Ce rezolvăm azi?

Problema zilei (februarie 2018)

Pentru arhiva „Problema zilei”, click aici

Fie ABC un triunghi isoscel, cu lungimile laturilor AB și AC egale cu 5 cm și lungimea bazei BC egală cu 6 cm. Se ridică perpendiculara în A pe planul triunghiului ABC; pe această perpendiculară se ia un punct E astfel încât lungimea segmentului AE să fie egală cu 2√5 cm. Să se calculeze distanța de la punctul E la BC.

Rezolvarea este mai jos pe pagină (click aici).

***

***

Rezolvare

Desenăm figura geometrică. Vom aplica teorema celor trei perpendiculare pentru a calcula distanța de la punctul E la segmentul BC.

Fie ABC un triunghi isoscel, cu lungimile laturilor AB și AC egale cu 5 cm și lungimea bazei BC egală cu 6 cm. Se ridică perpendiculara în A pe planul triunghiului ABC; pe această perpendiculară se ia un punct E astfel încât lungimea segmentului AE să fie egală cu 2√5 cm. Să se calculeze distanța de la punctul E la BC.

Avem AE perpendicular pe planul triunghiului (ABC). În triunghiul isoscel ABC desenăm înălțimea AD, cu D aparține bazei BC. Cum AD și BC sunt incluse în planul (ABC), conform teoremei celor trei perpendiculare rezultă că ED este perpendicular pe BC. Deci distanța de la E la BC este egală cu lungimea segmentului ED.

Aplicăm teorema celor trei perpendiculare.

Aplicăm teorema celor trei perpendiculare.

Vom calcula lungimea segmentului ED. Încadrăm acest segment în triunghiul EAD; triunghiul EAD este dreptunghic în A (pentru că EA este perpendicular pe planul (ABC), deci e perpendicular pe orice dreaptă inclusă în acest plan); ED este ipotenuză. Aplicăm teorema lui Pitagora în triunghiul EAD dreptunghic în A: lungimea pătratului ipotenuzei ED este egală cu suma pătratelor lungimilor catetelor EA și AD. Lungimea lui EA o știm din ipoteză (este 2√5 cm); trebuie să calculăm lungimea catetei AD.

Aplicăm teorema lui Pitagora în triunghiul EAD dreptunghic în A: lungimea pătratului ipotenuzei ED este egală cu suma pătratelor lungimilor catetelor EA și AD. Lungimea lui EA o știm din ipoteză (este 2√5 cm); trebuie să calculăm lungimea catetei AD.

Segmentul AD este catetă și în triunghiul dreptunghic ADB (AD înălțime în triunghiul isoscel ABC). Lungimea ipotenuzei AB este de 5 cm, iar lungimea catetei BD este 3 cm (jumătate din lungimea lui BC, pentru că înălțimea corespunzătoare bazei triunghiului isoscel este și mediană, deci AD este și mediană în triunghiul isoscel ABC). Aplicăm teorema lui Pitagora în triunghiul dreptunghic ADB și calculăm lungimea catetei AD:

Segmentul AD este catetă și în triunghiul dreptunghic ADB (AD înălțime în triunghiul isoscel ABC). Lungimea ipotenuzei AB este de 5 cm, iar lungimea catetei BD este 3 cm (jumătate din lungimea lui BC, pentru că înălțimea corespunzătoare bazei triunghiului isoscel este și mediană, deci AD este și mediană în triunghiul isoscel ABC). Aplicăm teorema lui Pitagora în triunghiul dreptunghic ADB și calculăm lungimea catetei AD.

Am aflat că lungimea lui AD este 4 cm. Calculăm lungimea segmentului ED (distanța de la E la BC). Pentru aceasta, aplicăm teorema lui Pitagora în triunghiul dreptunghic EAD:

Calculăm lungimea segmentului ED (distanța de la E la BC). Pentru aceasta, aplicăm teorema lui Pitagora în triunghiul dreptunghic EAD.

Am aflat că distanța de la E la BC este egală cu 6 cm.

Data: 25 februarie 2018