Să desenăm un triunghi isoscel. Exemple
În acest articol
- 1. Să desenăm un triunghi isoscel ABC, cu AB = AC = 3 cm.
- 2. Să desenăm triunghiul isoscel ABC, cu AB = AC, ştiind că m(BAC)= 50° şi AB = 4 cm.
- 3. Să se deseneze triunghiul ale cărui laturi îndeplinesc condiţiile BC = 5 cm, AB = AC = 7 cm.
- 4. Să se deseneze triunghiul isoscel ABC cu vârful în A, care are măsura unghiului ABC de 30° şi baza de 5 cm.
- 5. Laturile congruente (egale) ale triunghiului isoscel ABC măsoară 3 cm fiecare, iar baza este de 8 cm. Să se deseneze triunghiul ABC.
- 6. Fie ABC triunghi isoscel, cu AB = AC. Ştiind că m(DAB) = 25°, BD = 3 cm şi D este mijlocul lui BC, să se deseneze triunghiul ABC.
În articolul Cum sa desenam un triunghi isoscel am învăţat cum putem să desenăm un triunghi isoscel.
Vom rezolva câteva probleme care ne cer să desenăm un triunghi isoscel, în anumite condiţii. Rezolvarea fiecărei probleme este prezentată ca dialog imaginar, sub formă de întrebări şi răspunsuri.
Vom desena triunghiul isoscel în următoarele cazuri:
- ştim lungimea laturilor congruente (egale);
- ştim lungimea laturilor congruente (egale) şi măsura unghiului de la vârful triunghiului isoscel (măsura unghiului dintre laturile egale);
- ştim lungimile tuturor laturilor triunghiului isoscel;
- ştim lungimea bazei triunghiului isocel şi măsura unghiurilor de la baza acestuia;
- ştim jumătate din lungimea bazei şi jumătate din măsura unghiului de la vârful triunghiului isocel.
1. Să desenăm un triunghi isoscel ABC, ştiind că AB = AC = 3 cm.
Ce ni se spune în problemă?
Că triunghiul ABC este isoscel, cu AB = AC = 3 cm.
Ce ni se cere?
Să desenăm triunghiul.
Mai exact, ce înseamnă să desenăm un triunghi?
Să-i desenăm laturile; dacă ni se spun şi măsurile unghiurilor triunghiului, atunci vom desena laturile ţinând seama şi de măsurile unghiurilor dintre ele. Uneori nu se dau toate măsurile unghiurilor din triunghi. În acest caz, trebuie să vedem dacă le putem afla noi.
Ce înseamnă triunghi isoscel?
Triunghiul isoscel este cel care are două laturi congruente (egale). El are şi două unghiuri congruente (egale).
Ni se spune lungimea laturilor?
Doar lungimea laturilor congruente (egale), de 3 cm.
Despre baza triunghiului ce ştim?
Nu se spune nimic.
Dacă nu se spune nimic în problemă despre lungimea bazei triunghiului, ce înţelegem?
Nu se spune lungimea bazei, deci aceasta nu e fixă. Înseamnă că putem desena mai multe triunghiuri isoscele cu laturile AB şi AC de 3 cm, o infinitate de fapt.
Latura BC poate avea orice lungime?
Nu. Baza BC a triunghiului nostru trebuie să respecte o condiţie, şi anume cea referitoare la relaţia dintre laturile unui triunghi, oricare ar fi el: lungimea fiecărei laturi a triunghiului trebuie să fie mai mică decât suma lungimilor celorlalte două laturi.
Înseamnă că latura BC trebuie să fie mai mică decât suma laturilor AB şi AC, adică mai mică decât 3 cm + 3 cm = 6 cm .
Ce ştim despre unghiuri?
Nu se spune nimic în problemă.
Ce condiţie trebuie să îndeplinească unghiurile unui triunghi, oricare ar fi el?
Suma unghiurilor unui triunghi este întotdeauna 180°.
Ştim lungimea laturilor egale. Să vorbim puţin despre unghiul dintre ele. Este unul dintre unghiurile egale ale triunghiului isoscel sau este cel de la vârful triunghiului isoscel?
Este unghiul de la vârful triunghiului isocel; îl notăm BAC sau CAB.
Ce putem spune despre măsura unghiului BAC, format de laturile egale ale triunghiului isocel?
Unghiul BAC poate să aibă măsura cuprinsă între 0° şi 180°.
Putem desena triunghiul ştiind doar lungimea a două laturi?
Da.
Să desenăm ce ştim deja şi apoi vedem dacă mai avem nevoie de alte informaţii. Ce desenăm mai întâi?
Latura AB, de 3 cm.
Să desenăm latura AB, de 3 cm. Să marcăm punctele A şi B, care vor fi vârfuri ale triunghiului.
Ce mai putem desena?
Latura AC, tot de 3 cm.
E nevoie să respectăm vreo condiţie?
AB şi AC trebuie să aibă punctul A comun, să pornească amândouă din A.
Despre unghiul BAC format de AB şi AC nu se spune nimic, deci putem să alegem noi măsura lui. Câte triunghiuri isoscele cu AB = AC = 3 cm putem desena?
O infinitate; unghiul BAC poate fi cuprins între 0° şi 180°.
Bun, să desenăm şi latura AC de 3 cm, pornind din punctul A. Marcăm punctul C, cel de-al treilea vârf al triunghiului.
Am desenat laturile congruente (egale) AB şi AC. Ce lipseşte?
Baza triunghiului, latura BC.
O putem desena şi pe ea?
Da, unim punctele B şi C.
Ce am obţinut?
Triunghiul ABC isoscel, cu laturile AB = AC = 3 cm.
Am rezolvat problema?
Da.
Să mai vorbim puţin despre problema asta. Triunghiul ABC poate să să arate şi altfel sau doar aşa cum l-am desenat noi?
Poate arăta şi altfel, în funcţie de măsura unghiului BAC, pe care o alegem noi, pentru că nu se spune în problemă. Trebuie doar ca AB = AC = 3 cm.
Să mai reţinem şi condiţia pe care trebuie s-o îndeplinească lungimile a trei segmente pentru a putea forma un triunghi: lungimea fiecăreia dintre ele să fie mai mică decât suma lungimilor celorlalte două.
2. Să desenăm triunghiul isoscel ABC, cu AB = AC, ştiind că m(BAC)= 50° şi AB = 4 cm.
Ce se spune în problemă?
Avem un triunghi isoscel ABC, AB = AC, m(BAC) = 50° şi AB = 4 cm.
Să cercetăm puţin ceea ce ni se spune în problemă. Ce înseamnă că triunghiul ABC este isoscel?
Triunghiul ABC este isoscel, deci are două laturi egale şi două unghiuri egale.
Care e vârful triunghiului isoscel? Care sunt unghiurile congruente (egale), laturile congruente (egale), baza triunghiului ABC?
Pentru că AB = AC, rezultă că triunghiul ABC este isoscel cu vârful în A, unghiul ABC este egal cu ACB, AB şi AC sunt laturile congruente (egale), iar baza este BC.
Ştim lungimile laturilor triunghiului?
Ştim că AB = AC = 4 cm.
Ştim măsurile unghiurilor triunghiului?
Ştim măsura unghiului de la vârful triunghiului isoscel, cel format de laturile egale: m(BAC) = 50°.
Putem afla măsurile celorlalte două unghiuri?
Da. Putem afla măsurile unghiurilor congruente (egale), de la baza triunghiului: ABC şi ACB.
Cum?
Suma măsurilor unghiurilor triunghiului este de 180°. Deci
m(BAC) + m(ABC) + m(ACB) = 180°.
Deoarece m(BAC) = 50° şi unghiul ABC este egal cu ACB, rezultă că
50° + 2 × m(ABC) = 180°.
Putem afla măsura unghiului ABC:
m(ABC) =(180° - 50°) : 2 = 65°.
Deci m(ABC) = m(ACB) = 65° şi m(BAC) = 50°. Dacă le adunăm,
65° + 65° + 50° = 180°,
deci am lucrat corect.
Ştim măsurile unghiurilor triunghiului şi mai ştim şi lungimea laturilor congruente (egale). Putem desena triunghiul?
Da.
La problema anterioară am desenat mai întâi latura AB, una dintre laturile congruente (egale). Acum putem începe desenul cu baza BC a triunghiului?
Nu ştim lungimea lui BC, deci nu putem desena segmentul BC, dar putem desena dreapta suport a lui BC. Adică vom desena o dreaptă pe care se va afla segmentul BC. Fixăm punctul B pe ea şi urmează să stabilim unde se află şi punctul C astfel încât să respectăm condiţiile din problemă.
Să desenăm dreapta suport a segmentului BC şi să fixăm punctul B pe ea.
Am desenat dreapta pe care se va afla segmentul BC. Cum continuăm?
Desenăm unghiul cu vârful în punctul B, adică unghiul ABC, cu măsura de 65°. Este suficient să ştim vârful unghiului ABC, adică punctul B. Punctul C este pe dreapta pe care am desenat-o; nu ştim sigur care este, dar deocamdată ne descurcăm doar cu ceea ce ştim. Desenând unghiul ABC, vom găsi dreapta pe care se află punctul A.
Am desenat unghiul ABC, dar doar punctul B ştim sigur unde se află. Putem afla care sunt punctele A şi C?
Putem afla care e punctul A. Ştim că AB = 4 cm, deci măsurăm 4 cm pornind din punctul B pe dreapta pe care se află punctul A.
Să stabilim deci care e punctul A.
Am stabilit care sunt vârfurile A şi B ale triunghiului, avem latura AB şi dreapta suport a lui BC. Ce lipseşte pentru a putea termina desenul triunghiului ABC?
Avem nevoie să stabilim care este punctul C, al treilea vârf al triunghiului.
Ştim că m(ABC) = m(ACB) = 65° şi m(BAC) = 50° şi că laturile AB = AC = 4 cm. Am desenat unghiul ABC, latura AB şi dreapta pe care vom considera latura BC. Ce mai putem desena, având toate aceste date?
Putem desena unghiul BAC, ştim că are 50°, avem deja o latură a lui, pe AB, şi ştim exact care e punctul A, vârful unghiului.
Da. Să vedem, putem desena şi unghiul BCA? Ştim că are 65°.
Nu-l putem desena, pentru că nu ştim unde este punctul C pe dreapta suport a laturii BC. Pentru a desena un unghi, avem nevoie să ştim exact unde se află vârful lui (litera de la mijloc, dacă ţinem seama de notaţia unghiului).
Deci în acest moment putem desena doar unghiul BAC, de 50°. Avem deja o latură a lui, latura AB. Unde va fi punctul C?
Pe dreapta suport a segmentului AC şi pe dreapta suport a bazei BC. Adică la intersecţia celor două.
Să desenăm unghiul BAC.
Ce mai putem afla?
Acum putem afla unde este punctul C.
Cum îl găsim pe C?
Intersectăm dreapta suport a bazei BC cu dreapta suport a laturii AC. Punctul de intersecţie este punctul C.
Putem să ne convingem că l-am găsit într-adevăr pe C?
Da. Măsurăm lungimea segmentului AC şi dacă este de 4 cm, cum se cere în problemă, atunci am rezolvat corect.
Cum mai putem verifica dacă am lucrat corect?
Măsura unghiului ACB trebuie să fie de 65°.
Să măsurăm lungimea segmentului AC şi unghiul ACB. Ce obţinem?
Segmentul AC este de 4 cm, deci AB = AC = 4 cm; măsura unghiului ACB este de 65°. Din ambele moduri de verificare rezultă că am desenat corect triunghiul ABC isoscel, aşa cum ne cere problema. Ştergem prelungirile laturilor triunghiului, pentru că nu mai avem nevoie de ele şi finalizăm desenul.
Am desenat triunghiul isoscel ABC, respectând datele problemei. Am desenat mai întâi dreapta suport a lui BC, apoi unghiurile ABC şi BAC şi l-am găsit şi pe punctul C. Puteam alege să desenăm în altă ordine toate aceste elemente?
Da. Puteam desena triunghiul isoscel la fel cum am procedat la prima problemă, desenând una dintre laturile congruente (egale), de exemplu AB, apoi unghiul dintre ele, adică unghiul BAC, care este vârful triunghiul isoscel. Ar fi urmat apoi latura AC, căreia îi ştim lungimea, de 4 cm. Am fi unit punctele B şi C şi am fi obţinut şi baza BC.
Am văzut două moduri de a desena un triunghi isoscel. Alegem rezolvarea care ne place mai mult, dar e important să o înţelegem şi pe cealaltă.
3. Să se deseneze triunghiul ale cărui laturi îndeplinesc condiţiile BC = 5 cm, AB = AC = 7 cm.
Ce se spune în problemă?
Se spune că triunghiul ABC este isoscel şi că are laturile de 5 cm, 7 cm şi 7 cm.
Ce se cere?
Să desenăm triunghiul.
Ce înseamnă că triunghiul ABC este isoscel?
Înseamnă că triunghiul ABC are două laturi egale (congruente) şi două unghiuri egale (congruente).
Se dau lungimile tuturor laturilor triunghiului. Ce trebuie să verificăm mai întâi?
Trebuie să vedem dacă există un triunghi ale cărui laturi au 5 cm, 7 cm şi 7 cm.
Care este condiţia pe care trebuie s-o îndeplinească lungimile laturilor unui triunghi?
Lungimea fiecărei laturi trebuie să fie mai mică decât suma lungimilor celorlalte două laturi.
Să scriem această condiţie pentru fiecare latură a triunghiului şi să vedem dacă e îndeplinită.
AB < AC + BC, adică 7 < 7 + 5
AC < AB + BC, adică 7 < 7 + 5
BC < AB + AC, adică 5 < 7 + 7
Deci lungimea fiecărei laturi este mai mică decât suma celorlalte două laturi; asta înseamnă că există triunghiul ABC cu laturile de 5 cm, 7 cm şi 7 cm. Să începem să-l desenăm. Ce desenăm mai întâi?
Să desenăm latura AB de 7 cm.
Mai trebuie să desenăm baza BC şi latura AC.
Desenăm latura BC, de 5 cm.
Să desenăm şi latura AC, de 7 cm. Trebuie să unim pe A cu punctul C; dacă am lucrat corect, atunci AC are 7 cm.
E o problemă, AC nu are 7 cm.
Avem AB de 7 cm şi BC de 5 cm, dar AC nu respectă condiţia din problemă şi nu are 7 cm. Totuşi, am văzut că triunghiul ABC cu laturile de 5 cm, 7 cm şi 7 cm există. Care e explicaţia?
Ni s-au spus doar lungimile laturilor triunghiului, fără să ni se dea măsura vreunui unghi. Adevăratul punct C îndeplineşte două condiţii: AC = 7 cm şi BC = 5cm. Punctul C pe care l-am considerat noi îndeplineşte doar o condiţie: BC = 5 cm.
Asta înseamnă că trebuie să găsim punctul C astfel încât să fie îndeplinite două condiţii în acelaşi timp: AC = 7 cm şi BC = 5 cm. Cum mai putem spune aceste condiţii, folosind altă exprimare?
Punctul C trebuie să se afle la 5 cm de punctul B şi la 7 cm de punctul A.
Câte posibilităţi avem ca punctul C să se afle la 7 cm de punctul A?
O infinitate de posibilităţi. Există o infinitate de puncte în jurul lui A astfel încât AC să aibă 7 cm.
Să desenăm şi noi câteva variante ale segmentului AC, astfel încât să aibă lungimea de 7 cm. Să desenăm în toate direcţiile, pentru a avea o imagine cât mai clară.
Am desenat câteva segmente cu lungimea de 7 cm, pornind din punctul A. Avem deci punctul A fixat şi în jurul lui am desenat puncte care se află la 7 cm de el. Ce concluzie putem desprinde?
Toate punctele care sunt la 7 cm de punctul A se află pe cercul care are centrul în punctul A şi are raza de 7 cm. Chiar definiţia cercului este aceasta: "Cercul este figura geometrică alcătuită din toate punctele din plan care se află la aceeaşi distanţă de un punct fix, numit centrul cercului." În cazul nostru, punctul fix (centrul) este punctul A. Deci condiţia ca latura AC să aibă 7 cm ne-a condus la concluzia că punctul C se află pe cercul cu centrul în A şi de rază 7 cm. Punctul B se află şi el pe acest cerc pentru că AB are 7 cm; s-a întâmplat ca în această problemă să avem un triunghi isoscel, cu două laturi de 7 cm.
Acesta este un rezultat important. Avem două condiţii pe care trebuie să le îndeplinească punctul C, în acelaşi timp: să fie la 7 cm de punctul A şi la 5 cm de punctul B. Să vedem acum ce înseamnă că se află la 5 cm de punctul B.
Există o infinitate de posibilităţi ca punctul C să se afle la 5 cm de punctul B. Desenăm câteva dintre ele, în toate direcţiile.
Punctul C se află la 5 cm de punctul B, deci se află pe cercul cu centrul în punctul B şi de rază 5 cm.
Punctul C trebuie să se află în acelaşi timp la 7 cm de A şi la 5 cm de B. Ce înseamnă acest lucru?
Punctul C trebuie să se afle pe cercul cu centrul în A, de rază 7 cm şi în acelaşi timp trebuie să fie şi pe cercul cu centrul în B, de rază 5 cm. Deci punctul C este la intersecţia celor două cercuri. Acestea se pot intersecta într-un punct, în două puncte sau pot să nu aibă niciun punct comun. Triunghiul nostru ABC există, am arătat mai devreme că îndeplineşte condiţia privind lungimile laturilor, deci cele două cercuri au două puncte comune. Oricare dintre aceste puncte comune se află la 7 cm de A şi la 5 cm de B.
Am găsit două variante pentru punctul C, ambele îndeplinind condiţiile ca AC să fie de 7 cm şi BC de 5 cm. Putem desena triunghiul ABC?
Da. Putem alege oricare dintre cele două variante ale punctului C, aşa cum am arătat deja. Ştergem construcţiile ajutătoare (cercurile şi pe cea de-a doua variantă a punctului C), astfel încât să rămână pe desen doar segmentul AB şi punctul C ales. Unim pe C cu A şi cu B şi obţinem triunghiul ABC isoscel, cu AB = AC = 7 cm şi BC = 5 cm.
Am găsit un mod de a desena triunghiul ABC isoscel, cu AB = AC = 7 cm şi BC = 5 cm. Putem desena acest triunghi şi altfel?
Da.
Cum îl mai putem desena?
Desenăm mai întâi baza BC a triunghiului, de 5 cm.
Desenăm mediatoarea bazei BC, pentru că ne amintim că orice punct de pe mediatoarea unui segment este egal depărtat de capetele segmentului. Noi avem nevoie să găsim punctul A de data aceasta, aflat la 7 cm atât de B, cât şi de C. Punctul A este egal depărtat de B şi de C (la 7 cm de fiecare dintre aceste puncte), deci se află pe mediatoarea bazei BC.
Folosind rigla, vom desena segmentul AB de 7 cm. Punctul B îl avem deja desenat, trebuie să stabilim unde este punctul A. Punctul A se află pe mediatoarea bazei BC. Cu rigla, măsurăm 7 cm de la punctul B la mediatoarea bazei BC. Aşa putem determina punctul A.
A mai rămas să unim punctele A şi C, pentru a finaliza triunghiul nostru. Pentru a ne verifica, măsurăm şi lungimea segmentului AC, care este tot de 7 cm.
Ştergem construcţiile ajutătoare (mijlocul bazei BC şi mediatoarea ei) şi am obţinut triunghiul ABC isoscel, cu AB = AC = 7 cm şi BC = 5 cm.
Am desenat triunghiul isoscel ABC în două moduri. De fapt, ambele veriante presupun folosirea mediatoarei şi a proprietăţilor ei.
4. Să se deseneze triunghiul isoscel ABC cu vârful în A, care are măsura unghiului ABC de 30° şi baza de 5 cm.
Ce ni se spune în problemă?
Se dă triunghiul ABC isoscel, care are vârful în punctul A, baza de 5 cm şi măsura unghiului ABC de 30°.
Ce se cere?
Să desenăm triunghiul.
Să analizăm puţin datele problemei. Ce înseamnă că triunghiul ABC este isoscel?
Înseamnă că are două laturi egale şi două unghiuri egale (unghiurile care se află în faţa laturilor egale sunt egale sau mai putem spune că unghiurile care se opun laturilor egale sunt egale; e vorba de acelaşi lucru, dar spus în moduri diferite. Se mai poate spune şi aşa: "laturile care privesc spre unghiurile egale sunt egale").
Ce înseamnă că vârful triunghiului isoscel este în punctul A?
Înseamnă că latura BC este baza triunghiului isoscel şi laturile AB şi AC sunt egale (latura care "priveşte" spre vârful triunghiului isoscel este baza triunghiului, iar celelalte două laturi sunt egale).
Am descoperit o informaţie foarte importantă, aceea că BC este baza triunghiului isoscel ABC. Ştim că BC este de 5 cm, deci o putem desena. Să o desenăm.
Putem afla acum care sunt unghiurile egale?
Da, unghiurile egale sunt cele alăturate bazei BC, adică unghiul ABC este egal cu ACB.
Care este unghiul de la vârful triunghiului isoscel?
Unghiul BAC este cel de la vârful triunghiului isocel.
Se dă în problemă măsura vreunui unghi?
Da, se spune că unghiul ABC este de 30°.
Unghiul ABC este cel de la vârful triunghiului isoscel sau este unul dintre unghiurile egale de la baza triunghiului?
Unghiul ABC este de la baza triunghiului, el este egal cu ACB şi fiecare are 30°.
Acum ştim şi măsurile a două unghiuri ale triunghiului isoscel:
m(ACB) = m(ABC) = 30°.
Să desenăm aceste unghiuri.
Am desenat baza triunghiului şi unghiurile congruente (egale) de la baza lui. Cum continuăm?
Finalizăm desenul triunghiului isoscel. Punctul în care se întâlnesc laturile necomune ale unghiurilor egale este punctul A, vârful triunghiului isoscel.
Ştergem prelungirile laturilor AB şi AC şi obţinem triunghiul ABC isocel, cu baza de 5 cm şi măsura unghiului ABC de 30°.
Am rezolvat problema. Să mai vorbim totuşi puţin despre ea. Putem afla măsura unghiului BAC, cel de la vârful triunghiului isocel?
Da. Unghiul ACB este egal cu ABC, deci are 30°:
m(ACB) = m(ABC) = 30°,
iar pentru a afla măsua unghiului BAC folosim faptul că suma măsurilor unghiurilor unui triunghi este întotdeauna 180°.
Să calculăm măsura unghiului BAC.
Deoarece toate trei unghiurile triunghiul ABC au împreună 180°, iar două dintre ele au împreună 60°, rezultă că cel de-al treilea unghi are
180° - 60° = 120°.
Deci măsura unghiului BAC este de 120°.
Am aflat măsurile unghiurilor triunghiului: 30°, 30° şi120°. Să măsurăm unghiul BAC şi pe desenul nostru, să ne convingem că am lucrat corect.
Am rezolvat problema. Am desenat triunghiul isoscel ştiind măsura unghiului de la baza triunghiului şi lungimea bazei. Am folosit faptul că triunghiul isoscel are două unghiuri congruente (egale) şi că suma măsurilor unghiurilor unui triunghi este 180°.
5. Laturile congruente (egale) ale triunghiului isoscel ABC măsoară 3 cm fiecare, iar baza este de 8 cm. Să se deseneze triunghiul ABC.
Ce se spune în problemă?
Avem triunghiul ABC isoscel şi cunoaştem toate lungimile laturilor lui:
AB = AC = 3 cm şi BC = 8 cm.
Ce se cere?
Să desenăm triunghiul ABC.
Ştim lungimile laturilor triunghiului pe care trebuie să-l desenăm. Ce trebuie să facem mai întâi?
Verificăm dacă există triunghiul cu laturile de 3 cm, 3 cm şi 8 cm.
Care este condiţia pe care trebuie s-o îndeplinească trei segmente pentru a putea forma un triunghi?
Lungimea unui segment trebuie să fie mai mică decât suma lungimilor celorlalte două segmente.
Deci lungimea fiecărei laturi a triunghiului trebuie să fie mai mică decât suma lungimilor celorlalte două.
Să vedem dacă lungimile laturilor triunghiului ABC verifică această condiţie, înainte de a începe să-l desenăm.
Verificăm pentru latura AB: AB < BC + AC, adică 3 cm < 8 cm + 3 cm. Este adevărat, pentru că 3 cm < 11 cm.
Verificăm pentru latura AC: AC < AB + BC, adică 3 cm < 3 cm + 8 cm. Este adevărat, pentru că 3 cm < 11 cm.
Verificăm pentru latura BC: BC < AB + AC, adică 8 cm < 3 cm + 3 cm. Nu este adevărat, pentru că 8 cm > 6 cm. Deci lungimea laturii BC nu este mai mare decât suma lungimilor laturilor AB şi AC.
Înseamnă că triunghiul ABC cu laturile de 3 cm, 3 cm şi 8 cm nu există.
Triunghiul ABC cu laturile de 3 cm, 3 cm şi 8 cm nu există, deci ne oprim aici.
Trebuie să reţinem că atunci când ni se dau în problemă toate lungimile laturilor triunghiului, primul lucru pe care trebuie să-l facem este să verificăm dacă acel triunghi există. Dacă lungimea fiecărei laturi este mai mică decât suma lungimilor celorlalte două laturi, atunci triunghiul există şi putem continua să desenăm triunghiul.
6. Fie ABC triunghi isoscel, cu AB = AC. Ştiind că m(DAB) = 25°, BD = 3 cm şi D este mijlocul lui BC, să se deseneze triunghiul ABC.
Ce se spune în problemă?
Triunghiul ABC este isoscel, cu AB = AC şi BC = 3 cm. Punctul D este mijlocul lui BC şi măsura unghiului DAB este de 25°.
Să vedem care sunt elementele triunghiului isoscel. Care este baza triunghiului şi care sunt laturile egale?
Baza este BC şi laturile egale sunt AB şi AC.
Ştim lungimea lor?
Nu, dar putem afla lungimea bazei BC.
Cum aflăm lungimea bazei BC?
În problemă se spune că punctul D este mijlocul lui BC - deci punctul D împarte baza BC în două părţi egale: BD şi CD. Se mai spune că BD este de 3 cm. Asta înseamnă că şi CD este tot de 3 cm, deci BC este de 3 cm + 3 cm = 6 cm.
BC = BD + CD = 3 cm + 3 cm = 6 cm.
Să desenăm baza BC de 6 cm şi să marcăm şi mijlocul ei, punctul D.
Care sunt unghiurile de la baza triunghiului şi care e unghiul de la vârful lui?
Vârful triunghiului isoscel ABC este A, deci unghiul de la vârful triunghiului este BAC. Unghiurile egale de la baza triunghiului sunt ABC şi ACB.
Ştim măsurile unghiurilor triunghiului?
Nu.
Putem să le aflăm?
Ştim măsura unghiului DAB, D fiind mijlocul bazei BC. Acest lucru ne ajută să aflăm măsurile unghiurilor triunghiului.
Să ne gândim cum.
Ştim că D este mijlocul bazei BC şi că A este vârful triunghiului isoscel. Deci AD este mediană în triunghiul ABC isoscel.
Ce ştim despre mediana corespunzătoare bazei în triunghiul isoscel?
Mediana corespunzătoare bazei este şi înălţime şi bisectoare.
Cum ne ajută acest lucru?
Înseamnă că AD este mediană pentru BC, înălţime din A pe BC - deci mediatoare pentru BC - şi bisectoare pentru unghiul BAC.
Să desenăm şi noi dreapta suport pe care se află segmentul AD.
Vom desena mediatoarea bazei BC, adică vom duce perpendiculara pe BC, prin punctul D, care este mijlocul ei. Ne amintim că orice punct de pe această mediatoare formează cu baza BC un triunghi isoscel. Dar noi trebuie să găsim punctul (sau punctele) care îndeplinesc şi condiţia din problema noastră, şi anume unghiul format de această mediatoare cu latura AB să aibă măsura de 25°.
Putem face legătura între tot ce am descoperit deja, astfel încât să mai aflăm ceva?
Da, putem. Ni se spune că unghiul DAB este de 25°. Unghiul DAB este unghiul format de AD şi latura AB şi ştim că AD este şi bisectoare. Înseamnă că AD împarte unghiul BAC în două părţi egale (adică în jumătate), iar unghiul DAB este una dintre aceste părţi. Deci unghiurile DAB şi DAC sunt egale.
E un pas important. Ce mai putem afla?
Am descoperit că unghiurile DAB şi DAC sunt egale, deci au aceeaşi măsură, şi anume 25°. Putem afla măsura unghiului BAC de la vârful triunghiului isoscel, pentru că este format din unghiul DAB şi unghiul DAC:
m(BAC) = m(DAB) + m(DAC) = 25° + 25° = 50°.
Deci măsura unghiului BAC este de 50°.
Am aflat măsura că unghiului BAC de la vârful triunghiului isoscel este de 50°. Putem afla şi măsurile celorlalte două unghiuri ale triunghiului?
Da. Triunghiul ABC este isoscel, deci are două unghiuri egale, pe ABC şi ACB, cum am stabilit mai sus. Ştim că măsura unghiului BAC de la vârful triunghiului este 50° şi mai ştim că suma măsurilor unghiurilor unui triunghi este de 180°. Deci putem afla măsura unghiurilor egale ABC şi ACB.
Cum?
Din totalul de 180° scădem măsura unghiului BAC şi aflăm câte grade au împreună unghiurile egale ABC şi ACB.
180° - 50° = 130°
Acum putem afla câte grade au unghiurile ABC şi ACB, împărţind 130° la 2, pentru că cele două unghiuri sunt egale:130° : 2 = 65°
Deci m(ABC) = m(ACB) = 65°.
Am aflat măsurile unghiurilor triunghiului: m(BAC) = 50° şi m(ABC) = m(ACB) = 65°. Mai ştim că BC este de 6 cm. Putem desena triunghiul ABC? Avem destule date?
Acum da, putem desena triunghiul.
Am desenat deja baza BC. Cum continuăm?
Desenăm unghiurile ABC şi ACB de la baza triunghiului. Ştim că măsura fiecăruia este de 65°.
Avem baza triunghiului şi unghiurile ABC şi ACB. Ce urmează?
Avem vârfurile B şi C ale triunghiului, mai rămâne să stabilim care este vârful A.
Cum?
Vârful A se află la intersecţia laturilor necomune ale unghiurilor ABC şi ACB. Latura lor comună este BC, iar celelalte două laturi nu sunt comune unghiurilor. Punctul în care se întâlnesc este vârful A pe care-l căutăm.
Am desenat triunghiul ABC, aşa cum ni s-a cerut. Problema aceasta a fost puţin mai grea decât celelalte, să o analizăm puţin. Ce a fost diferit faţă de primele probleme?
Ni s-a dat măsura unghiului format de bisectoarea unghiului de la vârful triunghiului isoscel cu o latură a triunghiului. Am putut să aflăm toate măsurile unghiurilor triunghiului pentru că am ştiut că în triunghiul isoscel, mediana bazei este şi înălţime şi bisectoare pentru unghiul de la vârful acestuia.
Şi mai ştim că bisectoarea unui unghi îl împarte în jumătate. Aşa am putut să aflăm măsura unghiului de la vârful triunghiului isoscel.
Apoi ne-am amintit că suma măsurilor unghiurilor unui triunghi este de 180° şi că într-un triunghi isoscel avem unghiurile de la bază egale.
Toate astea ne-au ajutat să calculăm măsurile unghiurilor triunghiului şi apoi am putut să-l desenăm.
A fost nevoie să ştim mai multe proprietăţi ale triunghiului oarecare şi ale triunghiului isoscel. Folosindu-le ca şi cum ar fi fost piesele unui puzzle, am reuşit să desenăm triunghiul.
Data: 15 februarie 2017