Ce rezolvăm azi?

Problema zilei (februarie 2018)

Pentru arhiva „Problema zilei”, click aici

Fie ABCD un paralelogram și d o dreaptă situată în exteriorul acestuia (nu intersectează laturile paralelogramului). Să se arate că suma distanțelor de la vârfurile A și C la dreapta d este egală cu suma distanțelor de la vârfurile B și D la dreapta d.

Rezolvarea este mai jos pe pagină (click aici).

***

***

Rezolvare

Distanța de la un punct la o dreaptă este distanța dintre acel punct și piciorul perpendicularei din punctul respectiv pe acea dreaptă. Ducem perpendiculara AE din punctul A pe dreapta d, E aparține dreptei d (E este piciorul perpendicularei din A pe dreapta d). Lungimea segmentului AE este distanța de la A la dreapta d. Ducem perpendicularele BF, CG și DH pe dreapta d, unde F, G și H aparțin dreptei d. Lungimile segmentelor BF, CG și DH sunt distanțele de la punctele B, C și D la dreapta d. Trebuie să arătăm că suma lungimilor segmentelor AE și CG este egală cu suma lungimilor segmentelor BF și DH.

Două segmente perpendiculare pe o dreaptă sunt paralele. Cum AE, BF, CG și DH sunt perpendiculare pe dreapta d, rezultă că sunt paralele. Ne gândim astfel la trapez, care are două laturi paralele. Desenăm diagonalele paralelogramului ABCD, care se intersectează în punctul O. Punctul O este mijlocul diagonalelor AC și BD ale paralelogramului ABCD. Obținem două trapeze, AEGC și BFHD. Punctul O este mijlocul laturii AC a trapezului AEGC. Considerăm punctul M mijlocul laturii EG a trapezului AEGC. Rezultă că OM este linie mijlocie în trapezul AEGC, deci OM este paralel cu AE și CG. Lungimea lui OM este jumătate din suma bazelor trapezului AEGC, adică jumătate din suma lungimilor segmentelor AE și CG.

Ne mutăm atenția asupra trapezului BFHD. Cum OM este paralel cu AE și AE este paralel cu BF și DH, rezultă că OM este paralel cu BF și DH. Punctul O este mijlocul laturii BD a trapezului BFHD, deci OM este linie mijlocie în trapezul BFHD. Rezultă că lungimea lui OM este egală cu jumătate din suma lungimilor bazelor trapezului, adică jumătate din suma lungimilor segmentelor BF și DH.

Rezultă că suma lungimilor segmentelor AE și CG este egală cu suma lungimilor segmentelor BF și DH.

Data: 3 februarie 2018