Ce rezolvăm azi?

Problema zilei

Pentru arhiva „Problema zilei”, click aici

Fie triunghiul isoscel ABC cu AB AC și AD mediana corespunzătoare bazei triunghiului, unde D BC. Segmentele DE și DF sunt bisectoarele unghiurilor ADB și ADC, unde E AB și F AC. Să arătăm că triunghiul EDF este dreptunghic isoscel. (Geometrie, manual pentru clasa a VI-a, 1990, problema 23, pagina 80)

Rezolvarea este mai jos pe pagină (click aici).

***

***

Rezolvare

Vom arăta că măsura unghiului EDF este de 90° și că segmentele DE și DF sunt congruente (au aceeași lungime).

Fie triunghiul isoscel ABC cu AB congruent cu AC și AD mediana corespunzătoare bazei triunghiului, unde punctul D aparține laturii BC. Segmentele DE și DF sunt bisectoarele unghiurilor ADB și ADC, unde E aparține laturii AB, iar F aparține laturii AC. Să arătăm că triunghiul EDF este dreptunghic isoscel.

Triunghiul ABC este isoscel cu AB congruent cu AC (au aceeași lungime), deci unghiurile ABC și ACB sunt congruente.

Triunghiul ABC este isoscel cu AB congruent cu AC (au aceeași lungime), deci unghiurile ABC și ACB sunt congruente.

AD este mediana în triunghiul ABC, deci D este mijlocul lui BC, adică BD și CD sunt congruente (au aceeași lungime). Mai mult, AD fiind mediana corespunzătoare bazei într-un triunghi isoscel, rezultă că AD este bisectoarea unghiului BAC, înălțime și mediatoarea bazei BC. Rezultă că AD este perpendicular pe BC, deci unghiurile ADB și ADC sunt congruente, cu măsurile egale cu 90°.

AD este mediană în triunghiul isoscel ABC de bază BC, deci AD este înălțime, mediatoare și bisectoare.

DE este bisectoarea unghiului ADB, deci unghiurile EDB și ADE sunt congruente. Unghiul ADB este unghi drept (are măsura egală cu 90°), deci măsurile unghiurile EDB și ADE sunt egale cu 45°.

DF este bisectoarea unghiului ADC, deci unghiurile FDC și ADF sunt congruente. Unghiul ADC este unghi drept (are măsura egală cu 90°), deci măsurile unghiurile FDC și ADF sunt egale cu 45°.

Unghiul EDF este format din unghiurile ADE și ADF; măsurile unghiurilor ADE și ADF sunt egale cu 45°, rezultă că măsura unghiului EDF este egală cu 90°.

Măsura unghiului EDF este egală cu 90°, deci triunghiul EDF este dreptunghic.

Triunghiul EDF este dreptunghic

Mai avem de demonstrat că triunghiul EDF este isoscel. Un mod de a arăta acest lucru este să arătăm că are două laturi congruente (au aceeași lungime). Într-un triunghi dreptunghic, doar catetele pot fi congruente. Să vedem cum arătăm că DE și DF sunt congruente.

Triunghiul ABC este isoscel cu baza BC, deci unghiurile ABC și ACB sunt congruente.

AD este mediană în triunghiul ABC, deci BD și CD sunt congruente.

Am arătat că unghiurile EDB și FDC sunt congruente (au măsurile egale cu 45°).

Rezultă că triunghiurile BED și CFD sunt congruente (cazul L.U.L.). Segmentele DE și DF sunt laturi omoloage în triunghiurile BED și CFD congruente, rezultă că triunghiul EDF este isoscel.

Triunghiul EDF este isocel

Q.E.D.

Analizăm!

1) Pentru a arăta că DE și DF sunt congruente, putem să arătăm că triunghiurile ADE și ADF sunt congruente (cazul U.L.U., AD este bisectoarea unghiului BAC).

2) Unghiul BDC este unghi alungit (are măsura de 180°) pentru că punctul D BC (B, D și C sunt coliniare). Deoarece DE și DF sunt bisectoarele unghiurilor ADB și ADC, rezultă că măsura unghiului EDF este de 90°.

Unghiul EDF este drept

Reținem! Bisectoarele a două unghiuri vecine (adiacente) suplementare (suma măsurilor este 180°) formează un unghi drept!

Unghiul EOF este drept

3) Ce fel de patrulater este EBCF?

Triunghiul EDF este dreptunghic isoscel cu unghiul EDF de 90°. Notăm cu O punctul de intersecție dintre AD și EF. DO este bisectoarea unghiului EDF, deci DO este și înălțime în triunghiul EDF. Rezultă că unghiurile ADB și DOF sunt congruente (unghiuri drepte). Înseamnă că EF și BC sunt paralele (dacă o secantă formează cu două drepte unghiuri alterne interne congruente, atunci cele două drepte sunt paralele). Rezultă că EBCF este trapez. Cum unghiurile ABC și ACB sunt congruente, rezultă că trapezul EBCF este isoscel.

EBCF este trapez isoscel

Data: 19 ianuarie 2018