Ce rezolvăm azi?

Problema zilei (februarie 2018)

Pentru arhiva „Problema zilei”, click aici

Trapezul din figura de mai jos are bazele 4 și 12, segmentul MN este paralel cu bazele, M aparține laturii AB, N aparține laturii CD și AM/MB = 4/5. Să se calculeze lungimea segmentului MN. (Geometrie, manual pentru clasa a VII, 1992, problema 15, pagina 63).

Trapezul din figură are bazele 4 și 12, segmentul MN este paralel cu bazele, M aparține laturii AB, N aparține laturii CD și AM/MB = 4/5. Să se calculeze lungimea segmentului MN.

Rezolvarea este mai jos pe pagină (click aici).

***

***

Rezolvare

Trapezul din figură are bazele 4 și 12, segmentul MN este paralel cu bazele, M aparține laturii AB, N aparține laturii CD și AM/MB = 4/5. Să se calculeze lungimea segmentului MN.

Desenăm diagonalele BD și AC ale trapezului; ele intersectează segmentul MN în punctele E și F. Lungimea segmentului MN este egală cu suma lungimilor segmentelor ME și EN.

Calculăm lungimea segmentului MN, ca sumă a lungimilor segmnetelor ME și EN.

Calculăm lungimea segmentului ME. Cum AD și MN sunt paralele, rezultă că triunghiul ABD este asemenea cu triunghiul MBE (conform teoremei fundamentale a asemănarii). Suntem atenți la ordinea în care scriem vârfurile triunghiurilor! Scriem rapoartele de asemănare. Știm că AM/MB este egal cu 4/5. Păstrăm numitorii și adunăm numitorul la fiecare numărător. Obținem două rapoarte egale și calculăm lungimea segmentului ME (lungimea bazei AD a trapezului ABCD este de 4 cm):

Triunghiurile ABD și MBE sunt asemenea; folosim proprietățile proporțiilor derivate (păstrăm numitorii și adunăm numitorii la numărători; obținem două rapoarte egale).

Calculăm lungimea segmentului EN. Deoarece AD, MN și BC sunt segmente paralele și AM/MB este egal cu 4/5, rezultă că DN/NC este egal cu 4/5 (mai multe drepte paralele determină pe două secante segmente proporționale - consecință a teoremei lui Thales). Aplicăm teorema fundamentală a asemănării și obținem că triunghiurile DEN și DBC sunt asemenea (atenție la ordinea scrierii vârfurilor!). Avem două rapoarte egale, păstrăm numărătorii și adunăm numărătorii la numitori. Obținem tot două rapoarte egale (proporții derivate). Calculăm lungimea segmentului EN:

Triunghiurile DEN și DBC sunt asemenea; folosim proprietățile proporțiilor derivate (păstrăm numărătorii și adunăm numărătorii la numitori; obținem două rapoarte egale).

Calculăm lungimea segmentului MN, ca sumă a lungimilor segmentelor ME și EN:

Calculăm lungimea segmentului MN, ca sumă a lungimilor segmnetelor ME și EN.

Data: 15 februarie 2018