Cum desenăm un triunghi isoscel

"Fie ABC un triunghi isoscel..." - aşa încep multe probleme de geometrie. Pentru a le rezolva, avem nevoie să desenăm un triunghi isoscel, deci trebuie să ştim ce este acesta şi care sunt proprietăţile lui.

Triunghiul isoscel

1. Despre triunghiul isoscel

are două laturi egale (în limbaj matematic, spunem că sunt congruente). Cea de-a treia latură se numeşte baza triunghiului isoscel;
are unghiurile de la bază egale (congruente). Vârful unghiului opus bazei se numeşte vârful triunghiului isoscel;
medianele (respectiv bisectoarele şi înălţimile) corespunzătoare laturilor egale (congruente) sunt egale (congruente) şi se întâlnesc pe bisectoarea unghiului de la vârf;
înălţimea corespunzătoare bazei este şi mediană pentru aceasta (deci mediatoare); totodată este bisectoare pentru unghiul de la vârf.

2. Să desenăm triunghiul isoscel. Metode

  1. folosim mediatoarea corespunzătoare bazei:
    1. desenăm mediatoarea ca perpendiculara dusă prin mijlocul unui segment;

      SAU
    2. desenăm mediatoarea cu ajutorul cercurilor cu centrele în vârfurile unghiurilor de la baza triunghiului isoscel.

  2. folosim faptul că triunghiul isoscel are două laturi congruente (egale);
  3. folosim faptul că triunghiul isoscel are două unghiuri congruente (egale);
  4. folosim alte proprietăţi ale triunghiului isoscel.

2.1. Metoda 1: Folosim mediatoarea

Despre mediatoare

Mediatoarea unui segment este perpendiculara dusă prin mijlocul acelui segment. Orice segment are o mediatoare şi numai una, indiferent de lungimea şi poziţia lui. Pentru a desena mediatoarea unui segment, stabilim care e mijlocul segmentului şi prin acest punct ducem perpendiculara pe segment. Această perpendiculară este mediatoarea segmentului.

În triunghiul isoscel, mediatoarea corespunzătoare bazei este şi înălţime şi mediană, deci conţine vârful triunghiului isoscel. Ea este şi bisectoare pentru unghiul format de laturile egale. Doar mediatoarea care porneşte din vârful triunghiului isoscel (deci cea corespunzătoare bazei, adică laturii necrongruente) este înălţime, mediană şi bisectoare. Celelalte două mediatoare nu au această proprietate.

Am desenat mediatoarea unui segment ca perpendiculara dusă prin mijlocul segmentului respectiv. Dar ce ne facem dacă nu ştim exact care e mijlocul unui segment?

Putem să desenăm mediatoarea unui segment fără să ştim exact care e mijlocul lui?

... da, putem! Poate nu ştim care e mijlocul segmentului, dar putem să apreciem cu ochiul liber cam cât înseamnă ceva mai mult decât jumătate din segmentul nostru. De exemplu, am apreciat în desenul de mai jos că segmentul BD este mai mare decât jumătate din lungimea segmentului BC.

Mai departe, desenăm două cercuri cu razele egale cu BD. Şi încă ceva: primul cerc să aibă centrul într-un capăt al segmentului (în B), cel de-al doilea cerc cu centrul în celălalt capăt al segmentului (în C).

Vedem că cele două cercuri au două puncte comune: M şi M'. Mai observăm că BM = BM' = CM = CM' pentru că cele două cercuri au razele egale şi BM, BM' sunt razele primului cerc şi CM, CM' sunt razele celui de-al doilea cerc. Înseamnă că patrulaterul BMCM' are toate laturile egale, deci este romb. Diagonalele unui romb se înjumătăţesc şi sunt perpendiculare... iar în cazul nostru, BC şi MM' sunt diagonalele rombului BMCM'. Rezultă că MM' trece prin mijlocul lui BC şi este perpendiculară pe BC, exact condiţiile pe care trebuie să le aibă mediatoarea. Deci MM' este mediatoarea lui BC.

De fapt, dreapta care conţine segmentul MM' este mediatoarea segmentului BC (pe desen am marcat-o cu linie punctată), deci oricum am lua două puncte pe acestă dreaptă, obţinem un segment care e mediatoare pentru BC. Şi orice punct de pe dreapta suport a lui MM' este egal depărtat de B şi de C pentru că formează cu B şi cu C două triunghiuri dreptunghice congruente.

Am desenat mediatoarea segmentului BC fără să fi ştiut sigur care e mijlocul lui.

Ideea pe care trebuie s-o reţinem este că orice punct de pe mediatoarea unui segment este egal depărtat de capetele acestuia; deci pornind de la un segment, putem desena o infinitate de triunghiuri isoscele cu vârful pe mediatoarea lui, baza fiind aceeaşi pentru toate aceste triunghiuri - segmentul respectiv.

Întotdeauna vârful triunghiului isoscel se află pe mediatoarea bazei triunghiului. Mai putem spune şi aşa:

Vârful triunghiului isoscel se află pe perpendiculara dusă prin mijlocul bazei triunghiului.

Să desenăm triunghiul isoscel, folosindu-ne de proprietăţile mediatoarei.

2.1.a. Varianta 1: Mediatoarea - perpendiculara dusă prin mijlocul unui segment

  1. Desenăm un segment care va fi baza triunghiului isoscel; notăm capetele cu literele B şi C. Putem nota cu ce litere vrem, am ales să notăm vârful triunghiului cu A şi baza să fie BC, dar nu e obligatoriu.

  2. Stabilim mijlocul segmentului BC, pe care-l notăm cu litera D.

  3. Prin punctul D ducem perpendiculara pe BC (aceasta va fi mediatoarea segmentului BC).

  4. Alegem un punct A pe această mediatoare. Punctul A va forma cu B şi C un triunghi isoscel.

  5. Unim punctul A cu B şi C şi obţinem un triunghi ABC cu două laturi egale, AB = AC. Deci triunghiul ABC este isoscel cu vârful în A.

Dacă vrem un triunghi mai "turtit", alegem punctul A mai aproape de baza BC. Dacă vrem un triunghi mai "înalt", alegem punctul A mai îndepărtat de BC.

Dacă alegem punctul A astfel încât AB = AC = BC, atunci triunghiul ABC va fi echilateral.

Dacă alegem punctul A astfel încât AB să fie perpendiculară pe AC, atunci triunghiul ABC va fi dreptunghic isoscel.

În general, dacă în problemă ni se cere se desenăm un triunghi isoscel, este bine să ne ferim să-l desenăm echilateral sau dreptunghic isoscel.

Pe caietul de matematică, cu pătrăţele

Am desenat triunghiul isoscel folosind doar rigla. Dacă avem un caiet de matematică, cu pătrăţele, atunci putem desena triunghiul isoscel cu mâna liberă, fără instrumente geometrice. De exemplu:

  1. desenăm baza BC a triunghiului de 10 pătrăţele;Am ales număr par pentru că vreau ca jumătatea segmentului să fie număr întreg de pătrăţele şi astfel să pot folosi liniatura caietului atunci când voi desena perpendiculara prin mijlocul lui.

  2. îi stabilim mijlocul D cu BD = CD = 5 pătrăţele;

  3. desenăm perpendiculara dusă prin D pe BC (folosim liniatura caietului);

  4. alegem un punct A pe această perpendiculară (ne ferim să obţinem un triunghi echilateral sau dreptunghic isoscel, dacă nu ni se cere aşa ceva);

  5. unim punctul A cu B şi cu C şi obţinem triunghiul isoscel ABC cu AB = AC;

  6. ştergem elementele ajutătoare: punctul D şi perpendiculara prin D (dacă nu ni se cer în problemă).

După ce ne obişnuim să desenăm triunghiul isoscel, nu va mai fi nevoie să marcăm cu creionul mijlocul bazei, nici să desenăm mediatoarea, mai ales dacă folosim un caiet de matematică (cu pătrăţele). Va fi suficient să "vedem" cu ochii minţii aceste elemente ajutătoare. Desenăm capetele segmentului care va fi baza triunghiului, de preferat un număr par de pătrăţele (pentru a putea folosi liniatura caietului atunci când desenăm perpendiculara), stabilim mijlocul lui, fără să-l marcăm cu creionul, doar îl vedem, apoi vedem perpendiculara prin acest punct pe bază. Alegem un punct pe această perpendiculară şi-l marcăm cu creionul. Acesta va fi vârful triunghiului isoscel. Îl unim cu capetele bazei triunghiului şi obţinem un triunghi isoscel.

2.1.b. Varianta 2: Mediatoarea - determinată de cercurile cu centrele în vârfurile de la baza triunghiului

  1. Desenăm un segment AB care va fi baza triunghiului isoscel.

  2. Vom desena un cerc cu raza o mai mare decât jumătate din lungimea lui AB şi cu centrul în punctul A.

  3. Vom desena încă un cerc cu raza egală cu cea a primului cerc şi cu centrul în punctul B.

  4. Observăm că cele două cercuri se intersectează în două puncte, pe care le notăm cu M şi M'.Unim aceste puncte şi obţinem mediatoarea lui AB. Orice punct de pe această mediatoare MM' este egal depărtat de A şi de B şi deci poate fi vârful unui triunghi isoscel cu baza AB. De obicei, vârful triunghiului isoscel se consideră chiar punctul M sau M'.

Dacă vom lua raza chiar lungimea segmentului AB, atunci vom obţine un triunghi echilateral, cu toate laturile egale.

Dacă raza cercurilor este egală cu jumătate din lungimea bazei AB, atunci cercurile se vor intersecta într-un singur punct, mijlocul lui AB.

Dacă raza este mai mică decât jumătate din lungimea lui AB, atunci cele două cercuri nu au puncte comune.

Astfel, dacă vrem să desenăm mediatoarea cu ajutorul cercurilor cu centrele în capetele segmentului, avem nevoie ca razele lor să fie egale şi mai mari decât jumătate din lungimea segmentului AB.

Să desenăm triunghiul isoscel, folosindu-ne de proprietăţile acestuia.

2.2 Metoda 2: Folosim faptul că triunghiul isoscel are două laturi congruente (egale)

Definiţia triunghiului isoscel ne spune că acesta are două laturi congruente (egale). Înseamnă că avem nevoie să desenăm două segmente de aceeaşi lungime, care pornesc din acelaşi punct. Acestea vor fi laturile congruente (egale) ale triunghiului isoscel, iar punctul din care pornesc va fi vârful triunghiului isoscel. Baza o desenăm unind capetele libere ale celor două laturi egale.

  1. Desenăm una dintre laturile congruente ale triunghiului isoscel, folosind rigla gradată pentru a-i măsura lungimea.

  2. Desenăm un segment de aceeaşi lungime, având grijă ca cele două segmente să pornească din acelaşi punct. Acestea vor fi laturile congruente (egale) ale triunghiului isoscel.

  3. Unim capetele libere ale celor două segmente desenate pentru a finaliza triunghiul isoscel (în desenul de mai jos, triunghiul isoscel are vârful în A).

2.3 Metoda 3: Folosim faptul că triunghiul isoscel are două unghiuri congruente (egale)

Triunghiul isoscel are două unghiuri congruente (egale). Putem folosi această proprietate pentru a-l desena; hotărâm care va fi măsura unghiurilor congruente (egale), desenăm două unghiuri care au această măsură şi o latură comună (care va fi baza triunghiului) şi apoi unim laturile necomune.

Cum alegem măsura unghiurilor congruente (egale) de la baza triunghiului isoscel?

În jurul unui punct oarecare putem desena un unghi cu măsura cuprinsă între 0° şi 360°. Dacă vrem să desenăm un triunghi, atunci avem de îndeplinit o condiţie în ceea ce priveşte unghiurile: suma măsurilor unghiurilor să fie 180°. Nici mai mult, nici mai puţin: fix 180°.

Dacă vrem să desenăm un triunghi isoscel, se mai adaugă o condiţie: suma măsurilor unghiurilor să fie 180° şi să avem două unghiuri congruente (egale). Asta înseamnă că măsura unuia dintre unghiurile congruente (egale), pe care o notăm cu x°, este cuprinsă între 0° şi 90°, adică de la 0,...° la 89,...°:

0° < x° < 90°

De ce măsura unuia dintre unghiurile congruente (egale) de la baza triunghiului isoscel trebuie să fie cuprinsă între 0° şi 90°? Cum explicăm?

Presupunem prin absurd că avem un triunghi isoscel în care unghiurile congruente (egale) de la baza lui au fiecare 90°. Asta înseamnă că împreună au 90° × 2 = 180°. Noi ştim însă că suma măsurilor unghiurilor unui triunghi este 180° şi că mai avem un unghi, pe cel de la vârful triunghiului, deci avem nevoie să-i lăsăm şi lui câteva grade, nu le putem împărţi pe cele 180° doar între unghiurile congruente (egale). Asta înseamnă să "luăm" de la fiecare unghi de la bază un număr egal de grade (pentru a rămâne congruente) pe care să le dăm unghiului de la vârf. Astfel, ajungem la concluzia că unghiurile de la baza triunghiului isoscel trebuie să fie mai mici de 90°.

Adevărat sau fals? De ce?

"Într-un triunghi isoscel, măsura unghiurilor de la bază nu poate fi de 90° (fiecare)."

Răspuns

"Într-un triunghi isoscel, măsura unuia dintre unghiurile congruente nu poate fi mai mare de 90°."

Răspuns

"Într-un triunghi isoscel, măsura unghiului de la vârful triunghiului poate fi de 90°."

Răspuns

"Într-un triunghi isoscel, măsura unghiului de la vârf poate fi mai mare de 90°."

Răspuns

Dacă ştim măsura unui unghi al triunghiului isoscel, putem afla măsurile celorlalte unghiuri. Putem desena triunghiul isoscel în mai multe moduri, începând cu unghiul de la baza lui sau de la vârf, după cum dorim. Este suficient să desenăm două unghiuri ale triunghiului isoscel şi să unim laturile lor necomune.

Înainte de a desena triunghiul isoscel, avem nevoie să ştim cât măsoară fiecare unghi al lui (e posibil să ni se spună în problemă cât măsoară fiecare unghi sau poate ni se spune măsura unuia şi noi aflăm măsurile celorlalte două unghiuri). După ce aflăm măsura fiecărui unghi, putem desena triunghiul isoscel astfel.

De exemplu, ştim că unghiul de la vârful triunghiului isoscel este de 110°. Să desenăm triunghiul isoscel.

Mai întâi, aflăm măsurile celorlalte două unghiuri. Ştim unghiul de la vârf, mai trebuie să aflăm unghiurile congruente de la baza triunghiului. Dacă unghiul de la vârful triunghiului are 110°, înseamnă că suma măsurilor celorlalte două unghiuri este de 180° - 110° = 70° (suma unghiurilor triunghiului este de 180°). Fiind cvongruente (egale), rezultă că unul dintre ele măsoară 70° : 2 = 35°. Deci trebuie să desenăm triunghiul isoscel cu unghiurile de 110°, 35°, 35°.

Avem mai multe posibilităţi, o alegem pe cea care ne place:

  1. desenăm mai întâi unghiurile congruente (egale) de la baza lui şi intersectăm laturile lor necomune. Punctul de intersecţie va fi vârful triunghiului isoscel.

    sau

  2. desenăm mai întâi unul dintre unghiurile congruente (egale) şi apoi pe cel de la vârful triunghiului şi unim laturile lor necomune

    sau invers

  3. desenăm unghiul de la vârful triunghiului şi unul dintre unghiurile congruente (egale) şi unim laturile necomune

    sau

  4. putem desena unghiul de la vârful triunghiului şi apoi, pe laturile lui, luăm două segmente congruente (egale), cu originea în vârful unghiului; unim capetele libere ale segmentelor. Acestea vor fi laturile congruente (egale) ale triunghiului isoscel.

2.4 Metoda 4: Folosim alte proprietăţi ale triunghiului isoscel

Am desenat triunghiul isoscel folosind câteva din proprietăţile lui: două laturi congruente (egale), două unghiuri congruente (egale), înălţimea corespunzătoare bazei este şi mediană... Să vedem cum mai putem desena triunghiul isoscel, pornind tot de la proprietăţile lui.

A mai rămas nefolosită proprietatea că înălţimea corespunzătoare bazei este şi bisectoare pentru unghiul din vârful triunghiului isoscel. Deci ea împarte unghiul din vârful triunghiului isoscel în două părţi egale. Dacă ştim câte grade are o astfel de parte (sau, altfel spus, dacă ştim câte grade are jumătate din unghiul de la vârful triunghiului isoscel), putem afla câte grade măsoară unghiul întreg (înmulţim cu 2)şi apoi aflăm şi câte grade are fiecare din unghiurile congruente (egale) de la baza triunghiului (scădem din 180° şi împărţim la 2). Practic, totul se reduce la metoda anterioară.

3. Concluzii

Pentru a desena un triunghi isoscel trebuie să ştim ce este acesta şi ce proprietăţi are şi, de asemenea, avem nevoie să cunoaştem şi alte elemente de teorie din geometrie. Îl putem desena în diferite moduri, în funcţie de datele problemei. Sunt probleme în care nu se specifică măsura unghiurilor sau lungimea laturilor triughiului isoscel; în aceste cazuri, alegem metoda care ne place şi care ni se pare mai uşoară. Personal, prefer să desenez un segment oarecare, îi stabilesc mijlocul şi prin acest punct duc o perpendiculară. Pe această perpendiculară aleg un punct care va fi vârful triunghiului isoscel. Aşa pot să desenez triunghiul isoscel fără riglă şi compas.

Sunt probleme care ne spun măsura unui unghi şi trebuie noi să calculăm noi şi măsurile celorlalte unghiuri. Triunghiul isoscel ne permite să aflăm măsurile celorlalte două unghiuri, dacă ştim măsura unuia.

De exemplu, dacă ni se spune că măsura unuia dintre unghiurile de la baza triunghiului isoscel este de 50°, atunci e limpede că şi celălalt unghi de la bază este tot de 50°, deci împreună au 2 × 50° = 100°. Putem afla şi unghiul de la vârful triunghiului:

180° − 2 × 50° = 80°

Invers, dacă ni se dă măsura unghiului de la vârful triunghiului, de exemplu 70°, atunci putem afla suma măsurilor unghiurilor de la baza triunghiului, prin scădere din 180°:

180° − 70° = 110°

Deci cele două unghiuri congruente (egale) de la baza triunghiului au împreună 110°. Fiind egale, rezultă că fiecare are 55°:

110° : 2 = 55°

Am explicat cum se desenează un triunghi isoscel, urmează câteva exemple concrete; dar asta în articolul următor... Să desenăm un triunghi isoscel. Exemple.

Data: 31 octombrie 2016