Ce rezolvăm azi?

Problema zilei (februarie 2018)

Pentru arhiva „Problema zilei”, click aici

O prismă dreaptă ABCDA'B'C'D' are bazele romburi cu diagonalele de 10 cm și 24 cm. Știind că înălțimea prismei este de 7 cm, să se calculeze aria totală a prismei.

Rezolvarea este mai jos pe pagină (click aici).

***

***

Rezolvare

Aria totală a prismei este egală cu suma dintre aria laterală și ariile bazelor prismei. Aria laterală este egală cu suma ariilor fețelor laterale ale prismei.

O prismă dreaptă ABCDA'B'C'D' are bazele romburi cu diagonalele de 10 cm și 24 cm. Știind că înălțimea prismei este de 7 cm, să se calculeze aria totală a prismei.

Aria totală a prismei este egală cu suma dintre aria laterală și ariile bazelor prismei. Aria laterală este egală cu suma ariilor fețelor laterale ale prismei.

Bazele prismei noastre sunt romburi congruente (ABCD și A'B'C'D'), deci au ariile egale (aria rombului ABCD este egală cu aria rombului A'B'C'D'). Aria unui romb este egală cu jumătate din produsul diagonalelor sale. Diagonalele rombului ABCD au lungimile de 10cm și 24cm, deci aria rombului ABCD este egală cu 120cm2:

Bazele prismei noastre sunt romburi congruente (ABCD și A'B'C'D'), deci au ariile egale (aria rombului ABCD este egală cu aria rombului A'B'C'D'). Aria unui romb este egală cu jumătate din produsul diagonalelor sale. Diagonalele rombului ABCD au lungimile de 10cm și 24cm, deci aria rombului ABCD este egală cu 120.

O prismă dreaptă are muchiile laterale perpendiculare pe planele bazelor. Deci muchiile AA', BB', CC' și DD' sunt perpendiculare pe planele (ABCD) și (A'B'C'D'). Rezultă că fețele laterale sunt dreptunghiuri. Cum bazele prismei sunt romburi (au laturile de aceeași lungime), rezultă că fețele laterale sunt dreptunghiuri congruente. Înălțimea prismei este distanța dintre baze; la prisma dreaptă, înălțimea este egală cu lungimea muchiei laterale, deci lungimea muchiilor laterale este de 7 cm.

Prisma dreaptă are fețele laterale sunt dreptunghiuri.

Calculăm aria dreptunghiului ABB'A'. Aria unui dreptunghi este egală cu produsul lungimilor laturilor sale. Lungimea laturii BB' este de 7 cm. Calculăm lungimea laturii AB. Notăm cu O punctul de intersecție al diagonalelor AC și BD ale rombului ABCD. Diagonalele unui romb sunt perpendiculare și se înjumătățesc. Înseamnă că lungimea segmentului OA este de 5 cm, iar lungimea segmentului OB este de 12 cm. Triunghiul AOB este dreptunghic în O. Aplicăm teorema lui Pitagora și calculăm lungimea ipotenuzei AB:

Triunghiul AOB este dreptunghic în O. Aplicăm teorema lui Pitagora și calculăm lungimea ipotenuzei AB.

Acum știm lungimile laturilor dreptunghiului ABB'A' (7cm și 13 cm). Calculăm aria acestui dreptunghi:

Calculăm aria dreptunghiului ABB'A'.

Am calculat aria unei baze (120cm2) și aria unei fețe laterale (91cm2). Aria totală este egală cu 604cm2:

Calculăm aria totală a prismei.

Data: 13 februarie 2018