Subiecte date la Evaluarea Naţională clasa a VIII-a, 14 iunie 2017, proba de matematică, sesiunea specială

Subiecte date la Evaluarea Naţională clasa a VIII-a, 14 iunie 2017, proba de matematică, sesiunea specială (site-ul Ministerului Educaţiei Naţionale)

Barem

Subiectul I

I. 1. Rezultatul calculului 3 · 10 − 10 este egal cu ... .

Rezolvare

Pentru a rezolva exercitiul, trebuie să știm ordinea operaţiilor:

adunarea și scăderea sunt operații de ordinul I;

înmulțirea și împărțirea sunt operații de ordinul II;

ridicarea la putere și radicalul sunt operații de ordinul III;

într-un exercițiu, efectuăm mai întâi operațiile de ordinul III, în ordinea în care sunt scrise; continuăm cu operațiile de ordinul II, în ordinea în care apar, iar la sfârșit efectuâm operațiile de ordinul I, în ordinea în care sunt scrise;

În exercițiul nostru, avem două operații: o înmulțire și o scădere. Înmulțirea este operație de ordinul II, iar scăderea este operație de ordinul I, deci vom efectua mai întâi înmulțirea, apoi scăderea:

Am obţinut că rezultatul calculului 3 · 10 − 10 este egal cu 20.

I. 2. Patru kilograme de mere costă 12 lei. Două kilograme de mere, de același fel, costă ... lei.

Rezolvare

Metoda 1:

Cât costă un kilogram de mere?

Cât costă două kilograme de mere?

Rezultă că două kilograme de mere costă 6 lei.

Metoda 2:

Știm că patru kilograme de mere costă 12 lei. Ni se cere să aflăm cât costă 2 kilograme de mere, adică jumătate din cantitatea inițială. Deoarece scade cantitatea de mere, înseamnă că scade și costul lor. Deci se înjumătățește și costul, astfel că 2 kilograme de mere costă 6 lei:

Indiferent de metoda aleasă, obținem că cele două kilograme de mere costă 6 lei.

I. 3. Cel mai mare număr natural care aparține intervalului este ... .

Rezolvare

Pentru a rezolva exercițiul, trebuie să ne amintim ce înseamnă interval:

Intervalul înseamnă toate numerele reale (adică numerele naturale, întregi, raționale și iraționale) care se află între două numere date.

Pentru a nota un interval, folosim paranteze drepte [ ] și rotunde (). Paranteza dreaptă înseamnă că intevalul conține și marginea respectivă, paranteza rotundă înseamnă că intervalul nu conține marginea respectivă.

Intevalul înseamnă toate numerele cuprinse între 8 și 15 și îl conține pe 8 (paranteza dreaptă arată acest lucru), dar nu-l conține pe 15 (paranteza rotundă ne arată acest lucru).

Numerele naturale cuprinse în intervalul sunt 8 (pentru că paranteza corespunzătoare lui 8 este dreaptă, deci este cuprins în interval), 9, 10, 11, 12, 13, 14 (numărul 15 nu este conținut în interval, pentru că paranteza corespunzătoare este rotundă).

Rezultă că cel mai mare număr natural din intervalul este 14.

I. 4. Un cerc are raza de 4,5 cm. Lungimea acestui cerc este egală cu ... cm.

Rezolvare

Formula pentru lungimea cercului este:

În această formulă, folosim datele din problema noastră şi obţinem:

Am obţinut că lungimea cercului este de 9 cm.

I. 5. În Figura 1 este reprezentat un cub ABCDEFGH, cu AB = 2 cm. Lungimea diagonalei BH a cubului ABCDEFGH este egală cu ... cm.

Rezolvare

Pentru cubul ABCDEFGH din Figura 1, AB este muchie și are lungimea de 2 cm. Se cere lungimea diagonalei BH a cubului. Ne amintim că există o formulă pentru calculul lungimii diagonalei unui cub; aceasta este:

În această formulă, înlocuim lungimea laturii cubului cu 2 cm și obținem:

Rezultă că lungimea diagonalei BH este egală cu .

I. 6. În diagrama de mai jos sunt prezentate distanțele parcurse de cinci alergători, în timpul unui antrenament de o oră.

Conform diagramei, distanța parcursă de Cosmin este mai mare decât distanța parcursă de Bogdan cu ...km.

Rezolvare

Privim diagrama și constatăm că Bogdan a parcurs 10 km, iar Cosmin a parcurs 12 km. Deci Cosmin a parcurs cu 2 km mai mult decât Bogdan.

Subiectul II

II. 1. Desenaţi, pe foaia de examen, o prismă dreaptă ABCA'B'C' cu baza triunghiul echilateral ABC.

Rezolvare

II. 2. Arătați că media aritmetică a numerelor Numarul a și Numarul b este egală cu 5.

Rezolvare

Media aritmetică a mai multor numere este egală cu suma lor împărțită la numărul lor. Rezultă că media aritmetică a două numere este egală cu suma acestor numere împărțită la 2.

Media aritmetică a numerelor a și b o notăm cu ma:

Aducem numerele a și b la o formă mai simplă, pentru a putea calcula mai ușor media lor aritmetică.

Am obținut că numărul a este egal cu 8. Să calculăm și numărul b:

Numărul b este egal cu 2. Rezultă că trebuie să calculăm media aritmetică a numerelor 8 și 2:

Am obținut că media aritmetică a numerelor a și b este egală cu 5.

II. 3. Un biciclist a parcurs un traseu în două zile. În prima zi biciclistul a parcurs două treimi din lungimea traseului, iar a doua zi a parcurs restul de 15km. Calculați lungimea traseului parcurs de biciclist în cele două zile.

Rezolvare

Biciclistul a parcurs în prima zi două treimi din lungimea traseului, iar a doua zi restul de 15km. Înseamnă că el a împărțit distanța totală în trei părți egale, în prima zi a parcurs două din aceste părți egale (două treimi), iar a doua zi cealaltă parte (o treime). Problema ne spune că a doua zi a parcurs 15km. Deci o treime din lungimea traseului înseamnă 15km.

Deoarece o treime din lungimea traseului este egală cu 15km, rezultă că acesta este de 3 ori mai mare, adică:

Deci lungimea traseului parcurs de biciclist în cele două zile este egală cu 45 km.

II. 4. Se consideră funcția Funcția  f definită pe R cu valori în R, f(x)=2x+4.

a) Reprezentați grafic funcția într-un sistem de coordonate .

b) Calculați lungimea segmentului determinat de punctele de intersecție a graficului funcției cu axele sistemului de coordonate .

Rezolvare

a) Pentru a reprezenta grafic o funcție (adică pentru a-i desena graficul), avem nevoie să găsim două puncte care aparțin acestui grafic. De obicei, se caută punctele de intersecție a graficului funcției cu axele și (coordonatele acestor puncte sunt mai ușor de calculat și de multe ori sunt necesare pentru rezolvarea altor cerințe ale problemei).

Ne amintim că graficul funcțiilor definite pe cu valori în de forma (a și b numere reale) este o dreaptă.

Punctul de intersecție a graficului funcției cu axa are ordonata egală cu 0, adică . Deci pentru a afla intersecția graficului cu axa absciselor (axa ) rezolvăm ecuația :

Pentru a afla intersecția graficului cu axa , calculăm (înlocuim pe cu 0):

Reprezentăm punctele A(–2, 0) și B(0, 4) în sistemul de coordonate :

Dreapta care trece prin punctele A(–2, 0) și B(0, 4) este graficul funcției Funcția  f definită pe R cu valori în R, f(x)=2x+4:

b) Punctele de intersecție ale graficului funcției cu axele sistemului de coordonate sunt punctele A(–2, 0) și B(0, 4), deci segmentul determinat de ele este segmentul AB. Se cere să aflăm lungimea acestuia.

Pentru a afla lungimea segmentului AB, îl includem în triunghiul AOB, care este dreptunghic în punctul O (axele Ox și Oy sunt perpendiculare). Observăm că AB este ipotenuză în triunghiul dreptunghic AOB. În acest triunghi, putem afla lungimile catetelor AO și OB, pentru că știm coordonatele punctelor A, B și O:

Deoarece punctul A(–2, 0) are coordonatele și , rezultă că lungimea segmentului AO este 2.

Punctul B(0, 4) înseamnă că și , deci lungimea segmentului OB este 4.

În triunghiul dreptunghic AOB știm lungimile catetelor AO și OB și trebuie să aflăm lungimea ipotenuzei AB. Aplicăm teorema lui Pitagora și obținem:

Am obținut că lungimea segmentului AB este egală cu .

II. 5. Se consideră expresia , unde x este număr real, și . Arătați că pentru orice x număr real, și .

Rezolvare

Privim cu atenție expresia E(x). Trebuie să arătăm că E(x) este egală cu 0 pentru orice număr real diferit de -1 și 1.

De ce x nu poate fi -1 și 1?

Toate binoamele care apar la numitor în expresia E(x) trebuie să fie diferite de 0:

În E(x) apar câteva binoame:

Acestea ne amintesc de produsul dintre sumă și diferență:

În ceea ce privește binomul Formula produsului dintre sumă și diferență, pentru a ajunge la , observăm că putem să dăm factor comun pe x.

Mai observăm că expresia E(x) cuprinde diferența a două fracții cu numitori diferiți, deci va trebui să aducem aceste fracții la același numitor, amplificând-o pe una cu numitorul celeilate.

Mai avem și o împărțire de fracții; ne amintim cum se procedează: câtul a două fracții este egal cu produsul dintre prima fracție și inversa celei de-a doua fracții.

Avem scăderi, împărțire și o paranteză rotundă. Ne amintim și ordinea operațiilor: mai întâi înmulțirile și împărțirile de la stânga la dreapta, în ordinea în care sunt scrise, iar la sfârșit adunările și scăderile, de la stânga la dreapta, în ordinea în care sunt scrise. Dacă apar paranteze, atunci ordinea este aceasta: paranteze rotunde, de la stânga la dreapta, în ordinea în care sunt scrise; apoi parantezele drepte se transformă în paranteze rotunde și acoladele se transformă în paranteze drepte, iar parantezele rotunde inițiale dispar. Se continuă până dispar toate parantezele, apoi ordinea operațiilor este cea spusă mai devreme: înmulțiri și împărțiri, în ordinea în care sunt scrise, iar la final adunări și scăderi, tot în ordinea în care sunt scrise.

După ce am analizat expresia E(x), începem să efectuăm calculele:

Am arătat că expresia E(x) este egală cu 0, pentru orice x număr real diferit de -1 și de 1.

Subiectul III

III. 1. În Figura 2 este reprezentat un dreptunghi ABCD cu AD = 12cm şi AC = 20cm. Punctul M este mijlocul laturii AD, iar punctul N se află pe latura CD astfel încât DN = 4cm.

a) Arătaţi că AB = 16cm.

b) Arătaţi că raportul dintre aria triunghiului DMN și aria triunghiului ABM este egal cu 14.

c) Determinați distanța de la punctul M la dreapta BN.

Rezolvare

a) ABCD este dreptunghi, deci are laturile paralele și congruente două câte două. Asta înseamnă că AB este congruentă cu CD (au aceeași lungime), iar AD este congruentă cu BC. Deci lungimea laturii AB este egală cu lungimea laturii CD.

Una dintre metodele care pot fi folosite pentru a calcula lungimea unui segment este să încercăm să-l includem într-un triunghi. De preferat este ca acest triunghi să fie unul particular: dreptunghic, isoscel sau echilateral, pentru a avea mai multe informații pe care să le putem folosi.

ABCD este dreptunghi, deci măsurile unghiurilor lui sunt egale cu 90°. Rezultă că triunghiul ACD este dreptunghic în D; AD și CD sunt catete, iar AC este ipotenuză. Știm că lungimea catetei AD este de 12cm, iar lungimea ipotenuzei AC este de 20cm.

Aplicăm teorema lui Pitagora în triunghiul dreptunghic ACD pentru a afla lungimea catetei CD:

Am obținut că lungimea segmentului Cd este de 16cm. Segmentele AB și CD au lungimi egale, fiind laturi paralele ale dreptunghiului ABCD, deci și lungimea segmnetului AB este de 16cm:

b) Triunghiurile DMN și ABM sunt dreptunghice în D, respectiv A. Aria unui triunghi dreptunghic este egală cu semiprodusul catetelor sale; în triunghiul DMN, avem DM și DN catete, iar în triunghiul ABM avem AB și AM catete.

Știm sau putem afla lungimile catetelor triunghiurilor dreptunghice DMN și ABM?

Știm din ipoteză că lungimea segmentului DN este egală cu 4cm; la subpunctul a) am aflat că lungimea segmentului AB este de 16cm. În ipoteză ni se mai spune că lungimea lui AD este de 12cm, iar M este mijlocul acestui segment. Rezultă că AM și DM sunt egale cu jumătate din lungimea lui AD:

Calculăm raportul ariilor triunghiurilor DMN și ABM:

Am arătat că raportul ariilor triunghiurilor DMN și ABM este egal cu 14 .

c) Fie MP perpendicular pe BN, unde P aparține lui BN. Distanța de la punctul M la dreapta BN este egală cu lungimea segmentului MP.

Trebuie să calculăm lungimea segmentului MP. Acesta este perpendicular pe BN, deci MP este înălțime în triunghiul MBN.

Lungimea înălțimii unui triunghi ne duce cu gândul la formula de calcul a ariei triunghiului: înălțimea înmulțită cu baza, totul supra 2. Deci aria triunghiului MBN este egală cu MP înmulțit cu BN, totul supra 2:

Dacă am ști care este aria triunghiului MBN, atunci ar putea fi ușor de dedus lungimea înălțimii MP.

Observăm că aria dreptunghiului ABCD este formată din suma ariilor triunghiurilor DMN, ABM, NCB și MBN.

Asta înseamnă că putem calcula aria triunghiului MBN scăzând din aria dreptunghiului ABCD ariile triunghiurilor DMN, ABM și NCB. Deci am găsit două moduri de a calcula aria triunghiului MBN:

În relația , în partea stângă a semnului egal, putem afla lungimea segmentului BN. Segmentul BN este ipotenuză în triunghiul dreptunghic NCB, în care știm că lungimea catetei BC este de 12cm, iar lungimea catetei NC este de 12cm. Aplicăm teorema lui Pitagora în triunghiul dreptunghic NCB pentru a afla lungimea lui BN:

Continuăm analiza relației . Urmează să calculăm ariile dreptunghiului ABCD și ale triunghiurilor dreptunghice DMN, ABM și NCB. Aria unui dreptunghi este egală cu produsul dintre lungimea și lățimea sa, iar aria unui triunghi dreptunghic este egală cu jumătate din produsul catetelor sale. Vom avea:

Relația devine:

Acum putem calcula lungimea segmentului MP:

Am obținut că lungimea segmentului MP este egală cu  5-radical-din-2-cm. Deci distanța de la punctul M la dreapta BN este egală cu  5-radical-din-2-cm.

Recapitulăm pașii pe care i-am parcurs pentru aflarea distanței de la punctul M la dreapta BN:

distanța de la punctul M la dreapta BN este egală cu lungimea segmentului MP;

observăm că segmentul MP este înălțime în triunghiul MBN;

scriem aria triunghiului NCB în două moduri:

folosim formula obișnuită (semiraportul dintre bază și înălțime);

ca diferență între aria dreptunghiului ABCD și suma ariilor triunghiurilor dreptunghice DMN, ABM și NCB;

în urma calculelor, deteminăm lungimea lui MP.

III. 2. În Figura 3 este reprezentată o piramidă patrulateră regulată VABCD cu VA = AB = 12cm. Punctul M este mijlocul muchiei VA şi .

a) Arătaţi că aria pătratului ABCD este egală cu 144cm2.

b) Arătaţi că volumul piramidei VABCD este egal cu  288-radical-din-2-cm-3.

c) Calculați măsura unghiului determinat de dreptele OM şi AB.

Rezolvare

a) Baza piramidei patrulatere regulate este un pătrat. VABCD este piramidă patrulateră regulată, deci ABCD este pătrat.

Aria unui pătrat este egală cu pătratul lungimii laturii sale:

Rezultă că aria pătratului ABCD este egală cu 144cm2:

b) Pentru calculul volumului unei piramide patrulatere regulate, folosim formula:

Pentru a putea aplica această formula, avem nevoie să știm lungimea laturii bazei piramidei și înălțimea piramidei. Lungimea laturii bazei o știm din ipoteză - baza este pătratul ABCD, cu AB de 12cm. Trebuie să aflăm lungimea înălțimii piramidei VABCD.

Segmentul VO este înălțime în piramida patrulateră regulată VABCD, unde O este punctul de intersecție al diagonalelor pătratului ABCD de la bază. Avem nevoie să aflăm lungimea lui VO, pentru a putea apoi calcula volumul piramidei VABCD.

O metodă prin care putem calcula lungimea unui segment este să găsim un triunghi care să aibă acest segment ca latură, de preferat triunghi particular: dreptunghic, isoscel sau echilateral, pentru a avea mai multe informații pe care să le folosim. Observăm că VO este catetă în triunghiul dreptunghic VOA:

Triunghiul dreptunghic ne face să ne gândim la teorema lui Pitagora. VO este catetă în triunghiul dreptunghic VOA. Putem aplica teorema lui Pitagora pentru a calcula lungimea lui VO?

Într-un triunghi dreptunghic, pătratul lungimii unei catete este egal cu diferența dintre pătratul lungimii ipotenuzei și pătratul lungimii celeilalte catete:

Pentru a calcula lungimea catetei VO în triunghiul dreptunghic VOA, avem nevoie să știm lungimea ipotenuzei VA și lungimea celeilalte catete OA. Lungimea lui VA este de 12cm (din ipoteză); lungimea lui OA observăm că este egală cu jumătate din lungimea diagonalei pătratului ABCD. Diagonala pătratului se poate afla folosind încă o dată teorema lui Pitagora în triunghiul dreptunghic ABD sau putem aplica direct formula:

Efectuăm calculele:

Astfel am arătat că volumul piramidei regulate VABCD este egal cu .

Recapitulăm pașii pe care i-am parcurs pentru aflarea volumului piramidei VABCD:

ne amintim formula de calcul a volumului piramidei patrulatere regulate;

pentru a aplica această formulă, trebuie să știm lungimea laturii pătratului ABCD de la baza piramidei și înălțimea aceteia;

lungimea laturii pătratului ABCD ni se spune în ipoteză (AB este de 2cm);

trebuie să calculăm lungimea înălțimii VO a piramidei VABCD;

VO este catetă în triunghiul dreptunghic VOA; pentru a aplica teorema lui Pitagora în acest triunghi, trebuie să aflăm lungimea celeilalte catete a triunghiului VOA, adică lungimea catetei OA;

OA este jumătate din diagonala AC a pătratului ABCD;

diagonala unui pătrat este egală cu , unde este latura pătratului; dacă nu ne amintim formula, o putem deduce aplicând teorema lui Pitagora în triunghiul dreptunghic ABC (format de diagonala pătratului cu două laturi alăturate ale acestuia);

calculăm lungimea diagonalei AC a pătratului ABCD;

calculăm lungimea lui OA (jumătate din diagonala pătratului ABCD, catetă în triunghiul dreptunghic VOA);

calculăm lungimea lui VO (înălțime în piramida VABCD);

calculăm volumul piramidei VABCD.

c) ABCD este pătrat, deci laturile opuse sunt paralele două câte două. Rezultă că dreptele AB și CD sunt paralele:

Segmentul OM este linie mijlocie în triunghiul VAC, pentru că punctul O este punctul de intersecția a diagonalelor pătratului și acestea se înjumătățesc, iar punctul M este mijlocul muchiei VA a piramidei VABCD (din ipoteză). Rezultă la dreapta OM este paralelă cu dreapta CV:

Deoarece AB este paralelă cu CD și OM este paralelă cu CV, rezultă că unghiul format de OM cu AB este congruent (adică are aceeași măsură) cu unghiul format de dreapta CV și dreapta CD, adică e congruent cu unghiul DCV:

Deci a afla măsura unghiului dintre OM și AB înseamnă a calcula măsura unghiului DCV.

Unghiul DCV este unghi al triunghiului echilateral VCD, deci măsura unghiului DCV este de 60°

Am obținut că măsura unghiului DCV este de 60°, deci măsura unghiului format de dreptele OM și AB este de 60°.

Data: 28 iunie 2017

În acest articol