Ce rezolvăm azi?

Problema zilei (august 2018)

Pentru arhiva „Problema zilei”, click aici

Fie ABCD paralelogram și un punct M situat în interiorul acestuia astfel încât AM să fie perpendicular pe AD și CM perpendicular pe CD. Arătați că BM este perpendicular pe AC.

Rezolvarea este mai jos pe pagină (click aici).

***

***

Rezolvare

Fie ABCD paralelogram și un punct M situat în interiorul acestuia astfel încât AM să fie perpendicular pe AD și CM perpendicular pe CD. Arătați că BM este perpendicular pe AC.

Desenăm paralelogramul ABCD; ne amintim proprietățile principale: laturile sunt paralele și congruente (egale) două câte două, unghiurile opuse sunt congruente (egale), unghiurile alăturate sunt suplementare, adică suma lor este 180°.

Segmentul AM este perpendicular pe latura AD a paralelogramului; cum AD și BC sunt paralele (într-un paralelogram, laturile opuse sunt paralele), înseamnă că AM este perpendicular pe BC. Notăm cu N punctul în care AM se intersectează (întâlnește) cu BC. AM și BC formează un unghi de 90°.

Segmentul CM este perpendicular pe latura CD a paralelogramului; cum AB și CD sunt paralele, rezultă că CM este perpendicular pe AB. Notăm cu P punctul în care CM se intersectează (întâlnește) cu AB. CM și AB formează un unghi de 90°.

Dacă într-un triunghi avem două înălțimi, atunci dreapta care unește cel de-al treilea vârf al triunghiului cu ortocentrul este a treia înălțime a triunghiului (este perpendiculară pe a treia latură).

Privim cu atenție triunghiul ABC. AM este perpendicular pe BC, deci AM este înălțimea corespunzătoare laturii BC în triunghiul ABC. La fel, CM este perpendicular pe AB, deci CM este înălțimea corespunzătoare laturii AB.

Ne amintim că într-un triunghi înălțimile sunt concurente, adică se intersectează într-un punct (numit ortocentrul triunghiului). Deoarece AM și CM sunt înălțimi și se intersectează în punctul M, rezultă că și cea de-a treia înălțime trece prin acest punct. Deci BM este înălțime în triunghiul ABC; înseamnă că BM este perpendicular pe AC.

Deoarece AM și CM sunt înălțimi și se intersectează în punctul M, rezultă că și cea de-a treia înălțime trece prin acest punct. Deci BM este înălțime în triunghiul ABC; înseamnă că BM este perpendicular pe AC.

Reținem o metodă de a arăta că două drepte sunt perpendiculare:

Dacă într-un triunghi avem două înălțimi, atunci dreapta care unește cel de-al treilea vârf al triunghiului cu ortocentrul este a treia înălțime a triunghiului (este perpendiculară pe a treia latură).

Ortocentrul unui triunghi este punctul de intersecție a înălțimilor acestuia.

Data: 7 august 2018