Ce rezolvăm azi?

Problema zilei (februarie 2018)

Pentru arhiva „Problema zilei”, click aici

Fie ABC un triunghi dreptunghic (măsura unghiului A este egală cu 90°) cu AB = 30 cm și AC = 40 cm. În vârful A se ridică o perpendiculară pe planul triunghiului, pe care se ia un punct D astfel încât AD = 18 cm. Să se calculeze distanța de la D la BC.

Rezolvarea este mai jos pe pagină (click aici).

***

***

Rezolvare

Vom folosi teorema celor trei perpendiculare pentru a determina distanța de la D la BC. Avem perpendiculara din D pe planul triunghiului (ABC), în punctul A. Desenăm înălțimea AE în triunghiul dreptunghic ABC, unde E aparține lui BC. Conform teoremei celor trei perpendiculare, DE este perpendicular pe BC, deci lungimea segmentului DE este distanța de la D la BC.

Pentru a afla lungimea segmentului DE, îl încadrăm în triunghiul DAE. Arătăm că acest triunghi este dreptunghic și aplicăm teorema lui Pitagora.

Segmentul DA este perpendicular pe planul triunghiului (ABC), deci DA este perpendicular pe orice dreaptă din planul triunghiului (ABC). Înseamnă că DA este perpendicular pe AE, deci triunghiul DAE este dreptunghic. Știm lungimea catetei DA (din ipoteză). Pentru a calcula lungimea ipotenuzei DE (cu teorema lui Pitagora), avem nevoie să aflăm mai întâi lungimea catetei AE. Segmentul AE este înălțime în triunghiul dreptunghic ABC, în care știm lungimile catetelor AB și BC. Calculăm lungimea lui BC ca ipotenuză în triunghiul dreptunghic ABC.

Calculăm lungimea segmentului AE ca înălțime în triunghiului dreptunghic ABC (vezi și Observația de mai jos)

Aplicăm teorema lui Pitagora în triunghiul dreptunghic DAE și calculăm lungimea ipotenuzei DE:

Observație!

Putem calcula lungimea înălțimii corespunzătoare ipotenuzei folosind formula ariei triunghiului:

Data: 5 februarie 2018