Ce rezolvăm azi?

Problema zilei (februarie 2018)

Pentru arhiva „Problema zilei”, click aici

Fie ABCD pătrat și V un punct care nu aparține planului (ABC) astfel încât VA, VB, VC și VD sunt segmente congruente. Notăm cu O punctul de intersecție al diagonalelor AC și BD. Segmentul VO este perpendicular pe planul (ABC)? Explicați răspunsul.

Rezolvarea este mai jos pe pagină (click aici).

***

***

Rezolvare

Da, VO este perpendicular pe planul (ABC) pentru că VO este perpendicular pe AC și pe BD, iar AC și BD sunt segmente concurente (se intersectează) în planul (ABC). O dreaptă este perpendiculară pe un plan dacă este perpendiculară pe două drepte neparalele conținute în acel plan. AC și BD se intersectează în punctul O, deci nu sunt paralele; ele se află în planul (ABC).

Segmentele VA și VC sunt congruente (au aceeași lungime), deci triunghiul VAC este isoscel. ABCD este pătrat, deci diagonalele sale sunt congruente și se înjumătățesc; înseamnă că punctul O este mijlocul segmentelor AC și BD. Rezultă că VO este perpendiculară pe AC (mediana corespunzătoare bazei triunghiului isoscel este și înălțime).

Segmentele VA și VC sunt congruente (au aceeași lungime), deci triunghiul VAC este isoscel. ABCD este pătrat, deci diagonalele sale se înjumătățesc; înseamnă că punctul O este mijlocul segmentelor AC și BD. Rezultă că VO este perpendiculară pe AC (mediana corespunzătoare bazei triunghiului isoscel este și înălțime).

La fel arătăm că VO este perpendicular pe BD. Triunghiul VBD este isoscel pentru că VB este congruent cu VD (BD este baza). Punctul O este mijlocul segmentului BD, deci VO este mediana corespunzătoare bazei triunghiului isoscel. Rezultă că VO este și înălțime în acest triunghi, deci VO este perpendicular pe BD.

VO este perpendicular pe planul (ABC) pentru că VO este perpendicular pe AC și pe BD, iar AC și BD sunt segmente concurente (se intersectează) în planul (ABC). O dreaptă este perpendiculară pe un plan dacă este perpendiculară pe două drepte neparalele conținute în acel plan. AC și BD se intersectează în punctul O, deci nu sunt paralele; ele se află în planul (ABC).

VO este perpendicular pe două drepte neparalele din planul (ABC), deci VO este perpendicular pe planul (ABC).

Data: 21 februarie 2018