Ultima cifră a unei puteri

Cum aflăm care este ultima cifră a unei puteri

Ultima cifră a unui număr natural este cifra unităților acestuia. De exemplu, ultima cifră a lui 673 este 3.

Ultima cifră a unei puteri este ultima cifră a numărului natural cu care este egală acea putere. De exemplu, 33 este egal cu 27, deci ultima cifră a lui 33 este 7. Am putut spune repede care este ultima cifră pentru că 33 este ușor de calculat. Rezolvând multe exerciții, ne amintim ușor cu cât este egală o putere.

Dacă vrem să aflăm ultima cifră a unei puteri care este greu de calculat, atunci folosim o metodă pe care o voi prezenta mai jos. În unele cazuri, ne putem încerca abilitățile de calcul folosind regulile de calcul cu puteri.

Să calculăm, de exemplu, ultima cifră a lui 239. E foarte greu să calculăm această putere; nici nu are rost, pentru că noi vrem să aflăm doar ultima cifră a numărului natural cu care este egal 239.

Vom începe să calculăm primele puteri ale lui 2, să vedem dacă obținem ceva indicii. Observăm că ultima cifră se repetă din 4 în 4. Avem deci grupul de patru cifre 2, 4, 8, 6 (în această ordine) care se repetă. Să vedem de câte ori se repetă acest grup dacă exponentul puterii este 39: adică de câte ori se cuprinde 4 în 39 (e vorba de grup de 4 cifre). Vom face operația de împărțire: 39 împărțit la 4 este egal cu 9 rest 3 (împărțim exponentul puterii la numărul cifrelor care se repetă). Deci grupul 2, 4, 8, 6 se cuprinde de 9 ori în 39, apoi mai scriem primele 3 cifre din grup: 2, 4 și 8. Înseamnă că 8 este ultima cifră a puterii 239.

Ultima cifră a unei puteri 2 la 39

Să vedem care e ultima cifră a lui 248. Avem deja calculate primele puteri ale lui 2. Împărțim exponentul 48 la 4 și obținem 12 rest 0. Înseamnă că grupul 2, 4, 8, 6 se cuprinde exact de 12 ori în 48, iar ultima cifră a lui 248 este 6.

Ultima cifră a unei puteri 2 la 48

Să vedem care e ultima cifră a lui 2573. Împărțim exponentul 573 la 4 și obținem 143 rest 1. Înseamnă că grupul 2, 4, 8, 6 se cuprinde de 143 de ori în 573, apoi mai urmează o cifră - prima cifră din grupul 2, 4, 8, 6, adică cifra 2. Aceasta este ultima cifră a lui 2573.

Ultima cifră a unei puteri 2 la 573

Cum facem dacă baza puterii este un număr din două sau mai multe cifre? De exemplu, ultima cifră a lui 52573 este egală cu ultima cifră a lui 2573, iar ultima cifră a lui 202239 este egală cu ultima cifră a lui 239:

Ultima cifră a unei puteri

Exemple

1) Să calculăm ultima cifră a numărului 1315:

Ultima cifră a unei puteri 3 la 15

2) Să calculăm ultima cifră a numărului 20192020:

Ultima cifră a unei puteri 9 la 2020

3) Să calculăm ultima cifră a sumei:

Ultima cifră a unei sume de puteri

Avem suma puterilor lui 3, de la 30 la 32019. Observăm că exponenții sunt numerele naturale consecutive de la 0 la 2019. Avem 30 egal cu 1, deci ultima cifră este 1. Urmează puterile cu baza 3 și exponenții de la 1 la 2019; am văzut deja la exemplul 1 că ultima cifră a puterilor cu baza 3 se repetă din 4 în 4. Ne interesează de câte ori se repetă grupul 3, 9, 7, 1. Cel mai mare exponent este 2019; împărțim pe 2019 la 4 și obținem că grupul 3, 9, 7, 1 se repetă de 504 ori, apoi mai avem încă 3 cifre: 3, 9 și 7. Deci ultimele cifre ale termenilor sumei date sunt 1 (de la 30), apoi grupul 3, 9, 7, 1 repetat de 504 ori, apoi 3, 9, 7. Suma acestor ultime cifre ale termenilor este 10100. Ultima cifră a lui 10100 este 0, deci ultima cifră a sumei date în enunț este 0.

Ultima cifră a unei sume de puteri

Încearcă și tu!

Determinați ultima cifră a numărului

Răspuns

Data: 28 decembrie 2019

Dacă vreți să rezolvați:

Alte articole despre puteri

1. Puterea cu exponent natural a unui număr natural

2. Reguli de calcul cu puteri

3. Compararea puterilor cu baze diferite și exponenți diferiți

4. Compararea puterilor cu aceeași bază sau cu același exponent

5. Pătratul unui număr natural

6. Cum recunoaștem un pătrat perfect. Proprietăți

7. Ordinea efectuării operațiilor (adunare, scădere, înmulțire, împărțire, ridicare la putere)

Mulțumesc că ați vizitat mathema.ro și vă aștept aici ori de câte ori vreți să învățați la matematică!

facebook | mathema.romania@gmail.com