Metoda reducerii la unitate

Fișe de lucru - PDF

Varianta 1

Ce înseamnă această metodă

Prin această metodă se pot rezolva probleme în care ambele mărimi cresc sau scad (spunem că sunt mărimi direct proporționale) sau una crește, iar cealaltă scade (spunem că sunt mărimi invers proporționale).

Cazul 1 Dacă 5 caiete costă 30 de lei, reducerea la unitate înseamnă să aflăm cât costă un caiet. Caietul este unitatea.

Observăm că, dacă numărul caietelor scade, atunci scade și suma de plătit. Dacă numărul caietelor crește, atunci crește și suma de plătit. Spunem că numărul caietelor și suma de plătit sunt direct proporționale.

În acest caz, împărțim pe 30 la 5 și aflăm cât costă un caiet (pentru că 1 caiet costă de 5 ori mai puțin decât 5 caiete).

Cazul 2 Dacă 3 muncitori termină o lucrare în 12 zile, reducerea la unitate înseamnă să aflăm în cât timp termină un singur muncitor lucrarea.

Observăm că, dacă numărul muncitorilor scade, atunci va fi nevoie de mai mult timp pentru a termina lucrarea, deci numărul de zile necesare va crește. Dacă numărul muncitorilor crește, atunci ei vor termina mai repede lucrarea, deci numărul de zile va scădea. Spunem că numărul muncitorilor și numărul zilelor sunt invers proporționale.

În acest caz, înmulțim pe 3 cu 12 și aflăm în câte zile termină un singur muncitor lucrarea (pentru că 1 muncitor lucrează de 3 ori mai mult singur decât ar lucra o echipă de 3 muncitori).

Exemple - cazul 1 (ambele mărimi cresc sau ambele mărimi scad)

1) Știm că 5 caiete costă 30 de lei. Cât costă 3 caiete?

Rezolvare

Observăm că dacă numărul caietelor scade, atunci și suma pe care o plătim scade (dacă numărul caietelor ar crește, atunci și suma ar crește).

Unitatea este caietul, iar reducerea la unitate înseamnă să aflăm cât costă un caiet. Deoarece caietele au același preț, împărțim suma la numărul caietelor, adică împărțim pe 30 la 5 și aflăm că un caiet costă 6 lei (1 caiet costă de 5 ori mai puțin, deci facem operația de împărțire).

Trei caiete vor costa de trei ori mai mult decât un singur caiet. Un caiet costă 6 lei, deci trei caiete vor costa 18 lei (de trei ori mai mult, adică 6 înmulțit cu 3 este egal cu 18 lei).

Scriem într-o formă mai scurtă și mai simplă datele problemei.

Metoda reducerii la unitate - afăm cât costă un caiet

Metoda reducerii la unitate - dacă numărul caietelor scade, atunci scade și suma

E important să observăm că a scăzut numărul caietelor (de la 5 la 3), deci scade și suma plătită (de la 30 de lei la 18 lei).

Metoda reducerii la unitate - dacă numărul caietelor scade, atunci scade și suma

Întrebare suplimentară:

Câte caiete pot să cumpăr cu 42 de lei, dacă am aflat că un caiet costă 6 lei?

Răspuns

2) Amalia vrea să cumpere mâncare pentru pisica ei. Un sac cu 7 kg de hrană uscată costă 210 lei. Cât costă un kilogram?

Rezolvare

Observăm că dacă scade cantitatea de mâncare, atunci scade și suma de plătit (dacă ar crește cantitatea, atunci și suma ar crește).

Unitatea este kilogramul de mâncare pentru pisici, iar reducerea la unitate înseamnă să aflăm cât costă un kilogram de astfel de mâncare.

Dacă 7 kg de hrană uscată costă 210 lei, 1 kg va costa de 7 ori mai puțin. Cuvintele „de 7 ori mai puțin” ne indică operația de împărțire. Facem deci împărțirea 210 împărțit la 7 și obținem că 1 kg de hrană uscată costă 30 de lei.

Scriem datele problemei într-un mod mai simplu, care să ne ajute să intuim rezolvarea.

Observăm că scăderea cantității de la 7 kg la 1 kg duce la scăderea sumei de plătit de la 210 lei la 30 de lei.

Metoda reducerii la unitate - dacă numărul kilogramelor scade, atunci scade și suma

Întrebare suplimentară:

Cum e mai ieftin: să cumpere sacul cu 7 kg cu 210 lei sau să cumpere mâncare vrac, 7 kg cu 32 de lei kilogramul?

Răspuns

Încearcă și tu!

Bunica Vera cumpără șosete pentru Clara și Iris. Dacă lui Iris îi cumpără 3 perechi și o costă 15 lei, cât vor costa cele 2 perechi pentru Clara? Sunt suficienți 30 de lei pentru ambele nepoate? (șosetele sunt la fel și au același preț)

P. S. Bunica Vera le iubește la fel de mult pe ambele nepoate; îi cumpără Clarei mai puține perechi de șosete pentru că ea are deja mai multe șosete decât Iris. Iris merge mult pe jos și le rupe mai repede.

Răspuns

Arată cuprinsul

Ne pregătim pentru cazul 2 (o mărime crește, iar cealaltă scade)

Înainte să începem rezolvarea problemelor, am pregătit câteva exerciții (întrebări) pentru a observa cum creșterea sau diminuarea unei mărimi duce la diminuarea sau creșterea celeilalte (o mărime crește, iar cealaltă scade sau invers).

Dacă vreți să mergeți direct la exemple, apăsați aici.

Premergător! Metoda reducerii la unitate

(Copil desenat de OpenClipart-Vectors de la Pixabay)

I. Experiment

Sofiei îi plac foarte mult florile; are câteva ghivece cu mușcate pe balcon pe care le udă mereu când pământul este uscat. Fetița ține apa de la robinet 24 de ore într-o oală fără capac, să se evapore clorul.

Sofia umple oala cu apă în 180 de secunde, folosind un pahar. Dacă o ajută fratele ei, Matei, atunci ei umplu oala în 90 de secunde. Dacă lor li se alătură și prietenul lor, Alex, atunci cei trei copii reușesc să umple oala în 60 de secunde. Copiii folosesc pahare identice și sunt la fel de rapizi.

(Desene create de Gustavo Rezende, Clker-Free-Vector-Images și OpenClipart-Vectors de la Pixabay)

Metoda reducerii la unitate

1) Cât durează să umplă oala cu apă un singur copil? Cât durează să umplă oala cu apă doi copii? Dar cei trei copii împreună? Compară timpii.

2) Când se umple cel mai repede oala?

3) Când se umple cel mai încet oala?

4)Dacă un singur copil umple oala, are nevoie de 180 de secunde. Dacă doi copii umplu oala, ei au nevoi de 90 de secunde. De câte ori crește numărul copiilor? Ce se întâmplă cu timpul în care se umple oala? Crește sau scade? De câte ori?

5)Dacă un singur copil umple oala, are nevoie de 180 de secunde. Dacă trei copii umplu oala, ei au nevoi de 60 de secunde. De câte ori crește numărul copiilor? Ce se întâmplă cu timpul în care se umple oala? Crește sau scade? De câte ori?

Observăm!

Crește de un număr de ori numărul copiilor ⟵⟶ se micșorează de același număr de ori timpul de umplere a oalei.

Se micșorează de un număr de ori numărul copiilor ⟵⟶ crește de același număr de ori timpul de umplere a oalei.

***

Dacă ați înțeles cum creșterea sau micșorarea unei mărimi determină micșorarea sau creșterea celeilalte mărimi și vreți să mergeți direct la exemple, apăsați aici.

Dacă simțiți că mai aveți nevoie de puțin ajutor, am pregătit încă un set de întrebări care să vă ajute.

***

II. Avem un bazin de înot și 8 robinete disponibile pentru a-l umple, robinetele având același debit - adică într-o unitate de timp (un minut sau o oră, de exemplu) curge aceeași cantitate de lichid prin fiecare robinet.

(Bazin și robinete desenate de OpenClipart-Vectors de la Pixabay)

Metoda reducerii la unitate

1) Câte robinete trebuie să fie deschise pentru a umple bazinul în cel mai scurt timp posibil?

2) Câte robinete trebuie să fie deschise pentru a umple bazinul în cel mai lung timp posibil?

3) Presupunem că sunt deschise 3 din cele 8 robinete.

Metoda reducerii la unitate

a) Ce trebuie să facem pentru a umple bazinul mai repede (într-un timp mai scurt)?

b) Ce trebuie să facem pentru a umple bazinul mai încet (într-un timp mai lung, mai mare)?

Observăm!

Crește numărul robinetelor deschise ⟵⟶ se micșorează timpul de umplere a bazinului.

Se micșorează numărul robinetelor deschise ⟵⟶ crește timpul de umplere a bazinului.

4) Presupunem că sunt deschise 4 robinete. Ce trebuie să facem pentru ca bazinul să se umplă de două ori mai repede?

Metoda reducerii la unitate

5) Presupunem că sunt deschise 4 robinete. Ce trebuie să facem pentru ca bazinul să se umplă de două ori mai încet?

6) Completează cu răspunsul corect! Alege din expresiile „de două ori mai repede”, „scade de două ori”, „de două ori mai încet”, „crește de două ori”.

a) Dacă bazinul se umple de două ori mai repede, înseamnă că timpul de umplere a bazinului ...

b) Dacă bazinul se umple ..., înseamnă că timpul de umplere a bazinului crește de două ori.

7) 4 robinete umplu bazinul în 8 ore.

Metoda reducerii la unitate

a) În cât timp vor umple bazinul 2 robinete?

Metoda reducerii la unitate

b) În cât timp vor umple bazinul 8 robinete?

Metoda reducerii la unitate

Arată răspunsurile

Observăm!

Crește de un număr de ori numărul robinetelor deschise ⟵⟶ se micșorează de același număr de ori timpul de umplere a bazinului.

Se micșorează de un număr de ori numărul robinetelor deschise ⟵⟶ crește de același număr de ori timpul de umplere a bazinului.

Premergător!

Exemple - cazul 2 (o mărime crește, iar cealaltă scade)

1) Pentru umplerea unui bazin, sunt disponibile 8 robinete. Dacă sunt deschise doar 4 robinete, atunci bazinul se umple în 12 ore. În câte ore vor umple bazinul 3 robinete deschise? Robinetele au același debit, adică într-o unitate de timp (un minut sau o oră, de exemplu) curge aceeași cantitate de lichid prin fiecare robinet.

Rezolvare

Înainte să începem să rezolvăm, trebuie să ne gândim: dacă închidem unul sau mai multe robinete, bazinul se va umple în mai mult timp sau în mai puțin timp? Ce se întâmplă cu timpul de umplere a bazinului? Crește sau scade?

Dacă mai deschidem un robinet, bazinul se va umple mai repede sau mai încet?

Dacă închidem unul sau mai multe robinete, atunci va fi nevoie de mai mult timp pentru a se umple bazinul.

Dacă mai deschidem unul sau mai multe robinete, atunci bazinul se va umple mai repede.

Înseamnă că dacă numărul robinetelor deschise crește, atunci scade numărul orelor necesare umplerii bazinului. Invers, dacă numărul robinetelor deschise scade, atunci va crește numărul orelor necesare pentru a se umple bazinul.

Sunt deschise 4 robinete care umplu bazinul în 12 ore. Dacă închidem un robinet, mai rămân 3 robinete deschise care trebuie să umplă bazinul. Ele trebuie să umplă și partea de bazin pe care ar fi umplut-o robinetul al patrulea, cel pe care l-am închis. Înseamnă că vor avea nevoie de mai mult timp pentru a umple bazinul. Scade numărul robinetelor deschise, deci crește timpul în care se umple bazinul.

Primul pas este să aflăm în cât timp umple bazinul un singur robinet. Numărul robinetelor scade de 4 ori, de la 4 la 1 (4 împărțit la 4 este 1). Robinetul rămas deschis trebuie să umple și părțile din bazin care ar fi fost umplute de cele trei robinete pe care le-am închis. Va trebui să curgă mai mult timp pentru a umple bazinul. Deci timpul va crește, vor fi mai mult de 12 ore. Mai exact, timpul va crește de 4 ori, pentru că: mai întâi, robinetul va curge pentru a umple partea de bazin pe care oricum ar fi umplut-o. Apoi va curge pentru a umple partea de bazin pe care ar fi umplut-o primul robinet pe care l-am închis. Apoi va curge pentru a umple partea de bazin pe care ar fi umplut-o al doilea robinet pe care l-am închis. Apoi va curge pentru a umple partea de bazin pe care ar fi umplut-o al treilea robinet pe care l-am închis. Deci robinetul singur va curge de 4 ori mai mult timp decât ar fi curs dacă erau deschise patru robinete.

Metoda reducerii la unitate - Dacă sunt deschise doar 4 robinete, atunci bazinul se umple în 12 ore. În câte ore vor umple bazinul 3 robinete deschise?

Am descoperit că numărul robinetelor scade de 4 ori, iar timpul (numărul orelor) va crește de 4 ori. Cuvintele „scade de ... ori” ne indică operația de împărțire (vezi excepția), iar cuvintele „crește de ... ori” ne indică operația de înmulțire (vezi excepția).

Metoda reducerii la unitate - Dacă sunt deschise doar 4 robinete, atunci bazinul se umple în 12 ore. În câte ore vor umple bazinul 3 robinete deschise?

După ce înțelegem care este relația între numărul robinetelor deschise și numărul orelor necesare umplerii bazinului, scriem datele problemei într-un mod mai simplu, apoi:

aflăm în cât timp umple bazinul un singur robinet deschis;

aflăm în cât timp umplu bazinul trei robinete deschise.

Metoda reducerii la unitate - Dacă sunt deschise doar 4 robinete, atunci bazinul se umple în 12 ore. În câte ore vor umple bazinul 3 robinete deschise?

Întrebări suplimentare:

a) Fără a folosi metoda reducerii la unitate, aflați în câte ore vor umple bazinul 2 robinete.

a) Fără a folosi metoda reducerii la unitate, aflați în câte ore vor umple bazinul 8 robinete.

Răspuns

2) 5 muncitori construiesc o casă în 30 de zile. În câte zile vor construi o casă identică 2 muncitori? Vor avea nevoie de mai multe zile sau de mai puține zile?

Rezolvare

Observăm că dacă numărul muncitorilor scade, atunci va fi nevoie de mai mult timp pentru a construi casa. Invers, dacă numărul muncitorilor ar crește, atunci ei ar construi casa într-un timp mai scurt.

Aflăm în cât timp ar construi casa un singur muncitor. El ar avea nevoie de mult mai mult timp; va face și munca lui, dar și pe cea a celorlalți 4 muncitori care pleacă din echipă. Înseamnă că el va munci de 5 ori mai mult decât dacă ar fi fost în echipa de 5 muncitori. Înseamnă că și timpul necesar construirii casei va crește de 5 ori, deci va avea nevoie de 150 de zile pentru a construi singur casa (5 înmulțit cu 30 de zile).

Doi muncitori vor lucra de două ori mai repede decât un singur muncitor, deci vor construi casa într-un timp de două ori mai scurt (mic) decât 1 muncitor. Cuvintele „de două ori mai mic” ne indică operația de împărțire (vezi excepția), deci împărțind pe 150 la 2 vom afla că 2 muncitori vor construi casa în 75 de zile.

Scriem într-o formă mai scurtă și mai simplă datele problemei.

Metoda reducerii la unitate - aflăm în cât timp construiește 1 muncitor casa

Întrebare suplimentară:

În câte zile construiesc casa 6 muncitori?

Răspuns

Încearcă și tu!

Lucas poate să sape grădina din fața casei în 30 de minute. Dacă ar săpa împreună cu Andrei și Ștefan, în cât timp ar termina de săpat? Copiii sapă cu aceeași viteză.

Răspuns

Puteți citi și ...

Legătura dintre împărțire și înmulțire

Împărțirea exactă (cu rest zero) a numerelor naturale

Împărțirea exactă - calcul în scris

Împărțirea exactă - cum calculăm în scris. Exemple

Împărțirea cu rest a numerelor naturale

Împărțirea cu rest - calcul în scris

Data: 11 decembrie 2020