Ce rezolvăm azi?

Problema zilei (februarie 2018)

Pentru arhiva „Problema zilei”, click aici

Fie ABC un triunghi dreptunghic în A, cu lungimea ipotenuzei BC de 14 cm și AD înălțime, D aparține lui BC. Știm că raportul ariilor triunghiurilor ADC și ADB este 3/4. Să calculăm lungimea înălțimii AD.

Rezolvarea este mai jos pe pagină (click aici).

***

***

Rezolvare

Desenăm un triunghi dreptunghic în A și înălțimea AD corespunzătoare ipotenuzei BC. Rezultă că triunghiurile ADC și ADB sunt dreptunghice în D; aria unui triunghi dreptunghic poate fi calculată ca semiprodusul catetelor sale. Deci aria triunghiului ADC este egală cu semiprodusul dintre AD și CD, iar aria triunghiului ADB este egală cu semiprodusul dintre AD și BD.

Desenăm un patrulater convex pe care îl notăm ABCD. Notăm cu M, N, P și Q mijloacele laturilor AB, AD, CD și BC.

Aria triunghiului ADC este egală cu semiprodusul dintre AD și CD, iar aria triunghiului ADB este egală cu semiprodusul dintre AD și BD.

Obținem că CD supra BD este egal cu 3 supra 4. Folosim o proprietate a proporțiilor (proporții derivate): păstrăm numărătorii și adunăm fiecare numărător la numitor; obținem două rapoarte egale. În acest fel putem să calculăm lungimea segmentului CD (este de 6 cm). Cum BC are lungimea egală cu 14 cm, rezultă că BD are lungimea egală cu 8 cm.

Proporții derivate: păstrăm numărătorii și adunăm fiecare numărător la numitor; obținem două rapoarte egale.

AD este înălțimea corespunzătoare ipotenuzei în triunghiul dreptunghic ABC; aplicăm teorema înălțimii și obținem că AD are lungimea egală cu 4√3 cm.

AD este înălțimea corespunzătoare ipotenuzei în triunghiul dreptunghic ABC; aplicăm teorema înălțimii și obținem că AD are lungimea egală cu 4√3  cm.

Data: 23 februarie 2018