Rezolvarea subiectelor date la Evaluarea Naţională clasa a VIII-a, 2017

Subiectele date la Evaluarea Naţională 2017, clasa a VIII-a (site-ul Ministerului Educaţiei Naţionale)

Barem

Subiectul I

I. 1. Rezultatul calculului 20 - 20 : 2 este egal cu ... .

Rezolvare

Ne amintim ordinea operaţiilor:

Ordinea operațiilor: mai întâi se efectuează împărțirea, apoi scăderea.

I. 2. Şase caiete de acelaşi fel costă în total 30 lei. Trei dintre acestea costă ... lei.

Rezolvare

Cât costă un caiet?

6 caiete costă 30 de lei, deci putem afla cât costă un caiet:

Aflăm mai întâi cât costă un caiet

Cât costă trei caiete?

Am aflat că un caiet costă 5 lei. Atunci trei caiete vor costa de trei ori mai mult, adică

Aflăm mai întâi cât costă un caiet

Rezultă că trei caiete costă 15 lei.

Alte două moduri de rezolvare - afişează

I. 3. Dacă A = {1, 2, 3, 4} și B = {4, 6, 8}, atunci mulțimea A∩B este egală cu {...}.

Rezolvare

Avem două mulțimi, A și B, astfel: A este formată din numerele 1, 2, 3 și 4, iar B este formată din numărul 4. Trebuie să vedem care e mulțimea formată din numerele care aparțin atât lui A, cât și lui B (A∩B înseamnă intersecția mulțimilor A și B, adică elementele comune mulțimilor A și B).

Ne uităm la fiecare număr din A și să vedem dacă este și în mulțimea B:

1 aparține mulțimii A, dar nu aparține lui B;

2 aparține mulțimii A, dar nu aparține lui B;

3 aparține mulțimii A, dar nu aparține lui B;

4 aparține ambelor mulțimi A și B.

Deci intersecția mulțimilor A și B este mulțimea formată din numărul 4.

A∩B = {4}

I. 4. Aria unui pătrat cu latura de 6 cm este egală cu ...cm2.

Rezolvare

Aria pătratului este egală cu pătratul lungimii laturii sale; aria pătratului din problema noastră este egală cu 36 cm2.

I. 5. În Figura 1 este reprezentat un tetraedru regulat ABCD. Dacă suma lungimilor tuturor muchiilor tetraedrului este egală cu 12 cm, atunci lungimea muchiei AB este egală cu ...cm.

Rezolvare

Tedraedrul are şase muchii. Deoarece ABCD este tetraedru regulat, rezultă că toate muchiile lui au lungimi egale:

AB = AC = AD = BC = CD = BD

Dacă suma lungimilor tuturor muchiilor tetraedrului este egală cu 12 cm, atunci lungimea unei muchii este gală cu 12 împărțit la 6, adică este egală cu 2 cm. Înseamnă că lungimea muchiei AB este egală cu 2 cm.

AB = 2 cm

I. 6. În tabelul de mai jos este prezentat numărul de elevi al fiecăreia dintre clasele unei școli.

Conform tabelului, numărul total al elevilor din clasele a VIII-a ale acestei școli este egal cu ... .

Rezolvare

În școala respectivă sunt două clase a VIII-a: clasa a VIII-a A are 30 de elevi, iar clasa a VIII-a B are 28 de elevi. În total, în clasele a VIII-a sunt 58 de elevi.

În total, în clasele a VIII-a sunt 58 de elevi.

Subiectul II

II. 1. Desenaţi, pe foaia de examen, un cub ABCDEFGH.

Rezolvare

Am desenat două pătrate ABFE şi DCGH egale (au lungimile laturilor egale), cel de-al doilea pătrat puţin mai sus şi la dreapta faţă de primul pătrat. Am unit vârfurile lor, astfel: E cu H, F cu G, B cu C (cu linie continuă, pentru că sunt muchii care se văd) şi A cu D (cu linie întreruptă, pentru că aceste muchii sunt în spate şi nu se văd). Muchiile AD și CD le desenăm cu linie întreruptă, pentru că sunt în spate și nu se văd. Pentru mai multe explicații, puteți citi cum desenăm un cub.

II. 2. Arătați că

Rezolvare

Calculăm expresia din stânga semnului „=”. Cuvintele „arătați că” din enunț ne indică faptul că în urma calculului trebuie să obținem rezultatul . Folosim formulele:

Observăm că avem produsul a două paranteze, de forma a+b înmulțit cu a-b. Acest lucru ne amintește de formula diferenței a două pătrate. Apoi avem o fracție la pătrat; vom ridica la pătrat atât numărătorul, cât și numitorul. Efectuăm calculele:

Am obținut rezultatul , ceea ce ni se cerea.

II. 3. Determinați două numere, știind că media lor aritmetică este egală cu 150, iar raportul celor două numere este egal cu .

Rezolvare

Media aritmetică a mai multor numere este egală cu suma numerelor împărțită la numărul acestora. Media aritmetică a două numere este egală cu suma acestor numere împărțită la 2 (pentru că avem două numere).

Notăm cu x și y cele două numere pe care trebuie să le găsim. Știm că media lor aritmetică este 150; înseamnă că suma lor (adică x + y) împărțită la 2 ne dă 150. De obicei, această împărțire se scrie ca raport. Vom avea:

Mai știm că raportul celor două numere este egal cu 12:

Avem un sistem de două ecuații de gradul I cu două necunoscute pe care-l rezolvăm folosind metoda substituției.

În continuare ne amintim proprietatea fundamentală a proporțiilor, adică produsul mezilor este egal cu produsul extremilor (proporția este egalitatea a două rapoarte, cu termenii diferiți de 0).

Folosind această proprietate, sistemul devine:

Înlocuim pe y în prima ecuație și obținem că x este egal cu 100:

Din a doua ecuație a sistemului aflăm că y este egal cu 200:

Am obținut că x este egal cu 100 și y este egal cu 200. Verificăm dacă am lucrat corect:

Am lucrat corect, x este egal cu 100 și y este egal cu 200.

II. 4. Se consideră funcţia f : R → R, f(x) = 2x + 3.

a) Reprezentaţi grafic funcţia f într-un sistem de coordonate xOy.

b) În sistemul de coordonate xOy, determinați abscisa punctului care aparține graficului funcției f, știind că punctul are abscisa egală cu ordonata.

Rezolvare

a) Stabilim punctele de intersecţie ale graficului funcţiei cu axele Ox şi Oy.

Pentru a afla punctul în care graficul funcţiei f intersectează axa Ox, rezolvăm ecuaţia f(x) = 0:

Deci punctul A(- 32, 0) este punctul de intersecţie al graficului funcţiei f cu axa Ox.

Intersecţia cu axa ordonatelor Oy o aflăm calculând f(0):

rezultă că punctul B(0, 3) este punctul de intersecţie al graficului funcţiei f cu axa Oy.

Reprezentăm punctele A(- 32, 0) şi B(0, 3) în sistemul de coordonate xOy.

Trasăm dreapta care trece prin punctele A şi B. Aceasta este graficul funcţiei f.

b) Notăm cu P(u, v) punctul de pe graficul funcției f despre care se vorbește în enunț; punctul P are abscisa u și ordonata v. Ni se spune că abscisa este egală cu ordonata, adică u este egal cu v, adică u este egal cu f(u). Trebuie să calculăm abscisa, adică trebuie să-l găsim pe u care îndeplinește condiția „u este egal cu f(u)”.

Am găsit că abscisa punctului P este -3.

II. 5. Se consideră expresia

unde x este număr real, x ≠ −5, x ≠ 1 și x ≠ 5. Arătaţi că E(x) = 1, pentru orice x număr real, x ≠ −5, x ≠ 1 și x ≠ 5.

Rezolvare

Ne amintim cum se împart două fracții: se înmulțește prima fracție cu inversul celei de-a doua fracții (rezultatul împărțirii se numește cât).

Analizăm prima fracție și observăm că putem aplica formula diferenței a două pătrate:

Calculăm numărătorul și numitorul primei fracții:

Înlocuim în E(x) și obținem că aceasta este egală cu 1:

Subiectul III

III. 1. În Figura 2 este reprezentat un dreptunghi ABCD, cu AB=8 cm și AD=8 cm. Pe segmentul BD se consideră punctele E și F astfel încât m(DAE) = m(EAF) = m(FAB).

a) Arătaţi că perimetrul dreptunghiului ABCD este egal cu 16( + 1) cm.

b) Demonstrați că punctele A, F și C sunt coliniare.

c) Știind că FMAB, unde M∈(AD) și N este punctul de intersecție al dreptelor FM și AE, demonstrați că dreptele DN și AC sunt perpendiculare.

Rezolvare

a) Perimetrul dreptunghiului este egal cu suma lungimilor laturilor acestuia. Dreptunghiul are laturile egale două câte două, deci AB este egală cu CD și AD este egală cu BC.

b) A arăta că A, F și C sunt coliniare înseamnă a arăta că punctul F aparține lui AC.

Într-un dreptunghi, diagonalele au aceeași lungime și se intersectează într-un punct care e mijlocul fiecăreia dintre ele (spunem că diagonalele unui dreptunghi se înjumătățesc). Dacă F ar aparține lui AC, atunci F ar fi punctul de intersecție al diagonalelor AC și BD și ar fi mijlocul acestora, adică segmentele DF, FB, AF și FC ar fi egale.

Dacă arătăm că F este mijlocul lui BD, înseamnă că F este și mijlocul lui AC, pentru că într-un dreptunghi diagonalele se înjumătățesc. Deci F ar aparține lui AC, adică A, F și C ar fi coliniare, ceea ce trebuie să demonstrăm.

Să vedem cum/dacă putem arăta că F este mijlocul lui BD (BD este diagonală a dreptunghiului ABCD și ipotenuză în triunghiul dreptunghic DAB).

Care sunt datele pe care le vom folosi? Lungimile segmentelor pe care le știm, cele trei unghiuri congruente, proprietățile dreptunghiului - mai ales cele referitoare la diagonale, proprietățile triunghiului dreptunghic; având un triunghi dreptunghic, e posibil să folosim și teorema lui Pitagora.

Unghiul drept DAB este format din trei unghiuri congruente, deci fiecare dintre acestea are măsura de 30°:

Înseamnă că măsura unghiului DAF este de 60°.

Triunghiul DAB este dreptunghic în A; știm că AD = 8 cm și AB=8√3 cm. Aplicăm teorma lui Pitagora și aflăm lungimea ipotenuzei BD:

În triunghiul dreptunghic DAB lungimea catetei AD este egală cu jumătate din lungimea ipotenuzei BD, deci măsura unghiului DBA care se opune acestei catete este de 30°. Rezultă că măsura unghiului ADB este de 60°.

În triunghiul DAF avem două unghiuri de 60° (DAF și ADB), deci triunghiul este echilateral, adică AD=AF=DF. Cum AD este jumătate din BD, rezultă că și DF este jumătate din BD, adică F este mijlocul lui BD. Segmentul BD este ipotenuză în triunghiul dreptunghic ADB și diagonală în dreptunghiul ABCD. Înseamnă că F este și mijlocul diagonalei AC a dreptunghiului ABCD, deci F aparține diagonalei AC. Rezultă că punctele A, F și C sunt coliniare, ceea ce trebuia demonstrat.

c) O metodă de a arăta că două segmente sunt perpendiculare este să găsim un triunghi în figura noastră în care unul dintre segmente să fie înălțime, iar celălalt să fie baza corespunzătoare. Am putea încerca să arătăm că DN este înălțimea corespunzătoare bazei AC în triunghiul DAF.

Cum arătăm că DN este înălțime? Putem identifica două înălțimi în triunghiul DAF și să arătăm că acestea se intersectează în N (folosim faptul că într-un triunghi, înălțimile sunt concurente, adică se intersectează într-un punct numit ortocentrul triunghiului). Dreapta care unește cel de-al treilea vârf al triunghiului cu ortocentrul este a treia înălțime a triunghiului, deci este perpendiculară pe a treia latură.

Din enunțul problemei, știm că FM este paralel cu AB. Dacă două drepte sunt paralele, atunci orice dreaptă perpendiculară pe una dintre ele este perpendiculară și pe cealaltă; cum AB este perpendicular pe AD (ABCD este dreptunghi) rezultă că FM este perpendicular pe AD, adică FM este înălțime în triunghiul DAF. Am identificat una dintre înălțimile triunghiului.

Mai știm că unghiurile DAE și EAF sunt congruente (egale), deci AE este bisectoarea unghiului DAF; într-un triunghi echilateral, bisectoarele sunt și înălțimi, deci AE este înălțime în triunghiul DAF. Aceasta e cea de-a doua înălțime pe care o căutam.

Înălțimile FM și AE se intersectează în punctul N, care este ortocentrul triunghiului DAF. Rezultă că și DN este înălțime în acest triunghi, deci DN este perpendicular pe AC, ceea ce trebuia demonstrat.

III. 2. În Figura 3 este reprezentat un cilindru circular drept cu generatoarea AA' = 12 cm. Segmentul AB este diametru al bazei cilindrului, AB = 10 cm și punctul O' este mijlocul diametrului A'B'.

a) Arătaţi că aria laterală a cilindrului circular drept este egală cu 120 cm2.

b) Demonstrați că segmentul A'B are lungimea mai mică de 16 cm.

c) Calculați mărimea sinusului unghiului dintre dreapta AO' și planul uneia dintre bazele cilindrului circular drept.

Rezolvare

a) Cilindrul circular drept se obține prin înfășurarea unui dreptunghi, lățimea dreptunghiului devine generatoarea cilindrului, iar lungimea dreptunghiului devine diametrul unei baze a cilindrului (bazele cilindrului sunt cercuri egale). Aria dreptunghiului este egală cu produsul dintre lungime și lățime, deci aria laterală a cilindrului circular drept se calculează cu formula:

b) Cilindrul circular drept are generatoarea perpendiculară pe planele bazelor; obținem astfel că triunghiul A'AB este dreptunghic în A. Aplicăm teorema lui Piatgora în acest triunghi și calculăm lungimea ipotenuzei A'B, care este mai mică decât 16 cm.

Putem calcula radicalul sau putem folosi proprietățile radicalilor.

c) Mai întâi trebuie să identificăm unghiul dintre dreapta AO' și planul bazei de jos a cilindrului nostru. Unghiul dintre o dreaptă și un plan este unghiul făcut de acea dreaptă cu proiecția ei pe acel plan; considerăm două puncte pe dreapta respectivă și coborâm perpendiculare din aceste puncte pe plan. Punctele în care perpendicularele „înțeapă” planul determină proiecția dreptei pe plan.

Să vedem care e proiecția dreptei AO' pe planul bazei cilindrului. Dreapta AO' „înțeapă” planul bazei în punctul A; coborâm perpendiculara din punctul O' pe planul bazei și notăm cu O punctul în care această perpendiculară întâlnește planul bazei. Rezultă că proiecția dreptei AO' pe planul bazei este dreapta AO. Unghiul dintre AO' și planul bazei este unghiul format de AO' și AO, adică unghiul O'AO. Noi trebuie să calculăm sinusul unghiului O'AO.

Triunghiul O'OA este dreptunghic în O (O'O este perpendicular pe planul bazei, deci pe orice dreaptă din acest plan; înseamnă că O'O este perpendicular pe AO). Unghiul O'AO este în triunghiul O'OA.

Sinusul unui unghi este raportul dintre cateta opusă și ipotenuză. Deci sinusul unghiului O'AO este egal cu raportul dintre O'O și O'A. Știm că O'O este înălțimea cilindrului, adică generatoarea lui, cu lungimea de 12 cm. Trebuie să calculăm lungimea lui O'A, care este ipotenuză în triunghiul O'OA dreptunghic în O. Aplicăm teorema lui Pitagora în acest triunghi și aflăm că O'A are lungimea egală cu 13 cm.

Data: 12 iunie 2019

În acest articol