuză).

Metoda 1 - ducem înălțimea în triunghiul FLN și obținem un triunghi dreptunghic

Dreptunghiurile ILON și RFON sunt congruente, deci și diagonalele lor LN și FN sunt congruente (au lungimi egale). Rezultă că triunghiul FLN este isoscel, cu baza FL. Unghiul FLN este unul dintre unghiurile de la baza acestui triunghi, deci este unghi ascuțit (unghiurile de la baza triunghiului isoscel sunt unghiuri ascuțite; ne amintim că suma măsurilor unghiurilor unui triunghi este 180°). Avem deci certitudinea că FLN reprezintă unghiul format de RI și LN (și nu suplementul său).

Revenim la triunghiul isoscel FLN: baza FL este de 3cm; putem afla lungimea laturilor LN și FN pentru că sunt diagonale în dreptunghiurile ILON și RFON (laturile acestora sunt de 3cm, respectiv 5cm).

Putem afla lungimea laturilor LN și FN pentru că sunt diagonale în dreptunghiurile ILON și RFON (laturile acestora sunt de 3cm, respectiv 5cm).

Ducem înălțimea NM corespunzătoare bazei în triunghiul isoscel FLN, cu M aparține lui FL; triunghiul fiind isoscel, punctul M este mijlocul laturii FL. Obținem triunghiul dreptunghic NML. Cosinusul unghiului FLN este egal cu raportul dintre ML și LN (cateta alăturată supra ipotenuză).

Arătăm că PT este paralel cu planul triunghiului RIO.

Cosinusul unghiului FLN este egal cu raportul dintre ML și LN (cateta alăturată supra ipotenuză).

Metoda 2 - folosim teorema cosinusului

Teorema cosinusului se aplică în orice triunghi; notăm cu , și laturile triunghiului și cu A, B și C unghiurile acestuia:

Teorema cosinusului.

În triunghiul FLN știm lungimile tuturor laturilor, deci putem să aflăm cosinusul unghiului FLN:

Teorema cosinusului în triunghiul FLN.

Data: 24 ianuarie 2018