Ce rezolvăm azi?

Problema zilei (februarie 2018)

Pentru arhiva „Problema zilei”, click aici

Un paralelipiped drept are laturile bazei de 6 cm și 10 cm și unghiul dintre ele de 60°. Știind că înălțimea paralelipipedului este de 12 cm, să se afle aria sa totală. (Geometrie, Manual pentru clasa a VIII-a, 1993, problema 4, pagina 63)

Rezolvarea este mai jos pe pagină (click aici).

***

***

Rezolvare

Paralelipipedul este o prismă care are bazele paralelograme, deci are toate fețele paralelograme. Paralelipipedul drept are fețele laterale dreptunghiuri, pentru că muchiile laterale sunt perpendiculare pe planele bazelor.

Aria totală a paralelipipedului este egală cu suma dintre aria laterală și ariile bazelor sale. Aria laterală este egală cu suma ariilor fețelor laterale ale paralelipipedului.

Ne amintim că aria dreptunghiului este egală cu produsul dintre lungimea și lățimea acestuia, iar aria paralelogramului este egală cu produsul dintre lungimea unei laturi și înălțimea corespunzătoare ei.

Aria dreptunghiului este egală cu produsul dintre lungimea și lățimea acestuia, iar aria paralelogramului este egală cu produsul dintre lungimea unei laturi și înălțimea corespunzătoare ei.

Notăm cu ABCDA'B'C'D' paralelipipedul drept din problema noastră. Bazele sale sunt paralelogramele congruente ABCD și A'B'C'D'. Paralelipipedul drept are muchiile laterale perpendiculare pe planele bazelor. Deci fețele sale laterale sunt dreptunghiuri congruente două câte două: ABB'A' congruent cu DCC'D' și BCC'B' congruent cu ADD'A' (nu sunt congruente toate fețele pentru că paralelogramul de la bază are laturile congruente două câte două).

Notăm cu ABCDA'B'C'D' paralelipipedul drept din problema noastră. Bazele sale sunt paralelogramele congruente ABCD și A'B'C'D'. Fețele sale laterale sunt dreptunghiuri congruente două câte două:  ABB'A' congruent cu DCC'D' și BCC'B' congruent cu ADD'A'.

Paralelipipedul drept are muchiile laterale perpendiculare pe planele bazelor. Deci fețele sale laterale sunt dreptunghiuri congruente două câte două.

Aria totală a paralelipipedului este egală cu suma dintre aria laterală și ariile bazelor sale. Aria laterală este egală cu suma ariilor fețelor laterale ale paralelipipedului.

Calculăm ariile fețelor laterale ABB'A' și DCC'D'. Acestea sunt dreptunghiuri congruente care au laturile egale cu 10 cm și 12 cm. Rezultă că ariile lor sunt egale cu 120cm2.

Calculăm ariile fețelor laterale ABB'A' și DCC'D'. Acestea sunt dreptunghiuri congruente care au laturile egale cu 10 cm și 12 cm. Aria dreptunghiului este egală cu produsul dintre lungimea și lățimea sa.

Calculăm ariile fețelor laterale BCC'B' și ADD'A' (dreptunghiuri congruente). Acestea au dimensiunile de 6 cm și 12 cm, deci ariile lor sunt egale cu 72cm2.

Calculăm ariile fețelor laterale BCC'B' și ADD'A'. Acestea sunt dreptunghiuri congruente care au laturile egale cu 6 cm și 12 cm. Aria dreptunghiului este egală cu produsul dintre lungimea și lățimea sa.

Calculăm aria bazei ABCD (paralelogram). Considerăm DE înălțimea corespunzătoare laturii AB, DE perpendicular pe AB, punctul E aparține laturii AB.

Calculăm aria bazei ABCD (paralelogram). Considerăm DE înălțimea corespunzătoare laturii AB, DE perpendicular pe AB, punctul E aparține laturii AB.

Calculăm lungimea înălțimii DE. Triunghiul DEA este dreptunghic în E; ipotenuza AD are lungimea de 6 cm. Măsura unghiului DAB este de 60° (din ipoteză), deci măsura unghiului ADE este de 30°. Cateta care se opune unghiului de 30° are lungimea egală cu jumătate din lungimea ipotenuzei. Deci cateta AE are lungimea de 3 cm. Aplicăm teorema lui Pitagora și calculăm lungimea lui DE (3√3 cm):

Calculăm lungimea înălțimii DE. Triunghiul DEA este dreptunghic în E; ipotenuza AD are lungimea de 6 cm. Cateta care se opune unghiului de 30° are lungimea egală cu jumătate din lungimea ipotenuzei. Deci cateta AE are lungimea de 3 cm. Aplicăm teorema lui Pitagora.

Acum putem calcula aria paralelogramului ABCD: este produsul lungimilor laturii AB și înălțimii DE, adică 10 înmulțit cu 3√3. Obținem că aria paralelogramului ABCD este egală cu 30√3cm2 (egală cu aria paralelogramului A'B'C'D' - cealaltă bază a paralelipipedului ABCDA'B'C'D').

Calculăm aria paralelogramului ABCD.

Calculăm aria totală a paralelipipedului ABCDA'B'C'D':

Calculăm aria totală a paralelipipedului ABCDA'B'C'D'.

Data: 17 februarie 2018