Ce rezolvăm azi?

Problema zilei (februarie 2018)

Pentru arhiva „Problema zilei”, click aici

Fie ABCD un trapez. Prelungirile laturilor AB și CD se intersectează în punctul M. Știind că AB egal cu 8 cm, BC egal cu 20 cm, CD egal cu 12 cm și AD egal cu 4 cm, să se calculeze perimetrul triunghiului MBC.

Rezolvarea este mai jos pe pagină (click aici).

***

***

Rezolvare

Perimetrul unui triunghi este egal cu suma lungimilor laturilor sale. Știm că lungimea laturii BC este de 20 cm; trebuie să calculăm lungimile laturilor MB și MC ale triunghiului MBC.

Fie ABCD un trapez. Prelungirile laturilor AB și CD se intersectează în punctul M. Știind că lungimile laturilor AB, BC, CD și AD sunt 8 cm, 20 cm, 12 cm respectiv 4 cm, să se calculeze perimetrul triunghiului MBC.

Avem un trapez ABCD; știm că prelungirile laturilor AB și CD se intersectează în punctul M. Înseamnă că AB și CD sunt laturile neparalele, deci AD este paralel cu BC. Aplicăm teorema fundamentală a asemănării; rezultă două triunghiuri asemenea, MAD și MBC. Scriem rapoartele de asemănare (suntem atenți la ordinea scrierii vârfurilor triunghiurilor; triunghiurile MAD și MBC sunt asemenea, adică unghiul M din triunghiul MAD este congruent cu unghiul M din triunghiul MBC; unghiul A din triunghiul MAD este congruent cu unghiul B din triunghiul MBC; unghiul D din triunghiul MAD este congruent cu unghiul C din triunghiul MBC):

Avem un trapez ABCD; știm că prelungirile laturilor AB și CD se intersectează în punctul M. Înseamnă că AB și CD sunt laturile neparalele, deci AD este paralel cu BC. Rezultă două triunghiuri asemenea, MAD și MBC. Scriem rapoartele de asemănare.

Avem un șir de rapoarte egale; folosim faptul că produsul mezilor este egal cu produsul extremilor și calculăm lungimile segmentelor MB și MC:

Avem un șir de rapoarte egale; folosim faptul că produsul mezilor este egal cu produsul extremilor și calculăm lungimile segmentelor MB și MC.

Acum știm lungimile laturilor triunghiului MBC: BC are lungimea de 20 cm, MB de 10 cm și MC de 15 cm. Perimetrul triunghiului MBC este 45 cm.

Acum știm lungimile laturilor triunghiului MBC: BC are lungimea de 20 cm, MB de 10 cm și MC de 15 cm. Perimetrul triunghiului MBC este 45 cm.

Atenție!

Într-o proporție în care termenii sunt diferiți de 0, produsul extremilor este egal cu produsul mezilor.

Produsul extremilor este egal cu produsul mezilor.

Data: 11 februarie 2018